לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== 1 == לצורכי נוחיות נסמן <math>l(x):=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}</math>, מכיוון שהפונקציה <math>f(x)</math> גזירה ברציפות, אזי <math>l(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח <math>(0,1]</math>. '''א''' אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה <math>f</math> הינו אינסופי <math>\Leftarrow</math> עלינו להראות כי: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>. לפי הנתון: <math>f'(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע <math>(0,1]</math>, ועל כן היא אינטגרבילית בו. <math>\int_{0}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}\int_{a}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}(f(1)-f(a))=-\infty</math> מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח: <math>\int_{0}^{1}|f'(x)|dx=\infty</math> נבחין כי מתקיים - <math>l(x)=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}\geq \sqrt{(f'(x))^{2}}=|f'(x)|\geq 0</math> ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>. '''ב''' במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה. נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים <math>M \in \mathbb{R}</math>, כך שמתקיים: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=M</math>. <math>f</math> אינה חסומה <math>\Leftarrow</math> קיים <math>y \in (0,1]</math> כך שמתקיים: <math>|f(y)-f(1)|>M</math>. מכיוון ש<math>l(x)</math> חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל <math>a,b \in (0,1]</math> מתקיים: <math>\int_{a}^{b}l(x)dx>0</math>. (זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx>\int_{y}^{1}l(x)dx\geq \int_{y}^{1}|f'(x)|dx\geq |\int_{y}^{1}f'(x)dx|=|f(1)-f(y)|>M</math> סתירה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)