אנליזת פורייה ויישומים (88-235) הוא קורס באוניברסיטת בר-אילן העוסק בטורי פורייה, בהתמרת פורייה ובהתמרת פורייה הבדידה, ובשימושים שלהם: המיתר הרוטט ומשוואת החום, עקיפת אור, דגימה ומשפט שנון, FFT, ספקטרוגרמות וזיהוי שירים. הדף, שחיבר ד"ר ארז שיינר, מכיל תקציר הרצאות מלא של הקורס כפי שנלמד בסמסטר ב' תשפ"ו, עם הוכחות ודוגמאות פתורות, הקלטות של כל ההרצאות ומבחנים לדוגמא.
התקציר נכתב לפי הלוח של הקורס בסמסטר ב' תשפ"ו. בראש כל הרצאה משובצת ההקלטה שלה, וכל תיבה מסתיימת בקישור ▶ לרגע המדויק בהקלטה. ההוכחות והפתרונות מוסתרים בתיבות שנפתחות בלחיצה.
פורייה הוא אחד הנושאים החשובים ביותר במתמטיקה בפרט ובמדע בכלל, ובקורס מבוא זה נוכל להגיע רק לקצת מהעומק האדיר של הנושא. פורייה התחיל במטרה ספציפית, לחקור את התפשטות החום, אבל התגלית שלו קרמה עור וגידים והיא הבסיס לרוב הטכנולוגיה שקיימת היום: תקשורת, עיבוד קול ותמונה ועוד מיליון דברים.
בקורס נלמד שלושה מושגים מרכזיים:
טורי פורייה
התמרת פורייה
התמרת פורייה הבדידה
למושגים האלה יש שימושים נפרדים מאד, ובמהלך הקורס ננסה להסביר מה השימוש של כל אחד מהם. זה החלק של "ויישומים" בשם הקורס.
מאיפה זה התחיל? חוקי התנועה של ניוטון ([math]\displaystyle{ F=ma }[/math]) מובילים למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר), שמתארות למשל את המיקום של חפץ נופל בכל רגע. אבל חוקי ניוטון לא מתארים כל תופעה פיזיקלית, ומה שפורייה חקר הוא התפשטות חום: אם נחמם מוט בקצהו האחד, בסוף הטמפרטורה תעלה בכולו, לאו דווקא באופן אחיד. התנועה הזו מתוארת על ידי משוואות דיפרנציאליות של חום, ועל מנת לפתור אותן פורייה המציא את טורי פורייה ואת התמרת פורייה. הוא פרסם את התאוריה שלו בספר Théorie analytique de la chaleur (1822), ובו ניסח את המשוואות של התפשטות החום ופתר אותן בעזרת טורים של פונקציות טריגונומטריות (התרגום לאנגלית, The Analytical Theory of Heat (1878)). מה שנולד מזה מאוחר יותר מטורף לגמרי: הבנה של גלים באופן כללי, חשמל ומגנטיות, גלי קול, ואפילו שימושים בעיבוד תמונה ובבינה מלאכותית.
הסבר. אם חפץ נופל כלפי כדור הארץ, איך אפשר לדעת מה המיקום שלו בכל רגע נתון? מדובר במשוואה דיפרנציאלית רגילה, שכפופה לחוקי התנועה של ניוטון. נניח שכוח המשיכה הוא הכוח היחיד שפועל (בלי התנגדות אוויר), ונסמן ב־[math]\displaystyle{ y(t) }[/math] את המרחק שהחפץ נפל עד הרגע [math]\displaystyle{ t }[/math] (בכיוון כלפי מטה). אז
קשה מאד להבין מה המטרה של פורייה בלי להבין משוואות דיפרנציאליות: זו המטרה שבשבילה הומצא התחום, ולכן מד"ר היא דרישת קדם לקורס. רקע פיזיקלי בהקשר של מד"ר אפשר לקבל בהרצאת ההקדמה של הקורס במד"ר (88240), החל מהדקה 45.
האם חוקי התנועה של ניוטון מספיקים כדי לתאר כל תופעה פיזיקלית? כמובן שלא: הם לא מתארים תופעות של תורת היחסות (שכמובן לא הייתה ידועה אז), וגם לא חשמל ומגנטיות. אבל מה שפורייה חקר הוא התפשטות חום. חום אינו חפץ בעל מסה, ובכל זאת הוא נע: מי שעשה מנגל יודע שהשיפוד מתחמם כולו, לא באופן אחיד, ושיש הבדל בין שיפוד מתכת לשיפוד עץ. כאן לחוקי ניוטון אין מה לומר; התנועה הזו מתרחשת לפי משוואות דיפרנציאליות של חום.
ההקדמה לספר של פורייה נפתחת באמירה כמעט פילוסופית: הסיבות הראשוניות אינן ידועות לנו, אבל הן כפופות לחוקים פשוטים וקבועים שאפשר לגלות בתצפית. (גם ניוטון לא ידע "למה" [math]\displaystyle{ F=ma }[/math]; הוא גילה את חוקי התנועה מתצפיות בכוכבי הלכת, ובזמנו זה נקרא פילוסופיה של הטבע, כמו בשם ספרו Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.) ואז פורייה כותב: "Heat, like gravity, penetrates every substance of the universe", ומטרת הספר היא לנסח את החוקים המתמטיים שהחום מציית להם. כלומר פורייה רצה להבין את החום כמו שניוטון הבין את הכבידה.
בספר יש הרבה טקסט שמסביר את התופעות, אבל גם מתמטיקה של ממש. למשל, משוואה דיפרנציאלית שבה הטמפרטורה תלויה גם בזמן וגם במיקום על המוט, כלומר משוואה דיפרנציאלית חלקית (מד"ח) ולא מד"ר. אצל פורייה לא תמצאו את האלגברה הלינארית שנשתמש בה: בקורס נלמד גישות מודרניות יחסית שמשחזרות את התוצאות שלו. למשוואת החום עצמה נגיע רק בהמשך הקורס, ועד אז נבנה את הרקע המתמטי.
כשלומדים תאוריה, כדאי לדעת ממה היא נוצרה: זה עוזר להבין אותה ולשים כל דבר במקומו. הרבה סטודנטים יודעים לחשב טור פורייה או התמרה, אבל לא מבינים למה ומתי צריך אותם.
בגרף הבא סכמנו ב־GeoGebra את 21 האיברים הראשונים של הטור ([math]\displaystyle{ k=0,1,\ldots,20 }[/math]):
הסכום החלקי של 21 האיברים הראשונים בטור של פורייה (בכחול) והישר בגובה π/4 (בכתום)
מה רואים בגרף?
הפונקציה מחזורית: כל איברי הטור מחזוריים [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
כל סכום חלקי רציף (סכום סופי של פונקציות רציפות), אבל הגבול לא חייב להיות רציף: רואים קפיצה חדה בנקודות [math]\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2} }[/math] (ובהזזות שלהן בכפולות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]).
ליד כל קפיצה הסכום החלקי "בורח" מעבר לגובה שאליו הוא מתכנס, ורק אז קופץ. זו תופעה מתמטית שנלמד בהמשך הקורס (תופעת גיבס).
בין [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] סכום הקוסינוסים "מתחפש" לקו הישר [math]\displaystyle{ y=\frac{\pi}{4} }[/math], ממש כמו שבטורי טיילור סכום של חזקות מתחפש לפונקציה אחרת. אבל שימו לב: מחוץ לתחום הזה הוא בגובה [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} }[/math]. נחזור לדוגמה הזו בסוף ההרצאה ונבין בדיוק לאיזו פונקציה הטור מתכנס.
כלומר אפשר לעשות קירובים בדומה לטיילור, רק עם פונקציות טריגונומטריות. אפשר לשאול למה זה טוב: בטיילור יש חזקות של [math]\displaystyle{ x }[/math], שקל לחשב ולהציב בהן, ואילו בפונקציות טריגונומטריות קשה לנו להציב. התשובה המרכזית היא שטורים כאלה פותרים משוואות דיפרנציאליות. זו הסיבה שפורייה הלך לשם מלכתחילה.
סיכום עד כה: פורייה רצה לחקור חום. הוא המציא את האנליזה ההרמונית, שפותרת הרבה יותר מרק חום, אבל גם משוואות חום, וזה מרשים מאד: הוא היה צריך להמציא גם את המשוואות וגם את הדרך לפתור אותן.
כשעוברים לשפה המרוכבת, במקום סינוס וקוסינוס מקבלים אקספוננטים, וזה הופך הרבה מאד חישובים (בעיקר אינטגרלים) להרבה יותר קלים. למשל, את האינטגרלים של [math]\displaystyle{ \sin(nx)\cos(kx) }[/math] אפשר לחשב בעזרת זהויות טריגונומטריות, אבל זו חתיכת טרחה; בשפה של המרוכבים זה כמעט מיידי, כפי שנראה עוד בהרצאה הזו.
למה לעבוד עם פונקציות מרוכבות, כשבשאלות של חום, למשל, הטמפרטורה ממשית?
האלגברה פשוטה בהרבה, וכיוון שאפשר להציג את הקוסינוס והסינוס באמצעות האקספוננטים המרוכבים, ברגע שאנחנו יודעים לענות על שאלה עם אקספוננטים מרוכבים, אנחנו יודעים לענות עליה גם עם קוסינוס וסינוס.
גם בשימוש בפועל: בנוסחה של התמרת פורייה הבדידה (DFT) מופיעים אקספוננטים מרוכבים. מי שמשתמש בה צריך לדעת לקשר בין התשובה המרוכבת לבין מה שמעניין אותו באמת (תדר, אמפליטודה), אחרת הוא ייתקע.
התחום ממשי והתמונה מרוכבת; פונקציות עם תמונה ממשית הן כמובן מקרה פרטי של הסיפור הכללי.
כיוון שנעסוק בהרבה מאד אינטגרלים, נניח שהפונקציות אינטגרביליות. אבל לפונקציות שונות יכול להיות אותו האינטגרל: אם נשנה פונקציה במספר סופי של נקודות, ובאופן כללי על קבוצה ממידה אפס, האינטגרלים לא ירגישו בזה. לכן בפועל (בלי להרחיב את הדיבור על כך) נביט במחלקות שקילות של פונקציות השוות כמעט בכל מקום (כב"מ). כשנשאל בקורס אם פונקציה היא יחידה, הכוונה תמיד ליחידות עד כדי שיוויון כב"מ.
הגדרה: נביט במרחב המכפלה הפנימית של הפונקציות הללו (ליתר דיוק, של מחלקות השקילות שלהן), עם המכפלה הפנימית
בהמשך הקורס נסמן את המרחב הזה ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]. ברשימת הטענות של הקורס הוא מוגדר כמרחב מחלקות השקילות, לפי שיוויון כב"מ, של הפונקציות החסומות והאינטגרביליות לבג [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math].
להוכיח שזה אכן מרחב מכפלה פנימית על מחלקות השקילות של פונקציות השוות כב"מ זה תרגיל באנליזה מודרנית. הנקודה העדינה היא החיוביות: [math]\displaystyle{ \langle f,f\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx }[/math], וזה מתאפס בדיוק כאשר [math]\displaystyle{ f=0 }[/math] כב"מ, לא בהכרח בכל נקודה. בגלל זה עובדים עם מחלקות שקילות.
