לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===גרעין דיריכלה=== *גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math> *טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math> **הוכחה: **נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל: **<math>\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)</math> **נבחין בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)</math> **ובפרט <math>2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})</math> **ביחד נקבל <math>\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)</math> *נשים לב כי הפונקציה <math>2\sin(\frac{t}{2})</math> מתאפסת בנקודות <math>t=2\pi k</math>, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה. *זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה. *כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי <math>2\pi</math> כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות <math>2\pi</math>. *נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה: *ראשית, לכל <math>1\leq k \in \mathbb{N}</math> מתקיים: :<math>\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0</math> *לכן נקבל: :<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}</math> ====הסכומים החלקיים של טור פוריה==== *תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>: :<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math> *נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math> :<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math> :<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt</math> *זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt</math> *שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה. *טענה: תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי: :<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math> *כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>. **הוכחה: ::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math> ::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל: ::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math> ::ביחד נקבל כי: ::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math> *נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math> :כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)