לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=האינטגרל לפי רימן= ==הקדמה - הגישה של רימן== [[קובץ:האינטגרל לפי רימן.png|שמאל|400px|ממוזער|ניתן לראות שסכום שטחי המלבנים הנוצרים מסכום רימן שווה בקירוב לשטח שמתחת לגרף.]] נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר לכל k מספר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>. <math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו. נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>. '''הגדרת האינטגרל לפי רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>. ==משפט 10== תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז <math>{\int\limits_R}_a^b f</math> (לפי רימן) <math>{\int\limits_D}_a^b f=</math> (לפי דרבו). ===הוכחה=== תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה {{ltr|P'}} של <math>[a,b]</math>: <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-<math>{\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f</math>. {{משל}} ==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}== נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי: # {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. # {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} |f| אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וגם <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. # אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. # אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. ===הוכחה=== #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} <ol start="2"> <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)