למה דווקא אלגברה לינארית? בשלב הזה זה לא נראה טבעי לדבר על מכפלה פנימית, אבל במהלך הקורס נראה איך המון בעיות נפתרות בקלות בזכות השפה של אלגברה לינארית 2. פורייה עצמו לא השתמש באלגברה לינארית, ולכן הרבה מההוכחות שלו היו מסורבלות; ההוכחות המודרניות טובות, מהירות ופשוטות בהרבה. לפעמים נוותר על דיוק מלא (למשל בעניין כב"מ), כדי שלא מרוב עצים לא נראה את היער.
כלומר הפונקציות [math]\displaystyle{ e^{inx} }[/math], הנקראות גלים טריגונומטריים מרוכבים, מאונכות זו לזו: [math]\displaystyle{ e^{imx}\perp e^{inx} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\neq n }[/math] ("מאונכות" במובן של אלגברה לינארית 2, כלומר המכפלה הפנימית שלהן אפס, ולא במובן של זווית). והנורמה בריבוע של כל אחת מהן היא [math]\displaystyle{ \|e^{inx}\|^2=2 }[/math]. לכן הקבוצה
(ב־[math]\displaystyle{ \overset{WIN}{=} }[/math], "wouldn't it be nice", כפלנו וחילקנו ב־[math]\displaystyle{ 2i }[/math] כדי לזהות את התבנית של הסינוס, [math]\displaystyle{ \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }[/math].) הסינוס של כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math] מתאפס, ולכן הגלים מאונכים.
אם [math]\displaystyle{ m=n }[/math], זו המכפלה של וקטור בעצמו, כלומר הנורמה בריבוע:
שאלה: אז למה בחרנו את הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math] במכפלה הפנימית? יכולנו לבחור [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math], ואז הקבוצה הזו הייתה יוצאת א"נ.
תשובה: עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math] יוצאים א"נ הגלים הטריגונומטריים הממשיים, כפי שנראה מיד, והם המטרה שלנו בחלק של טורי פורייה. הבחירה של הקבועים היא רק עניין של נוחות (בעבודה עם המרוכבים נהוג דווקא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]): עם בחירה אחרת היינו צריכים כל הזמן לנרמל ולתקן בכל מיני מקומות.
(כאן לא צריך צמוד, כי הפונקציות ממשיות), בעזרת זהויות טריגונומטריות. זה אפשרי, אבל לא כיף. במקום זה נעבור למרוכבים ונשתמש בטענה על הגלים המרוכבים. יהיו [math]\displaystyle{ m,n\geq 0 }[/math] שלמים.
אם [math]\displaystyle{ m\neq n }[/math], מהלינאריות של המכפלה הפנימית מקבלים צירוף של המכפלות [math]\displaystyle{ \langle e^{\pm inx},e^{\pm imx}\rangle }[/math], וכולן אפס: המעריכים [math]\displaystyle{ \pm n }[/math] שונים מהמעריכים [math]\displaystyle{ \pm m }[/math], כי [math]\displaystyle{ m,n\geq 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m\neq n }[/math].
אם [math]\displaystyle{ m=n\geq 1 }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{2i} }[/math] יוצא משמאל והקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] (הממשי) יוצא מימין, והמכפלות המעורבות [math]\displaystyle{ \langle e^{inx},e^{-inx}\rangle }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \langle e^{-inx},e^{inx}\rangle }[/math] מתאפסות, כי [math]\displaystyle{ n\neq -n }[/math]:
(ועבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] אין מה להוכיח, כי [math]\displaystyle{ \sin(0\cdot x)=0 }[/math].) באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ m\neq n }[/math]
כי [math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(nx) }[/math] הם צירופים של [math]\displaystyle{ e^{\pm inx} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \sin(mx) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(mx) }[/math] הם צירופים של [math]\displaystyle{ e^{\pm imx} }[/math], וכל אלה מאונכים זה לזה.
נורמות. תזכורת: סקלר מהצד הימני של המכפלה הפנימית יוצא עם צמוד,
לכן, עבור [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math], משמאל יוצא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2i} }[/math] ומימין יוצא [math]\displaystyle{ \overline{\left(\frac{1}{2i}\right)}=-\frac{1}{2i} }[/math], ומכפלתם [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math]:
(המכפלות המעורבות מתאפסות כי [math]\displaystyle{ e^{inx}\perp e^{-inx} }[/math].) בדיקת שפיות: נורמה בריבוע חייבת לצאת חיובית; אילו שכחנו את הצמוד, היה יוצא [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4} }[/math] בחוץ ותוצאה שלילית.
הערה: השתמשנו בכך ש־[math]\displaystyle{ e^{inx}\perp e^{-inx} }[/math]. מתי זה לא נכון? כאשר [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]. עבור הסינוס זה לא רלוונטי, כי [math]\displaystyle{ \sin(0\cdot x)=0 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ 1\leq n\in\mathbb{N} }[/math], באותו אופן בדיוק [math]\displaystyle{ \|\cos(nx)\|^2=1 }[/math]. ולבסוף, עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]:
כלומר [math]\displaystyle{ \|1\|=\sqrt{2} }[/math], ואם נחלק את [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] נקבל קבוצה א"נ.
כאן רואים למה המכפלה הפנימית נבחרה עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math]: לגלים המרוכבים זה פחות מושלם, אבל לגלים הממשיים, שהם המטרה שלנו, זה מושלם. ובכל זאת, יש במתמטיקה דברים יפים וגם מכוערים: הכל הסתדר יפה, ופתאום נתקע לנו [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math].
קואורדינטות לפי בסיס אורתוגונלי
עוד קצת תזכורת מלינארית 2: במה מועילה לנו קבוצה א"נ? באמצעותה קל מאד למצוא את הקואורדינטות, כלומר את המקדמים. בפורייה זה עניין מהותי ומרכזי. (אגב, את הבסיס הא"נ שלנו לא מצאנו בגרם־שמידט: פורייה פשוט "עלה" על הפונקציות הנכונות.)
תזכורת: אם [math]\displaystyle{ w\in\mathrm{span}\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] בסיס א"ג, אזי
אבל גם הפונקציה הקבועה מחזורית. במקום זה: הנגזרת של הפונקציה הקבועה היא אפס, ואפשר להוכיח שהנגזרת של צירוף כזה, שאינו צירוף האפס, אינה אפס (תרגיל). דרך קצרה נוספת: מהאורתוגונליות [math]\displaystyle{ \langle g,1\rangle=0 }[/math] לכל צירוף כזה, ואילו
שימו לב: כיוון שזה לא צירוף לינארי, לא נוכל להצדיק את המעבר עם אלגברה לינארית. למעשה, יהיה מאתגר להצדיק אותו, והוא יהיה נכון רק באופן חלקי (זה התוכן של משפט דיריכלה). למרות זאת, בואו ננסה את המקדמים לפי הבסיס הא"נ: ניחוש מושכל, לא טענה מוכחת.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math]אי־זוגית אזי [math]\displaystyle{ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0 }[/math], כי מה שקורה משמאל הוא בדיוק מינוס מה שקורה מימין. בפרט, אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית אז [math]\displaystyle{ f(x)\cos(nx) }[/math] אי־זוגית, ולכן [math]\displaystyle{ \langle f,\cos(nx)\rangle=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f }[/math]זוגית אזי [math]\displaystyle{ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx }[/math]. בפרט, אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית אז [math]\displaystyle{ f(x)\sin(nx) }[/math] אי־זוגית, ולכן [math]\displaystyle{ \langle f,\sin(nx)\rangle=0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \langle f,\cos(nx)\rangle=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx }[/math].
הערות כאלה חוסכות הרבה עבודה: מלא מקדמים מתאפסים כך בלי שום חישוב.
דוגמה: נחשב את המקדמים של הפונקציה הקבועה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math] לפי הבסיס הא"נ [math]\displaystyle{ \{\cos(nx),\sin(nx)\}_{n\geq 1} }[/math].
כיוון ש־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math] זוגית, כל המקדמים של [math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math] מתאפסים. עבור הקוסינוסים, יהי [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math]. הבסיס א"נ, ולכן אין צורך לחלק ב־[math]\displaystyle{ \langle\cos(nx),\cos(nx)\rangle=1 }[/math], והמקדם הוא פשוט המכפלה הפנימית. לפי ההערה על פונקציות זוגיות:
כל המקדמים יצאו אפס, כלומר "הטור" הוא טור האפס, והוא בוודאי לא שווה ל־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math]. מדוע החישוב הזה היה מיותר? הרי כבר הוכחנו ש־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מאונכת לכל הפונקציות האחרות, ו־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\cdot 1 }[/math]. הפעם זה לא עבד.
אז לאיזו פונקציה מתכנס הטור מהספר של פורייה? הוא לא יכול להיות הטור של הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math], שמאונך לכל הקוסינוסים. נסתכל שוב בגרף שלמעלה (בסעיף על קירוב בעזרת פונקציות טריגונומטריות), בתחום שבו אנחנו עובדים, [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math]: בין [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] הסכום אכן בגובה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math], אבל בשאר התחום הוא בגובה [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} }[/math]. כלומר הפונקציה שזה טור הפורייה שלה היא לא סתם [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math] בתחום, אלא פונקציה שקופצת בין [math]\displaystyle{ \pm\frac{\pi}{4} }[/math]:
(הערכים בנקודות הקפיצה לא משנים דבר: שינוי של פונקציה בנקודות בודדות לא משפיע על האינטגרלים.)
דוגמה: חשבו את המקדמים של [math]\displaystyle{ f }[/math], כלומר את [math]\displaystyle{ \langle f,1\rangle }[/math], [math]\displaystyle{ \langle f,\cos(nx)\rangle }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \langle f,\sin(nx)\rangle }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math].
שוב מדובר בפונקציה זוגית, ולכן [math]\displaystyle{ \langle f,\sin(nx)\rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אבל הפעם המקדמים של [math]\displaystyle{ \cos(nx) }[/math] יהיו שונים. כדי לחשב את האינטגרל חייבים לפצל את התחום לשלושה חלקים, לפי ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math]; ה־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] שב־[math]\displaystyle{ \pm\frac{\pi}{4} }[/math] מצטמצם עם ה־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math], ונשאר [math]\displaystyle{ \pm\frac{1}{4} }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math]:
המסקנה: לכל [math]\displaystyle{ k\geq 0 }[/math] המקדם של [math]\displaystyle{ \cos\big((2k+1)x\big) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^k}{2k+1} }[/math], וכל שאר המקדמים אפס. אם נציב אותם בטור, נקבל בדיוק את הטור מהספר של פורייה:
קיבלנו שפורייה צדק! השוויון [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4}=\cos(x)-\frac{1}{3}\cos(3x)+\frac{1}{5}\cos(5x)-\ldots }[/math] נכון פשוט בתחום [math]\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }[/math], ובשאר התחום הטור שווה ל־[math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} }[/math]. כל זה, כמובן, בהנחה שהטור באמת שווה לפונקציה, הנחה לא מובנת מאליה. (בנקודות הקפיצה [math]\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2} }[/math] כל איברי הטור מתאפסים, כלומר שם הטור שווה ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], בדיוק הממוצע של שני הגבהים. נבין זאת במשפט דיריכלה.)
