לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
הלמה של צורן
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=== בכל חוג יש אידאל מקסימלי === '''משפט'''. בכל חוג עם יחידה יש אידאל (אמיתי) מקסימלי. תת-קבוצה של חוג R נקראת אידיאל אם היא סגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין ומשמאל באברים של R. אידיאל הוא "אמיתי" אם הוא אינו שווה לכל החוג. אידיאל (אמיתי) הוא מקסימלי אם אינו מוכל (ממש) בשום אידיאל (אמיתי) אחר. המפתח להוכחה הוא העובדה שאידיאל אמיתי אינו יכול להכיל את איבר היחידה (אחרת הוא כולל כל איבר לפי הסגירות לכפל באברי החוג). '''הוכחה'''. נסמן ב-X את קבוצת האידיאלים האמיתיים של R (אידיאל האפס נמצא שם, ולכן X לא ריקה). איחוד על שרשרת של אידיאלים סגור בוודאי לחיבור וחיסור ולכפל באברי החוג, ולכן הוא אידיאל. מכיוון שכל האברים בשרשרת אינם כוללים את איבר היחידה, גם האיחוד שלהם אינו כולל את איבר היחידה, ולכן הוא אידיאל אמיתי. לפי הלמה של צורן, יש ב-X איבר מקסימלי, וזהו אידיאל אמיתי מקסימלי. '''הערה'''. אותה הוכחה בדיוק מראה שכל אידיאל I של R מוכל באידיאל מקסימלי; קח X להיות קבוצת האידיאלים האמיתיים המכילים את I. ההוכחה אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן הטענה אינה נכונה עבורם. '''תרגיל'''. בכל חוג עם יחידה יש אידיאל שמאלי מקסימלי. (מסקנה: לכל חוג עם יחידה יש מודולים פשוטים). '''תרגיל'''. יהי S מונויד כפלי בחוג R, שאינו כולל את 0. הראה שיש אידיאל שהוא מקסימלי בין אלו שאינם חותכים את S. (כל אידיאל כזה הוא "אידיאל ראשוני"). '''תרגיל'''. לכל מודול נוצר סופית יש תת-מודול (אמיתי) מקסימלי.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)