היא קבוצה א"נ. אם פונקציה הייתה שייכת למרחב שהיא פורשת, המקדמים שלה היו נקבעים לפי המכפלה הפנימית. השאלה המשמעותית היא האם גם פונקציות שאינן במרחב הנפרש שוות לטור הפונקציות עם המקדמים של המכפלה הפנימית.
הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math] פונקציה כמו בקורס עד כה. נגדיר את מקדמי פורייה שלה להיות
במפורש, כיוון שהקוסינוס והסינוס ממשיים (הצמוד לא משנה אותם): [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx }[/math].
הערה: מי המקרה היוצא דופן? עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] יש לנו מכפלה פנימית של [math]\displaystyle{ f }[/math] בפונקציה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], שאינה מנורמלת: [math]\displaystyle{ a_0=\langle f,1\rangle }[/math]. וכמובן שלא מגדירים את [math]\displaystyle{ b_0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \sin(0\cdot x)=0 }[/math] אינו איבר בבסיס.
למה היינו מצפים שהפונקציה תהיה שווה? לסכום של המקדמים כפול איברי הבסיס, בדיוק כמו בתזכורת מלינארית 2. המקדמים של [math]\displaystyle{ \cos(nx) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math] לא דורשים חלוקה, כי הפונקציות האלה מנורמלות:
זו "הטיה" מעצבנת, אבל אי אפשר להתעלם ממנה: את המקדם הראשון צריך לחלק ב־2. אפשר היה להימנע ממנה אילו הגדרנו את המקדם של [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math], אבל זה מכוער יותר; נוח יותר להגדיר את כל המקדמים באותה צורה חלקה, ולשלם על כך כשמציבים אותם בחזרה.
הגדרה: בהינתן [math]\displaystyle{ f }[/math], טור הפורייה שלה הוא
הסימן [math]\displaystyle{ \sim }[/math], ולא [math]\displaystyle{ = }[/math], מזכיר שעוד לא ידוע שהטור מתכנס לפונקציה.
שימו לב: אילו הסכום היה סופי, השוויון היה משפט מאלגברה לינארית. אבל זה טור אינסופי, "צירוף לינארי" רק לכאורה, וזה מורכב משמעותית יותר; זה אפילו לא תמיד עובד. בהמשך נראה באילו תנאים (מסוימים) טור הפורייה של הפונקציה באמת מתכנס לפונקציה (משפט דיריכלה).
סיכום מה למדנו על טורי פורייה עד כה:
לכל פונקציה הגדרנו מקדמי פורייה וטור פורייה.
הוכחנו שהגלים הטריגונומטריים מאונכים זה לזה במכפלה הפנימית, וחישבנו את הנורמות שלהם.
השאלה, בדומה לטיילור, היא האם אפשר להחליף פונקציה בטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. קיווינו (ניחוש מושכל) שפעמים רבות טור הפורייה יתכנס לפונקציה: אילו הסכום היה סופי זה היה נכון, ובדוגמה של פורייה זה אכן נראה כך, אפילו עבור פונקציה עם קפיצות.
עוד לא ראינו למה צריך את טור הפורייה: אמרנו שבשביל משוואות דיפרנציאליות, אבל עוד לא הראינו.
הרצאה 2 - קנטור ותלמי, גרעין דיריכלה ולמת רימן-לבג
▶ הקלטת ההרצאה מ־25.3.26
קנטור, יחידות טורי פורייה והעוצמות
בתחילת ההרצאה עוד שתי הקדמות לנושא, ואחריהן נעבור לשאלה הגדולה: האם טור הפורייה מתכנס לפונקציה.
שאלה: מדוע גאורג קנטור המציא את הנושא של עוצמות? התשובה, תאמינו או לא: טורי פורייה!
טענה (יחידות): אם טור הפורייה של פונקציה מתכנס לאפס בכל נקודה של [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], אזי כל המקדמים שלו הם אפס.
זה לא מובן מאליו: סוכמים אינסוף גלים טריגונומטריים, שלפעמים חיוביים ולפעמים שליליים, ואולי איכשהו הם מבטלים זה את זה בכל נקודה ונקודה למרות שהמקדמים אינם אפס. קנטור המשיך ושאל כמה נקודות "חריגות" מותרות:
מה קורה אם טור הפורייה מתכנס לאפס פרט למספר סופי של נקודות? עדיין כל המקדמים הם אפס, ובעצם הטור מתכנס לאפס תמיד.
עבור "כמה" נקודות כבר לא נהיה בטוחים שכל המקדמים הם אפס? קנטור הוכיח שהיחידות נשמרת גם כשהטור לא מתכנס לאפס על קבוצות אינסופיות מסוימות של נקודות. כדי לתאר קבוצות כאלה הוא פיתח את המושגים הראשונים של תורת הקבוצות, ומשם הגיע לעוצמות. התוצאה המלאה (קנטור, ברנשטיין): גם אם [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] נקודות (כלומר קבוצה בת מנייה כלשהי) אינן מתכנסות לאפס, עדיין כל המקדמים הם אפס.
האם ייתכן שיש קבוצה בעוצמה [math]\displaystyle{ \aleph }[/math] (עוצמת הרצף) כך שאם הטור לא מתכנס לאפס רק עליה, ובשאר הנקודות הוא מתכנס לאפס, אזי בהכרח כל המקדמים הם אפס? קנטור לא הצליח לפתור את השאלה.
התשובה, שנמצאה רק במאה ה־20, היא שמה שמשנה זה המידה של הקבוצה ולא העוצמה שלה. יש קבוצות בעוצמת הרצף שהן ממידה אפס (למשל קבוצת קנטור), ואם טור הפורייה של פונקציה מתכנס לאפס פרט לקבוצה ממידה אפס, כל המקדמים שלו הם אפס (נראה בהרצאה הבאה). לטור טריגונומטרי כללי, שהמקדמים שלו אינם בהכרח מקדמי פורייה של פונקציה כלשהי, מידה אפס כבר לא מספיקה: מנשוב מצא ב־1916 טור טריגונומטרי שאינו טור האפס ובכל זאת מתכנס לאפס כמעט בכל מקום (גם זה בהרצאה הבאה).
הערה: השאלה האמיתית של קנטור הייתה על יחידות הטור: אם שני טורים טריגונומטריים מתכנסים לאותה פונקציה, האם בהכרח יש להם אותם מקדמים? מלינאריות, ההפרש של שני הטורים מתכנס לאפס, ולכן השאלה מתורגמת ליחידות הגרעין: מתי טור שמתכנס לאפס הוא בהכרח טור האפס. לכן מספיק לדבר על טורים שמתכנסים לאפס.
מתוך המאמר של קנטור משנת 1872 (Math. Annalen 5) - שני טורים טריגונומטריים, ובהם a ו־b בתפקידים הפוכים משלנו
בצילום רואים שקנטור כתב כבר ב־1872 את הטור כמעט בדיוק כמו שאנחנו כותבים אותו, רק ש־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מוחלפים (אצלו [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ליד הסינוס ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] ליד הקוסינוס).
חשוב לדעת: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] שוות פרט אולי לקבוצה ממידה אפס (אומרים שהן שוות כמעט בכל מקום, או בקיצור כב"מ), אזי האינטגרלים המסוימים שלהן (לפי לבג) שווים.
כמו כן, כל קבוצה בת מנייה היא ממידה אפס.
ההגדרה המדויקת של מידה אפס שייכת לאנליזה מודרנית ואינה קריטית לקורס. הרעיון הוא ש"האורך הכולל" של כל הנקודות בקבוצה הוא אפסי, כמו אפס; למשל הרציונליים הם קבוצה ממידה אפס. מה שצריך לדעת לצורך הקורס: קבוצה ממידה אפס לא משפיעה על האינטגרל. שימו לב שזה נכון לאינטגרל לבג; לאינטגרל רימן זה לא נכון: פונקציה ששווה כב"מ לפונקציה אינטגרבילית רימן אינה חייבת להיות אינטגרבילית רימן בעצמה (למשל הפונקציה שהיא 1 ברציונליים ו־0 באי־רציונליים שווה כב"מ לאפס, אבל אינה אינטגרבילית רימן). באינפי 2 ראיתם רק שמספר סופי של נקודות לא משפיע על אינטגרל רימן.
הקדמה שנייה, סופר מעניינת ופחות ידועה: הקשר של אריסטו, תלמי, קופרניקוס וניוטון לפורייה. מימי יוון העתיקה ועד ניוטון המדע השולט גרס שכל הכוכבים סובבים סביב כדור הארץ, ואת הסטיות של התנועה הנצפית ממעגל מושלם הסבירו באפיציקלים: תנועה מעגלית נוספת סביב מרכז מדומיין, שבעצמו סובב במעגל. במישור המרוכב כל תנועה מעגלית היא גל [math]\displaystyle{ Re^{i\omega t} }[/math], ולכן תנועה שמורכבת מאפיציקלים היא סכום של גלים טריגונומטריים, כלומר טור פורייה. מתלמי ועד קופרניקוס האסטרונומים חישבו בפועל קירובי פורייה לתנועת גרמי השמיים, בלי לדעת זאת.
רקע היסטורי. מימי יוון העתיקה ועד ניוטון, המדע השולט גרס כי כל הכוכבים ביקום מסתובבים סביב כדור הארץ. קופרניקוס (בספרו מ־1543) כפר בכך ותמך בגישה שכדור הארץ מסתובב סביב השמש. גלילאו תמך בקופרניקוס, עמד למשפט (1633) ונידון למאסר בית עד סוף ימיו (1642). לאחריו ניוטון הוציא (1687) את הפרינקיפיה שלו, שבה תיאר את שלושת חוקי ניוטון ואת חוק הכבידה, שלפיהם כדור הארץ מסתובב סביב השמש; משם זה כבר היה מקובל.
הירח. בלי קשר, אין ויכוח לכך שהירח סובב את כדור הארץ. אם נסתכל על ההיטל של הסיפור על מישור, ונניח שמדובר במישור גאוס, כלומר במספרים המרוכבים, הנוסחה שתתאר את מיקום הירח בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math] היא
כל הנקודות האלה נמצאות על מעגל ברדיוס [math]\displaystyle{ R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \omega }[/math] קובע את מהירות הסיבוב: אלה גלים טריגונומטריים. בפועל, הירח לא נמצא בדיוק בנקודה שבה הוא אמור להיות לפי ההיגיון הזה, אלא בסביבתה: יש עוד גופים שמשפיעים על תנועת הירח, כמו השמש.
אפיציקלים. מתקופת אריסטו (המאה ה־4 לפנה"ס) ועד תלמי (המאה ה־2 לספירה) האמינו שתנועה מורכבת מתנועות ישרות או מעגליות. לכן, מבחינתם, המורכבות של תנועת הירח נבעה מתנועה מעגלית נוספת, סביב מרכז מדומיין (שאולי הם האמינו שהוא אמיתי) הנקרא אפיציקל. תלמי השתמש באפיציקלים כדי לתקן את המודל של אריסטו ולהסביר, למשל, את הנסיגה של כוכבי הלכת, שלזמן מה נעים בכיוון ההפוך ואז חוזרים.
בציור שבמאמר של גלאבוטי (ראו למטה): כדור הארץ [math]\displaystyle{ O }[/math] במרכז; מרכז מדומיין [math]\displaystyle{ C }[/math] סובב סביבו במעגל גדול נגד כיוון השעון, והירח [math]\displaystyle{ L }[/math] סובב סביב [math]\displaystyle{ C }[/math] במעגל קטן, האפיציקל, עם כיוון השעון. מיקום הירח הוא חיבור וקטורים: מ־[math]\displaystyle{ O }[/math] ל־[math]\displaystyle{ C }[/math] ועוד מ־[math]\displaystyle{ C }[/math] ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]. הסיבוב הגדול הוא הסיבוב החודשי של הירח סביב כדור הארץ, והסיבוב הקטן מתאר עוד מחזוריות קטנה שרואים בתנועה (בדיעבד, בגלל השמש). וביחד מקבלים נוסחה כזו ([math]\displaystyle{ R,r }[/math] הם הרדיוסים, ובמעריכים מהירויות הסיבוב):
זה סכום של גלים טריגונומטריים, וזה טורי פורייה! וכפי שנראה בהמשך, טורי פורייה מהווים קירוב לכמעט כל פונקציה בעולם. לכן לא הייתה שום בעיה להניח שכך נראה המודל, גם אם הוא רחוק מאיך שהפיזיקה באמת נראית: סכום של מספיק גלים יצליח לקרב את התנועה, במיוחד עם תדרים שקרובים לתופעות שבאמת קורות (סיבוב סביב כדור הארץ, סיבוב עצמי וכו'). כך הם הצליחו לחזות את תנועת גרמי השמיים כל כך טוב. וכך גם עבדו: מתוך התצפיות (איפה רואים את הירח בכל נקודה בזמן) חיפשו את התדרים שמרכיבים את התנועה.
קופרניקוס. סכום של שני גלים הוא עדיין רחוק מלהיות קירוב טוב, ובהמשך הוסיפו אפיציקלים נוספים. לפי המאמר של גלאבוטי, הרעיון של קופרניקוס היה להוסיף באופן שיטתי אפיציקלים של אפיציקלים, כמה שצריך לתיאור מדויק של התנועה, וזה בדיוק חישוב של התמרת פורייה של הקואורדינטות (כשהרדיוסים הולכים וקטנים, כי ההשפעות זניחות יותר). לדבריו, אולי זה החידוש הגדול של קופרניקוס, ולא מה שמייחסים לו תמיד, העברת המרכז מכדור הארץ לשמש, שמבחינה מתמטית היא סתם החלפת קואורדינטות: בשני המקרים מקבלים סכום של גלים טריגונומטריים, אז מה אכפת לי מה המרכז שלהם.
גלילאו אמר שהאפיציקלים של תלמי היו גדולים מדי, ולכן לא הגיוניים פיזיקלית (הירח היה אמור להתרחק ולהתקרב מאוד, וזה סותר את התצפיות), ושהאפיציקלים של קופרניקוס יצאו הרבה יותר הגיוניים: תדרים ורדיוסים שמתארים תנועות שמצפים לראות. זו בדיוק הנקודה: אם עושים קירוב פורייה בעזרת תדרים לא נכונים, אפשר אולי להצליח חישובית, אבל מקבלים תוצאות לא הגיוניות פיזיקלית. (מצד שני, בגלל ריבוי האפיציקלים, התיאור של קופרניקוס דווקא מסובך יותר, ולא פשוט יותר כמו שגלילאו חשב.)
החישובים האלה היו בעיקר אלגבריים, ומטרתם הייתה לחזות את תנועת הכוכבים; לכן גם השתכנעו שהמודל נכון: התחזיות התאימו לתצפיות. כמו שאפשר לשכנע מישהו ש־[math]\displaystyle{ e^x }[/math] הוא הפולינום [math]\displaystyle{ 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} }[/math], או שפונקציה קבועה היא סכום של גלים: אם לוקחים מספיק איברים זה נראה ממש מדויק, ורק מי שמכיר את התאוריה לעומק יודע שזה קירוב.
גם הקול שלי אינו גל מושלם, אלא סכום של הרבה מאוד גלים. זה ממש מקביל לרעיון של האפיציקלים: התנועה המרכזית היא סביב כדור הארץ, אבל יש עוד תנועות במחזורים שונים שגם הן משפיעות, והמציאות היא סכום של כולן.
הדבר המדהים הוא שהכלים של פורייה שימשו כבר את תלמי, פשוט בלי לדעת שזה פורייה. חיפשתי אם פורייה עצמו ידע על הקשר הזה, ולא מצאתי לכך שום עדות.
עכשיו נפנה לשאלה הבאה: האם ומתי טור פורייה מתכנס לפונקציה שלו.
תזכורת: נתונה פונקציה מרוכבת [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math], חסומה ואינטגרבילית. במרחב של הפונקציות הללו (עד כדי שקילות כב"מ), שבהמשך נסמן אותו [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math], מוגדרת מכפלה פנימית
מהווה קבוצה אורתוגונלית (א"ג), וכמעט אורתונורמלית (א"נ): פרט לקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math], שהנורמה שלו בריבוע היא [math]\displaystyle{ \langle 1,1\rangle=2 }[/math], כולם מנורמלים.
הגדרנו את מקדמי פורייה של הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math]:
לכן הגיוני לצפות שככל שמוסיפים עוד ועוד וקטורים, ההיטלים ילכו ויתקרבו לפונקציה. אבל אי אפשר להיות בטוחים בכך: הטור עצמו אינו היטל, כי זה לא צירוף ליניארי אלא סכימה אינסופית. המטרה שלנו היא לראות מתי ובאילו תנאים הוא באמת מתכנס.
הערה: לא לכל פונקציה רציפה טור הפורייה מתכנס לפונקציה בכל נקודה (לא נוכיח זאת). אבל תראו בהמשך שלא נדרש הרבה יותר מזה: למשל, יספיק שהפונקציה תהיה גזירה ברציפות, ואז הטור מתכנס אליה בכל נקודה של הקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math] (משפט דיריכלה, בהרצאה הבאה). יחסית לטיילור זה הרבה יותר טוב: בטיילור, על מנת שהטור יתכנס לפונקציה, היא צריכה להיות גזירה אינסוף פעמים (וגם זה לא מספיק). כאן מספיקה נגזרת רציפה אחת.
שימו לב שמשתנה האינטגרציה הוא [math]\displaystyle{ t }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x }[/math]: כל מקדם הוא אינטגרל מסוים, כלומר מספר, ו־[math]\displaystyle{ x }[/math] לא נמצא בתוכו.
אפשר להוציא את כל האינטגרל החוצה, כי זה סכום סופי, והביטויים שבחוץ ([math]\displaystyle{ \cos(kx) }[/math], [math]\displaystyle{ \sin(kx) }[/math]) לא קשורים למשתנה האינטגרציה. מקבלים אינטגרל אחד של [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] כפול הביטוי
הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(kt-kx) }[/math] אינו תלוי בפונקציה! כלומר, אם נבחן אותו היטב נוכל לטפל בכל הפונקציות בבת אחת, וזו בהחלט הדרך שבה נלך. (בספרים בדרך כלל מכינים את הביטוי הזה מראש, וכשמגיעים לסס"ח "הכל מסתדר"; כאן רואים מאיפה הוא מגיע: מחשבים את הסס"ח, מקבלים ביטוי, והוא גורם לנו לרצות לחקור אותו.)
(סינוס מתאפס בכפולות שלמות של [math]\displaystyle{ \pi }[/math]). לכן נשאר [math]\displaystyle{ \int_0^{\pi}\frac{1}{2}\,dt=\frac{\pi}{2} }[/math], לא משנה מה [math]\displaystyle{ n }[/math].
הוכחה. הגישה הטבעית, כמו בחישוב האינטגרלים של הקוסינוסים בהרצאה הקודמת: לעבור למרוכבים. זה ארוך יותר מהדרך המהירה (בסוף), אבל אפשר לעשות את זה גם בלי לדעת לאן הולכים.
אי־הרציפויות. הגרעין עצמו רציף, אבל בביטוי שקיבלנו יש בעיה בנקודות שבהן [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{t}{2}\right)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ t\in 2\pi\mathbb{Z} }[/math]. זה בדיוק המקום שבו [math]\displaystyle{ e^{it}=1 }[/math] ואסור היה להשתמש בנוסחה של הסדרה ההנדסית. אלה אי־רציפויות סליקות: למשל ב־[math]\displaystyle{ t=0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ D_n(0)=\frac{1}{2}+n }[/math], וגם [math]\displaystyle{ \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\to n+\frac{1}{2} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to 0 }[/math] (ובשאר הנקודות [math]\displaystyle{ 2\pi m }[/math] אותו דבר, ממחזוריות).
דרך קצרה יותר (טור טלסקופי). לפי נוסחת מכפלה לסכום,
הגורם הראשון שואף ל־1 כאשר [math]\displaystyle{ t\to 0 }[/math], והגורם השני פשוט מאוד.
ההמשך המחזורי
נמשיך לפתח את הסס"ח. מפריע לנו [math]\displaystyle{ t-x }[/math] בתוך הגרעין, ולכן נעשה הזזה [math]\displaystyle{ u=t-x }[/math], [math]\displaystyle{ du=dt }[/math]:
השינוי בגבולות האינטגרציה מעצבן, והיינו רוצים לטפל בו: את המכפלה הפנימית, ואיתה את כל התאוריה, יש לנו רק על הקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].
עוד בעיה, אחרת אבל קשורה: אם הפונקציה באמת שווה לטור הפורייה שלה,
אז כיוון שטור הפורייה הוא מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], כך גם צריכה להיות הפונקציה. זה מרגיז. לכן נסתכל על ההמשך המחזורי של הפונקציה.
הגדרה: תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math]. נגדיר את ההמשך המחזורי שלה [math]\displaystyle{ \widetilde{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{C} }[/math] להיות
ההיגיון בנוסחה: [math]\displaystyle{ x-(-\pi) }[/math] הוא המרחק שעברנו מתחילת המחזור. מחלקים אותו באורך המחזור, [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], ועושים ערך שלם תחתון: זה סופר כמה מחזורים שלמים צריך להוריד. מורידים [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] כפול מספר המחזורים, וכך מחזירים את [math]\displaystyle{ x }[/math] אחורה לתוך הקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi) }[/math], ושם מציבים ב־[math]\displaystyle{ f }[/math].
טענה: ההמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] הוא מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], וכן בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi) }[/math] מתקיים
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ m=\left\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\right\rfloor }[/math]. אז [math]\displaystyle{ m\le\frac{x+\pi}{2\pi}<m+1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -\pi\le x-2\pi m<\pi }[/math]: הנקודה שבה מציבים ב־[math]\displaystyle{ f }[/math] תמיד נמצאת ב־[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] מוגדרת היטב על כל הישר.
מחזוריות:[math]\displaystyle{ \left\lfloor\frac{(x+2\pi)+\pi}{2\pi}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}+1\right\rfloor=m+1 }[/math], ולכן
שוויון בקטע: אם [math]\displaystyle{ x\in[-\pi,\pi) }[/math] אז [math]\displaystyle{ 0\le\frac{x+\pi}{2\pi}<1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ m=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \widetilde{f}(x)=f(x) }[/math].
שימו לב: [math]\displaystyle{ \widetilde{f}(\pi)=f(-\pi) }[/math]; הערך [math]\displaystyle{ f(\pi) }[/math] לא משתתף בהמשך המחזורי.
בגרף הבא רואים את [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] ואת ההמשך המחזורי שלה: בין [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] הן זהות, ומשם ההמשך המחזורי פשוט משכפל את אותו החלק שוב ושוב.
הפונקציה x² (בכחול) וההמשך המחזורי שלה (בכתום), שמשכפל את החלק שבין מינוס פאי לפאי
הערה: למה ההבנה של ההמשך המחזורי חשובה? לעיתים אשאל אתכם מה נקבל אם נציב בטור פורייה [math]\displaystyle{ 20\pi+\frac{\pi}{2} }[/math]. אם הטור מתכנס לפונקציה, הוא מתכנס להמשך המחזורי שלה, ולכן התשובה תלויה בערכי הפונקציה המקורית באזור [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]: [math]\displaystyle{ \widetilde{f}\left(20\pi+\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right) }[/math]. למשל, עבור [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] התשובה היא [math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{4} }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \left(20\pi+\frac{\pi}{2}\right)^2 }[/math]. כשהפונקציה עצמה מחזורית זה ברור, אבל עבור [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] זה לא אינטואיטיבי.
נניח מעתה שאנחנו רוצים להוכיח שטור הפורייה מתכנס להמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ f }[/math], וזה רק הגיוני.
אינטגרל של פונקציה מחזורית
נחזור לסס"ח. מותר להחליף בו את [math]\displaystyle{ f }[/math] בהמשך המחזורי שלה, כי בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi) }[/math] הן שוות (הן נבדלות לכל היותר בנקודה [math]\displaystyle{ \pi }[/math], שלא משפיעה על האינטגרל). אחרי ההזזה [math]\displaystyle{ u=t-x }[/math]:
עכשיו כל הפונקציה שבתוך האינטגרל היא מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] (כפונקציה של [math]\displaystyle{ u }[/math]): ההמשך המחזורי מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], גרעין דיריכלה מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], ולכן גם המכפלה שלהם.
טענה: אם [math]\displaystyle{ g }[/math] מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] (ואינטגרבילית בכל קטע חסום), אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math]
בגרף הבא (ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]) רואים למה זה הגיוני: כשמזיזים את [math]\displaystyle{ a }[/math], החלק שיוצא מצד אחד של הקטע הוא בדיוק החלק שנכנס מהצד השני, ולכן השטח תמיד נשאר אותו דבר.
השטח מתחת להמשך המחזורי של x² על קטע מוזז באורך 2π שווה לשטח על הקטע שבין מינוס פאי לפאי
כאן האינטגרלים מכוונים ([math]\displaystyle{ \int_c^d=-\int_d^c }[/math]), ולכן החישוב נכון לכל [math]\displaystyle{ a }[/math], חיובי או שלילי. ההזזה לא שינתה את השטח.
הטענה מבטלת את ההזזות המגעילות של גבולות האינטגרציה; צריך רק לזכור שאנחנו עובדים מול ההמשך המחזורי של הפונקציה ולא מול הפונקציה עצמה. זה בסדר, כי למקדמי הפורייה שלהם אין הבדל, וממילא טור הפורייה מתכנס (כשהוא מתכנס) להמשך המחזורי.
הוכחה. נעשה הזזה [math]\displaystyle{ t=x-\frac{\pi}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ dt=dx }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] עובר מ־[math]\displaystyle{ -\pi }[/math] עד [math]\displaystyle{ \pi }[/math], המשתנה [math]\displaystyle{ t }[/math] עובר מ־[math]\displaystyle{ -\pi-\frac{\pi}{2} }[/math] עד [math]\displaystyle{ \pi-\frac{\pi}{2} }[/math], וכן
ולכן [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(x)\,dx=\pi }[/math].
באינפי 2 הייתם מחשבים את האינטגרל הזה עם זהות להורדת החזקה, או באינטגרציה בחלקים וחזרה למקור. בשפה של פורייה זה טבעי: אין הבדל אם עושים אינטגרל על סינוס או על קוסינוס, זה אותו גל מוזז. טריקים כאלה עוזרים, כי מטבע הדברים נגיע להרבה אינטגרלים טריגונומטריים.
בקורס נקרא גם לטענה הזו למת רימן-לבג (לא כולם קוראים לה בדיוק כך; הלמה "האמיתית" היא הלמה על מקדמי פורייה שבהמשך הסעיף). זה מן הסתם קשור לגרעין דיריכלה ולסס"ח: [math]\displaystyle{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) }[/math] הוא המונה של [math]\displaystyle{ D_n(t) }[/math].
הוכחה. הביטוי מוזר: התדר [math]\displaystyle{ n+\frac{1}{2} }[/math] אינו שלם, ולכן הוא לא קשור ישירות לטור הפורייה. נפריד אותו עם הזהות של סינוס של סכום:
זה ממש כמו הנוסחה למקדמי פורייה, רק שגבולות האינטגרל הם מ־0 עד [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ולא מ־[math]\displaystyle{ -\pi }[/math] עד [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. נתקן זאת באופן מלאכותי: נגדיר פונקציות שמתאפסות על [math]\displaystyle{ [-\pi,0) }[/math],
כלומר מדובר במקדמי פורייה ([math]\displaystyle{ b_n }[/math] של [math]\displaystyle{ h_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] של [math]\displaystyle{ h_2 }[/math]) של פונקציות חסומות ואינטגרביליות כלשהן, ולא דווקא של הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] עצמה. לפי הלמה הבאה, מקדמי פורייה של כל פונקציה כזו שואפים לאפס, ולכן גם הביטוי שלנו.
עולה השאלה (שזו כנראה למת רימן-לבג האמיתית): בהינתן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית כלשהי, האם [math]\displaystyle{ \lim a_n=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim b_n=0 }[/math]?
אינטואיציה: המקדם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אומר כמה הגל [math]\displaystyle{ \cos(nx) }[/math] חזק (בהמשך נקרא לזה אמפליטודה): למשל [math]\displaystyle{ 7\cos(5x) }[/math] הוא אותו גל כמו [math]\displaystyle{ \cos(5x) }[/math], רק פי 7 גבוה יותר. בסיפור של האפיציקלים המקדם הוא הרדיוס. אם הגלים היו הולכים ומתחזקים, זה היה סותר את האינטואיציה שהטור מתכנס; גם על תלמי הייתה ביקורת שהאפיציקלים שלו גדולים מדי. אבל זה לא נובע מיד מהמשפט מאינפי 1 "אם טור מתכנס, סדרת האיברים שואפת לאפס": הפונקציות הטריגונומטריות יכולות לבטל זו את זו, ולכאורה ייתכן שכשהמקדם גדל, הקוסינוס מבטל את הגדילה שלו. ומעבר לאינטואיציה, הסיבה שאנחנו רוצים שהמקדמים יהיו קטנים מעשית לגמרי: זה יעזור לנו להוכיח שההפרש בין הסס"ח לפונקציה שואף לאפס.
למה (רימן-לבג): תהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math] (חסומה ואינטגרבילית). אזי מקדמי הפורייה שלה שואפים לאפס:
הוכחה. ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש נורמה סופית כלשהי, [math]\displaystyle{ \|f\|^2=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2<\infty }[/math]. הסס"ח הוא ההיטל של הפונקציה על תת־המרחב
(הקבוצה א"ג, והמקדם של כל וקטור [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{\langle f,e\rangle}{\langle e,e\rangle} }[/math]; עבור [math]\displaystyle{ e=1 }[/math] זה [math]\displaystyle{ \frac{\langle f,1\rangle}{2}=\frac{a_0}{2} }[/math].)
מה הקשר בין הנורמה של וקטור לנורמה של ההיטל שלו? גודל ההיטל תמיד קטן או שווה לגודל הוקטור המקורי (אי־שוויון בסל):
[math]\displaystyle{ \|S_n\|\le\|f\| }[/math]
(הסיבה: [math]\displaystyle{ f-S_n }[/math] מאונך ל־[math]\displaystyle{ W_n }[/math], ולכן לפי פיתגורס [math]\displaystyle{ \|f\|^2=\|S_n\|^2+\|f-S_n\|^2\ge\|S_n\|^2 }[/math].)
כעת לפי פיתגורס, ומכיוון ש־[math]\displaystyle{ \|1\|^2=2 }[/math] ושאר הוקטורים מנורמלים, לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]:
למה כאן קטן או שווה ולא שווה? כי [math]\displaystyle{ f }[/math] בדרך כלל לא נמצאת בתת־המרחב [math]\displaystyle{ W_n }[/math]; [math]\displaystyle{ S_n }[/math] הוא רק ההיטל שלה. כדי לקבל שוויון צריך את הסכום עד אינסוף (שוויון פרסבל, בהרצאה הבאה).
חסומה, ולכן הטור מתכנס! ולכן סדרת האיברים שלו שואפת לאפס: [math]\displaystyle{ |a_k|^2+|b_k|^2\to 0 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_k\to 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_k\to 0 }[/math]. אבל האיברים הם בדיוק מקדמי פורייה.
שימו לב לסיבוב העקיף: בטור עצמו דברים חיוביים ושליליים יכולים לבטל זה את זה, אבל בנורמה אין ביטולים. הנורמה של הפונקציה חוסמת את כל הסס"ח, ולכן הגלים חייבים ללכת ולדעוך.
מדובר בגבולות חד־צדדיים ובנגזרות חד־צדדיות. הסימון [math]\displaystyle{ f'\left(x_0^{\pm}\right) }[/math] אינו מושלם (abuse of notation): הכוונה אינה לגבול של הנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math], אלא לגבול, מימין או משמאל, של שיפועי המיתרים ביחס לגבול החד־צדדי של הפונקציה.
דוגמה (שהיא גם חשובה להמשך): תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת על כל הישר, חסומה ואינטגרבילית בכל קטע חסום (בהמשך זה יהיה ההמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math]), ותהי [math]\displaystyle{ x }[/math] נקודה שבה הגבול החד־צדדי [math]\displaystyle{ f(x^+) }[/math] והנגזרת החד־צדדית [math]\displaystyle{ f'(x^+) }[/math] קיימים וסופיים. נביט ב
(אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math], אז [math]\displaystyle{ f(x^+)=f(x) }[/math] ואפשר לכתוב [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] במונה.)
אינטגרביליות. המונה [math]\displaystyle{ f(x+t)-f(x^+) }[/math] הוא הפרש של פונקציות אינטגרביליות (בהנחה ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית), אבל מחלקים בפונקציה [math]\displaystyle{ 2\sin\left(\frac{t}{2}\right) }[/math], שמתאפסת בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] פעם אחת בדיוק, בנקודה [math]\displaystyle{ t=0 }[/math]. בשאר הקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi] }[/math] מחלקים בפונקציה רציפה שאינה מתאפסת, ולכן [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה ואינטגרבילית בכל קטע [math]\displaystyle{ [\delta,\pi] }[/math]. ליד אפס: אם הנגזרת החד־צדדית קיימת וסופית, הגבול באפס סופי, ולכן [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה גם שם. כלומר [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה, ולכן נשארת אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math].
ומכאן הדרך לסס"ח [math]\displaystyle{ S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\widetilde{f}(x+t)D_n(t)\,dt }[/math] כבר קצרה: זה כמעט ההוכחה של משפט דיריכלה, שנשלים בהרצאה הבאה.
כאשר [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] הוא ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ f }[/math], ו־[math]\displaystyle{ D_n }[/math] הוא גרעין דיריכלה:
שימו לב: משווים לגבול החד צדדי, ולא לערך בנקודה. כך גם לפונקציה עם קפיצה יכולות להיות נגזרות חד צדדיות. למשל, לפונקציית מדרגה (שני קטעים קבועים וקפיצה ביניהם), בנקודת הקפיצה שתי הנגזרות החד צדדיות הן 0.
משפט (דיריכלה): תהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R} }[/math] כך שלהמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] יש ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] גבולות חד צדדיים סופיים ונגזרות חד צדדיות סופיות. אזי טור הפורייה מתכנס בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לממוצע הגבולות החד צדדיים:
בפרט, אם בנוסף [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי הטור מתכנס ל־[math]\displaystyle{ \widetilde{f}(x_0) }[/math].
הערות:
בנקודות רציפות זה פשוט משפט התכנסות רגיל. הסיבוך בניסוח בא כדי להתמודד גם עם נקודות קפיצה.
למה דווקא ההמשך המחזורי? בגלל הקצוות: מה שקורה קצת מימין ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] הוא מה שקורה קצת מימין ל־[math]\displaystyle{ -\pi }[/math]. גם כשהפונקציה "יפה" בתוך הקטע, ההמשך המחזורי שלה עלול לקפוץ ב־[math]\displaystyle{ \pm\pi }[/math], כמו בדוגמה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] בהמשך.
התנאים חלשים מאוד. למשל, אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה למקוטעין ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, הם מתקיימים בכל נקודה. זה אחד ההבדלים הגדולים מטיילור: טור טיילור דורש לכל הפחות גזירות אינסוף פעמים, וזו דרישה מטורפת. פורייה מסתפק בהרבה הרבה פחות.
ראינו ש־[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}D_n(t)\,dt=\frac{\pi}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\,dt=\frac{1}{2} }[/math]. ביחד אפשר לעשות את החילוף השערורייתי הבא: נחליף את החצי באינטגרל של גרעין דיריכלה.
הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה ואינטגרבילית ב־[math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math], כפי שראינו בהרצאה הקודמת: המונה אינטגרבילי וחסום, והחשש היחיד הוא החלוקה ב־[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{t}{2}\right) }[/math], שמתאפס בקטע רק ב־[math]\displaystyle{ t=0 }[/math]. אבל כש־[math]\displaystyle{ t\to0^{+} }[/math] הגורם הראשון שואף לנגזרת החד צדדית [math]\displaystyle{ \widetilde{f}'(x_0^{+}) }[/math], שהיא סופית לפי ההנחה, והגורם השני שואף ל־1. לכן [math]\displaystyle{ g }[/math] נשארת חסומה ליד 0. לפי למת רימן לבג, האינטגרל האחרון שואף ל־0.
את האינטגרל על [math]\displaystyle{ [-\pi,0] }[/math] מטפלים באותה דרך: גם [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{0}D_n(t)\,dt=\frac{\pi}{2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ D_n }[/math] זוגית), ומשתמשים בגבול [math]\displaystyle{ \widetilde{f}(x_0^{-}) }[/math] ובנגזרת [math]\displaystyle{ \widetilde{f}'(x_0^{-}) }[/math]. סה"כ [math]\displaystyle{ S_n(x_0)\to\frac{\widetilde{f}(x_0^{+})+\widetilde{f}(x_0^{-})}{2} }[/math]. משל.
כל העבודה הקשה (הסס"ח, גרעין דיריכלה, למת רימן לבג) נעשתה בהרצאה הקודמת, ועכשיו אנחנו רק קוצרים את הפירות.
אם [math]\displaystyle{ e_1,\ldots,e_n }[/math] בסיס א"נ ו־[math]\displaystyle{ v }[/math] וקטור במרחב, אזי המקדמים של [math]\displaystyle{ v }[/math] בבסיס הם המכפלות הפנימיות שלו עם איברי הבסיס:
הערך המוחלט חשוב כי אנחנו מעל המרוכבים. למה "פיתגורס"? הווקטורים [math]\displaystyle{ \langle v,e_k\rangle e_k }[/math] מאונכים זה לזה וסכומם הוא [math]\displaystyle{ v }[/math]. הם הניצבים ו־[math]\displaystyle{ v }[/math] הוא היתר: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
הוכחה. נציב את הפיתוח של [math]\displaystyle{ v }[/math] בשני צדי המכפלה:
כשפותחים סוגריים, כל המכפלות של שני איברי בסיס שונים מתאפסות, ונשארים רק האיברים עם [math]\displaystyle{ j=k }[/math]. סקלר יוצא מהצד השמאלי כמו שהוא, ומהצד הימני הוא יוצא צמוד:
מי אמר שהקבוצה הא"נ שלנו היא בכלל בסיס? רמז: היא לא. כל צירוף לינארי (סופי) של איבריה הוא פונקציה רציפה, ולכן למשל פונקציה עם קפיצה אינה צירוף כזה.
ובכל זאת התשובה היא כן. נעשה כמה דברים: נראה איך השיוויון אמור להיראות במקרה שלנו, נראה הסבר ללמה זה הגיוני שזה יקרה, ואבטיח לכם שזה עובד, בלי הוכחה מלאה. ההוכחה הישירה עובדת רק בחלק מהמקרים, והתאוריה הכללית דורשת עוד פרק שלם של הכנה.
הפונקציה הקבועה 1 אינה מנורמלת: [math]\displaystyle{ \|1\|^2=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2 }[/math]. לכן הקבוצה הא"נ שלנו היא
כל המקדמים עולים בריבוע, ורק [math]\displaystyle{ |a_0|^2 }[/math] גם מתחלק ב־2. הסיבה: את [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] הגדרנו מול 1, שהנורמה שלו בריבוע היא 2, ולא מול איבר מנורמל.
משפט (שיוויון פרסבל): לכל [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math] מתקיים
כאשר [math]\displaystyle{ \|f\|^2=\langle f,f\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx }[/math].
השיוויון מתקיים קצת בניגוד לציפיות: הקבוצה אינה בסיס, והמרחב לא נוצר סופית.
הערת העשרה: פיתגורס התקיים למרות שזה לא בסיס, וזה שקול לעוד תכונה מפתיעה: כל וקטור [math]\displaystyle{ f }[/math] במרחב שמאונך לכל הקבוצה הא"נ לעיל הוא בהכרח [math]\displaystyle{ f=0 }[/math]. במרחב נוצר סופית, קבוצה א"נ שאינה בסיס אפשר להשלים לבסיס א"נ, כלומר יש וקטור נוסף שמאונך לכולה. אז אורך הניצב שלו היה "חסר" בפיתגורס. כאן אין וקטור כזה, ולא פספסנו כלום.
הסבר חצי אפוי ללמה זה אמור לעבוד.
נניח שהפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא ממש סבבה: רציפה, [math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math], ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין. אז לפי משפט דיריכלה טור הפורייה מתכנס אליה בכל נקודה, ויותר מזה, ההתכנסות היא במידה שווה (במ"ש) בכל [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] (משפט שלא נוכיח השנה). נוכיח שלפונקציות כאלה שיוויון פרסבל תקף. אתם תדמיינו שאפשר למצוא סדרת פונקציות כאלה שמתכנסת לפונקציה אקראית במרחב, ומכאן נובע שזה נכון לכל פונקציה.
עבור הפונקציה הסבבה [math]\displaystyle{ f }[/math]:
נציב את הטור במקום ה־[math]\displaystyle{ f }[/math] השני במכפלה [math]\displaystyle{ \langle f,f\rangle }[/math]. בצד הימני של המכפלה הסקלרים יוצאים צמודים, והצמוד של [math]\displaystyle{ \cos(nx),\sin(nx) }[/math] הוא הם עצמם, כי הם ממשיים:
זה סכום אינסופי, וכל דבר עם סכומים אינסופיים זו צרה. כאן בדיוק צריך את ההתכנסות במ"ש: כיוון ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה וההתכנסות במ"ש, אפשר להחליף בין האינטגרל לסכום, ולהוציא את הסקלרים מהאינטגרל:
דוגמה: נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] ובהמשך המחזורי שלה. נחשב את טור הפורייה שלה ונקבע לאן הוא מתכנס בכל נקודה.
ההמשך המחזורי של f(x)=x ב־GeoGebra: "שן מסור" שקופצת בנקודות π+2πk
שימו לב: הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] עצמה רציפה וגזירה בכל מקום, אבל ההמשך המחזורי שלה קופץ ב־[math]\displaystyle{ \pm\pi }[/math]. בגלל זה מעניין אותנו ההמשך המחזורי.
התכנסות. ראשית, להמשך המחזורי יש גבולות חד צדדיים סופיים ונגזרות חד צדדיות סופיות בכל נקודה. גם בנקודות הקפיצה שתי הנגזרות החד צדדיות שוות 1, כי השיפוע הוא 1 משני הצדדים, כל צד ביחס לגובה שאליו הוא שואף. לכן משפט דיריכלה תקף בכל נקודה:
בכל נקודת רציפות הטור מתכנס להמשך המחזורי.
בנקודות אי הרציפות [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math] הטור מתכנס לממוצע הגבולות החד צדדיים, ובמקרה שלנו [math]\displaystyle{ \frac{\pi+(-\pi)}{2}=0 }[/math].
המקדמים. נחשב כעת את טור הפורייה, כלומר את מקדמי הפורייה:
כי זה אינטגרל בתחום סימטרי של פונקציה אי זוגית (אי זוגית כפול זוגית). תמיד שימו לב לזוגיות, זה חוסך הרבה עבודה.
לעומת זאת [math]\displaystyle{ x\sin(nx) }[/math] היא זוגית (אי זוגית כפול אי זוגית), ולכן, עם אינטגרציה בחלקים ([math]\displaystyle{ u'=\sin(nx),\ v=x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ u=-\frac{1}{n}\cos(nx),\ v'=1 }[/math]):
כאן לא היה חשש לחלק באפס, כי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מוגדר רק עבור [math]\displaystyle{ n\geq1 }[/math]. בחישובים של מקדמי פורייה זה קורה לא מעט, ואז צריך להחריג את המקרה ולחשב את האינטגרל שלו בנפרד.
ובנקודות [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math] הטור מתכנס ל־0. אכן קל לראות שכאשר מציבים [math]\displaystyle{ x=\pm\pi }[/math] בטור מקבלים אפס, כמו שציפינו, כי כל הסינוסים מתאפסים.
סכום חלקי של טור הפורייה של x (כתום) מול ההמשך המחזורי (כחול); ליד נקודות הקפיצה רואים את תופעת גיבס
בגרף רואים שהסכום החלקי הולך ונראה כמו [math]\displaystyle{ x }[/math], אבל ליד נקודות הקפיצה יש "קרניים". זו תופעת גיבס, שנלמד עליה בהמשך ההרצאה.
חישוב סכומי טורים בעזרת טורי פורייה
יש שתי דרכים לחשב סכומים של טורי מספרים בעזרת פורייה: שיוויון פרסבל, והצבה של נקודה בטור הפורייה עצמו (בנקודה שבה הוא באמת שווה לפונקציה).
דוגמה: הוכיחו בעזרת טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] ש־[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math].
נדגים את פרסבל. כל ה־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] הם אפס, ולכן
הנקודה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] נמצאת בקטע [math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math], שבו הטור שווה ל־[math]\displaystyle{ x }[/math], ולכן
נשארים רק האי זוגיים [math]\displaystyle{ n=2m-1 }[/math]. בהם [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}\right)=(-1)^{m+1} }[/math], ולכן
הערה: זה בדיוק טור הטיילור של [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \arctan(1)=\frac{\pi}{4} }[/math]). לפעמים מקבלים כך תוצאות חדשות, כמו [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math], ולפעמים טורים שכבר הכרנו.
יחידות טורי פורייה
יש כמה סוגים שונים של יחידות בנושא של טורי פורייה, וקל מאוד להתבלבל ביניהם:
תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\in\mathbb{V} }[/math] בעלות אותם מקדמי פורייה. אזי [math]\displaystyle{ f=g }[/math] כב"מ.
תהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math] כך שטור הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתכנס כב"מ. אזי הוא מתכנס כב"מ ל־[math]\displaystyle{ f }[/math].
(קנטור, ברנשטיין) אם טור טריגונומטרי מתכנס לפונקציה האפס בכל נקודה פרט לקבוצה בת מנייה, אזי מדובר בטור האפס.
(מנשוב, 1916) קיים טור טריגונומטרי שאינו טור האפס, המתכנס כב"מ לאפס. לפי סעיף 2, זה לא יכול להיות טור פורייה של פונקציה כלשהי.
בסעיף 1 אי אפשר לבקש יותר משיוויון כב"מ: אותם מקדמי פורייה פירושם אותם אינטגרלים, ושינוי של הפונקציה בנקודה אחת, או אפילו בקבוצה ממידה אפס, לא משנה את האינטגרלים.
הוכחה של סעיף 1. נניח של־[math]\displaystyle{ f,g }[/math] יש אותם מקדמי פורייה, ונביט בפונקציה
[math]\displaystyle{ h=f-g }[/math]
מה הם מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ h }[/math]? כולם אפס, בזכות הלינאריות של המכפלה הפנימית: למשל [math]\displaystyle{ \langle h,\cos(nx)\rangle=\langle f,\cos(nx)\rangle-\langle g,\cos(nx)\rangle=0 }[/math]. קיבלנו פונקציה שכל מקדמי הפורייה שלה הם אפס. עד כאן זו אלגברה קלאסית: עוברים להפרש כדי ללכת לגרעין.
עכשיו, בזכות פרסבל,
[math]\displaystyle{ \|h\|^2=0 }[/math]
כי כל המקדמים התאפסו. לכן [math]\displaystyle{ h }[/math] במחלקת השקילות של אפס, כלומר [math]\displaystyle{ f=g }[/math] כב"מ.
למה איני אוהב את ההוכחה הזו? כי בספר של קצנלסון (Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis) הדרך הפוכה: קודם מוכיחים בדרך אחרת לגמרי את היחידות, ואז משתמשים בה כדי להוכיח את פרסבל. כאן הנחנו את פרסבל בלי הוכחה מלאה. ובכל זאת ההוכחה מראה קשר יפה בין שני המשפטים.
מה ההבדל בינו לבין טור פורייה? המקדמים אינם בהכרח מקדמי פורייה של פונקציה כלשהי.
סעיף 3 הוא הניסוח המדויק של מה שסיפרנו על קנטור בהרצאה הקודמת.
לגבי 4: מנשוב מצא טור טריגונומטרי שאינו טור האפס, ובכל זאת מתכנס לאפס כמעט בכל מקום. מה נובע מזה?
זה לא טור פורייה של שום פונקציה ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]: אילו היה טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math], לפי סעיף 2 הוא היה מתכנס כב"מ ל־[math]\displaystyle{ f }[/math]. אבל הוא מתכנס כב"מ לאפס, ולכן [math]\displaystyle{ f=0 }[/math] כב"מ, כל מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הם אפס, והטור היה טור האפס. סתירה.
לפי סעיף 3, הקבוצה שבה הטור לא מתכנס לאפס אינה בת מנייה, ובכל זאת היא ממידה אפס, כמו קבוצת קנטור.
כלומר אם הקבוצה החריגה "קטנה" במובן של עוצמה (בת מנייה), יש יחידות; אבל אם היא "קטנה" רק במובן של מידה (ממידה אפס), כבר אין. הדיון הזה פתח את הנושא של עוצמות ומידה, וממש את האנליזה המודרנית, והכול משאלות עדינות על טורי פורייה: מתי בדיוק הם מתכנסים, והאם יש יחידות. בכיוונים מסוימים התשובה כן, ובאחרים לא.
המאמר של מנשוב. מנשוב פרסם את התוצאה בפתק של ארבעה עמודים בלבד, שהציג הדמר בכינוס האקדמיה הצרפתית למדעים ב־23 באוקטובר 1916:
כותרת הפתק של מנשוב, "Sur l'unicité du développement trigonométrique", מתוך המאמר של מנשוב משנת 1916 (C. R. Acad. Sci. Paris 163, עמ' 433)
וזה ניסוח המשפט שלו:
ניסוח המשפט, מתוך המאמר של מנשוב משנת 1916 (C. R. Acad. Sci. Paris 163)
בתרגום חופשי: קיים טור טריגונומטרי המתכנס במידה שווה לאפס ב־[math]\displaystyle{ (0,2\pi) }[/math] פרט לקבוצה פרפקטית ממידה אפס, ויש לו אינסוף מקדמים שונים מאפס.
הרעיון. איך בכלל מגיעים לטור שמתכנס לאפס למרות שאינו אפס? מנשוב לקח פונקציה בנוסח "המדרגות של קנטור": פונקציה שקבועה על אינסוף קטעים, ועולה רק על קבוצה פרפקטית ממידה אפס שבנה במיוחד. מי מתאפס בסיפור הזה? הנגזרת. מחוץ לקבוצה הפונקציה קבועה מקומית, ולכן הנגזרת שם היא אפס. מנשוב הסתכל על טור הנגזרות (גזירה איבר איבר של טור הפורייה) והוכיח שהוא מתכנס לאפס מחוץ לקבוצה, כלומר כמעט בכל מקום. טור הנגזרות הזה אינו טור פורייה של אף פונקציה, ולכן משפטי ההתכנסות שלנו לא עוזרים. להוכיח שהוא בכל זאת מתכנס, ולמה שציפינו, זה החלק הקשה, ושם "קבור הכלב": בפסקה האחרונה מנשוב נשען על משפט כבד של רימן.
בגרף של הסכום החלקי של טור הפורייה של [math]\displaystyle{ x }[/math] ראינו משהו מוזר ליד נקודת הקפיצה. ברור שבנקודת אי רציפות תהיה קפיצה, אבל לא ברור למה הסכום החלקי קופץ קודם לכיוון ההפוך: רגע לפני הקפיצה כלפי מטה הוא עולה מעל הפונקציה, ורגע אחריה יורד מתחתיה. וזה לא הולך ומשתפר כש־[math]\displaystyle{ n }[/math] גדל, זה רק נדחק לקצה. זו תופעת גיבס. מצפים לראות אותה בכל פונקציה "נורמלית" (למשל רציפה למקוטעין עם נגזרת רציפה למקוטעין) בנקודות אי רציפות של קפיצה.
תופעת גיבס: הסכום החלקי של טור הפורייה של x עם n=50 (כתום), מתקרב ל־π משמאל, עולה מעל הישר y=x (כחול) עד כ־3.64
יש כאן כמה שאלות: איך בכלל להגדיר את התופעה, להוכיח שהיא קורית, ולהוכיח שהיא קורית באופן כללי. רעיון אחד הוא לומר שהשגיאה המקסימלית לא שואפת לאפס (וזה הורס את ההתכנסות במ"ש). אנחנו נדייק יותר ונראה שיש שגיאה באזור מאוד ספציפי. שוב נראה מקרה פרטי, ורק נסביר באופן כללי איך אפשר להכליל אותו (אמנם לא לכל המקרים).
נסמן את הסס"ח של טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]:
אנחנו יודעים ש־[math]\displaystyle{ S_n(x)\to x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(-\pi,\pi) }[/math]. ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ x_n=\pi-\frac{\pi}{n} }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] משמאל: ככל שמתקדמים בסס"ח, זזים יותר לכיוון הנקודה הבעייתית.
כלומר בנקודות [math]\displaystyle{ x_n }[/math] הסכום החלקי עולה מעל הפונקציה בכ־0.56, גם כש־[math]\displaystyle{ n }[/math] שואף לאינסוף. זאת למרות שבכל נקודה קבועה [math]\displaystyle{ x\in(-\pi,\pi) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n(x)\to x }[/math].
הנקודה A=(x_n, S_n(x_n)) עבור n=25: בערך (3.016, 3.577), כמעט בדיוק בשיא של "קרן" גיבס
הוכחה. הביטוי נראה מלחיץ, כי הנקודה זזה כל פעם ש־[math]\displaystyle{ n }[/math] מתקדם:
כי [math]\displaystyle{ \sin(\pi k)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(\pi k)=(-1)^k }[/math]. שני ה־[math]\displaystyle{ (-1)^{k+1} }[/math] מבטלים זה את זה, ולכן
נעבוד על הביטוי הבעייתי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k}\sin\left(\frac{\pi}{n}k\right) }[/math]. אם נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] קטעים שווים, נקודות החלוקה הן
ואת האינטגרל אפשר לחשב בכל רמת דיוק שנרצה: מפתחים את [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{x} }[/math] לטור טיילור, מקבלים טור מתחלף, ואת השגיאה חוסמים לפי לייבניץ. מכיוון ש־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{n}\to0 }[/math], סה"כ
וזה בדיוק מה שרואים בגאוגברה: עבור [math]\displaystyle{ n=25 }[/math], [math]\displaystyle{ x_{25}-S_{25}(x_{25})\approx3.0159-3.5774\approx-0.561 }[/math].
הערה: באופן כללי, במקרים מסוימים, ה"קרן" מהווה אחוז קבוע מהפער בין הגבולות החד צדדיים. אצלנו הפער הוא [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] והחריגה היא כ־0.562, כלומר כ־9% מהפער. לא ננסח ולא נוכיח את המקרה היותר כללי. הרעיון הוא להשתמש בפונקציה שלנו (ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x }[/math], מוזז ומוכפל בקבוע) כדי לתקן את אי הרציפות של פונקציה כלשהי ולהפוך אותה לרציפה, ואז רואים שהתופעה חייבת לחזור על עצמה.
טורי סינוסים וטורי קוסינוסים
כעת נעבור למעין תת נושא, שחשוב לא להתבלבל בו. לכאורה, השאלה אם בטור הפורייה יש סינוסים או קוסינוסים תלויה בזוגיות של הפונקציה, וזה נכון: לפונקציה זוגית [math]\displaystyle{ b_n=0 }[/math] (רק קוסינוסים), ולפונקציה אי זוגית [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] (רק סינוסים). אבל בדיוק כמו שעשינו המשך מחזורי לפונקציה, אפשר לעשות לפונקציה בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]המשך זוגי או המשך אי זוגי לקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].
הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]. ההמשך הזוגי שלה הוא
(הערך בנקודה 0 לא משנה את האינטגרלים, ואפשר לקבוע [math]\displaystyle{ f^{-}(0)=0 }[/math].)
ההמשך האי זוגי של הפונקציה x²−x+1, המוגדרת בין 0 ל־π, לקטע שבין π− ל־π: קפיצה מ־1− ל־1 באפס
הגדרה:טור הקוסינוסים של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f^{+} }[/math], וטור הסינוסים של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f^{-} }[/math].
הערה ברורה מאליה:[math]\displaystyle{ f^{-} }[/math] היא פונקציה אי זוגית, ואילו [math]\displaystyle{ f^{+} }[/math] היא פונקציה זוגית. לכן בטור הקוסינוסים באמת מתאפסים כל מקדמי הסינוסים, ובטור הסינוסים מתאפסים כל מקדמי הקוסינוסים.
טענה: המקדמים תלויים רק ב־[math]\displaystyle{ f }[/math] עצמה בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]:
טור הקוסינוסים: [math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq0 }[/math].
טור הסינוסים: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq1 }[/math].
כך שאפשר לעשות זאת לכל פונקציה, זוגית או לא, ובכלל לא צריך להזכיר את ההמשכים.
הוכחה. לפי ההגדרה, המקדמים של טור הקוסינוסים הם מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ f^{+} }[/math]. הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{+}(x)\cos(nx) }[/math] היא זוגית כפול זוגית, כלומר זוגית, ולכן
התכנסות: לפי משפט דיריכלה (בתנאיו), שני הטורים מתכנסים ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודות הרציפות שבתוך [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]. בקצוות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] צריך לחשוב על ההמשך המחזורי של ההמשך:
טור הסינוסים מתכנס ב־0 וב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] לאפס, כי זה ממוצע של שני ערכים סימטריים. רואים את זה גם ישירות: כל הסינוסים מתאפסים שם.
טור הקוסינוסים מתכנס ב־0 ל־[math]\displaystyle{ f(0^{+}) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] ל־[math]\displaystyle{ f(\pi^{-}) }[/math], כי ההמשך הזוגי לא קופץ בנקודות האלה.
הסכום החלקי של טור הקוסינוסים של e^x (אדום) מתקרב להמשך המחזורי של ההמשך הזוגי (כחול: ההמשך הזוגי של e^x בין π− ל־π)
הרצאה 4 - המיתר הרוטט: פריטה על מיתר, הרמוניות ותכונות של גלים
▶ הקלטת ההרצאה מ־6.5.26
פריטה על מיתר: ניסוי בכיתה והיסטוריה
עד עכשיו למדנו טכנית איך מחשבים טור פורייה, ולא כל כך למדנו למה. בהרצאה הזו נראה לראשונה למה: טורי פורייה פותרים משוואות דיפרנציאליות חלקיות (מד"ח), והפתרון של בעיית המיתר הרוטט (פריטה על מיתר) מסביר תופעה שאפשר לשמוע באוזן ולראות בעין. הכלי המרכזי יהיה טור הסינוסים מההרצאה הקודמת: טור הפורייה של ההמשך האי זוגי [math]\displaystyle{ f^- }[/math] של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]. בתוך הקטע הוא מתכנס ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] (בנקודות הרציפות, בתנאי משפט דיריכלה), ומה שקורה מחוץ לקטע לא מעניין אותנו. בקצוות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] טור הסינוסים מתכנס תמיד לאפס – וזה בדיוק מתאים למיתר, שמחובר בקצוות.
הניסוי: פורטים על אותו מיתר של גיטרה, פעם קרוב לאמצע ופעם קרוב לקצה. זה אותו תו, וההבדל הוא לא בעוצמה – ובכל זאת שומעים צליל שונה בבירור. קרוב לקצה זה נשמע כמעט כמו תו אחר, "גבוה" יותר, ופריטה ליד הקצה האחד נשמעת דומה לפריטה ליד הקצה השני (יש כאן סימטריה). זו גם השאלה הכללית: למה אותו תו בכלי נגינה שונים נשמע שונה? השאלה היא אם התאוריה המתמטית יכולה להסביר את זה. בסוף ההרצאה נראה שכן.
בעיית המיתר הרוטט עתיקה יותר מאנליזת פורייה עצמה: באמצע המאה ה־18, כחמישים שנה לפני פורייה, עבדו עליה ד'אלמבר, אוילר, דניאל ברנולי ולגראנז', והם פתרו אותה עם טורים טריגונומטריים – טורי פורייה לפני שהומצאו טורי פורייה.
היסטוריה. ארבעה שמות עבדו על הבעיה פחות או יותר במקביל: ז'אן ד'אלמבר, לאונרד אוילר, דניאל ברנולי וז'וזף-לואי לגראנז'. ד'אלמבר ניסח את משוואת הגלים (ולכן היא נקראת גם משוואת ד'אלמבר) והיה הראשון שפתר אותה.
אוילר (1749) פותח את המאמר שלו בכך שהממצאים הקודמים הניחו שהמיתר רוטט תמיד בצורה "רגולרית" (צורת סינוס), אבל למעשה אפשר לתת למיתר כל צורה התחלתית שרוצים; את הפתרון המוצלח הראשון הוא מייחס לד'אלמבר. במאמר יש ציור של המיתר הרוטט, והוא כותב את הפתרון כסכום של שני גלים שנעים בכיוונים מנוגדים. בסוף המאמר הוא מראה שאם הצורה ההתחלתית היא (בסימונים שלנו, כאשר [math]\displaystyle{ \ell }[/math] אורך המיתר)
אז כל איבר פשוט רוטט במקום, כמו [math]\displaystyle{ \sin\frac{n\pi x}{\ell}\cos\frac{n\pi ct}{\ell} }[/math] – זה טור פורייה דה פקטו. את המעבר מגלים נעים לטור הזה הוא עושה בעזרת הזהות [math]\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta }[/math], בדיוק הזהות שנראה בסוף ההרצאה.
איור 1 מהמאמר של אוילר משנת 1749 (Nova Acta Eruditorum, E119): המיתר AB במצב מוסט
דניאל ברנולי טען שכל תנועה של המיתר היא צירוף של התנועות הבסיסיות האלה, כלומר שכל צורה התחלתית היא טור סינוסים. אוילר התנגד: הוא פקפק בכך שטור כזה יכול לתאר כל צורה התחלתית של המיתר. לגראנז' (1759) הלך בגישה פיזיקלית יותר (הוא חשב על המיתר כשרשרת של הרבה מסות קטנות), ואוילר בגישה מתמטית יותר. בסוף ההרצאה נראה את הקשר בין שתי הצורות של הפתרון: סכום של גלים "עומדים" [math]\displaystyle{ \sin(nx)\cos(cnt) }[/math] מול סכום של גלים נעים.
פורייה עצמו מזכיר את ברנולי בספרו (סעיף 230): לדבריו, בעזרת העקרונות שלו אפשר ליישב קשיים שהופיעו לראשונה במחקר של ברנולי על מיתרים רוטטים. הפתרון של ברנולי הניח שכל פונקציה אפשר לפתח לטור של סינוסים או קוסינוסים, ופורייה מוכיח זאת בכך שהוא מחשב בפועל את המקדמים, כאינטגרלים.
אז למה המקצוע נקרא על שם פורייה, אם המד"ח נפתרה בטורים טריגונומטריים לפניו? כי פורייה הפך את זה לתאוריה סדורה: הוא טען, והראה בצורה הרבה יותר כללית, שכל פונקציה "טובה מספיק" היא טור כזה, והוא זה שפרץ את התחום. מעבר לזה, הוא גם המציא את התמרת פורייה – הנושא הבא שנלמד.
נניח שיש לנו מיתר (למשל של גיטרה) שמחובר בשני הקצוות שלו. לצורך הפשטות נניח שאורכו [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (משפט לחיים: כל אורך הוא [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ביחידות כלשהן). נניח שהמיתר נע רק למעלה ולמטה (מודל חד ממדי), ונסמן ב־[math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math] את גובה המיתר – המרחק שלו מהמרכז, כולל סימן – בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math] ובנקודה [math]\displaystyle{ x\in[0,\pi] }[/math] שעל המיתר.
המיתר בין 0 ל־π; הגובה שלו בנקודה x בזמן t הוא u(x,t)
מסתבר פיזיקלית (ואנחנו מקבלים זאת כעובדה) שהפונקציה הזו חייבת לקיים את המד"ח (משוואה דיפרנציאלית חלקית) הנקראת משוואת הגלים:
כאשר [math]\displaystyle{ c>0 }[/math] קבוע שתלוי במיתר: במתיחות שלו ובמסה שלו ([math]\displaystyle{ c^2 }[/math] הוא המתיחות חלקי המסה ליחידת אורך). העובדה שהמיתר מתוח, סוג של קפיץ, כבר נמצאת בתוך המשוואה. לא צריך ידע קודם במד"ח – נפתור הכל מאפס, בעזרת משוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר) פשוטות.
כיוון שהפתרונות הם הגרעין של אופרטור לינארי, צירוף לינארי של פתרונות מהווה פתרון. זו נקודה קריטית: נמצא אינסוף פתרונות פשוטים, ומהם נרכיב את הפתרון שאנחנו מחפשים.
התנאים של הבעיה:
תנאי ההתחלה של הבעיה הוא צורת המיתר בזמן אפס, [math]\displaystyle{ u(x,0) }[/math] – הצורה של המיתר ברגע שעוזבים אותו.
מהירות המיתר בזמן אפס היא אפס (המיתר במנוחה כשמתחילה הפריטה): [math]\displaystyle{ u_t(x,0)=0 }[/math].
הקצוות קבועים: לכל [math]\displaystyle{ t }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ u(0,t)=u(\pi,t)=0 }[/math].
ננחש פתרונות מסוימים למד"ח, ונקווה שמהם (מצירוף לינארי שלהם) נוכל למצוא פתרון לתנאי התחלה כללי [math]\displaystyle{ u(x,0) }[/math], כלומר לכל צורה של המיתר ברגע הראשון. הניחוש הוא שיטה שנקראת הפרדת משתנים במד"ח: מנחשים שהפתרון הוא מכפלה של פונקציות בכל אחד מן המשתנים,
[math]\displaystyle{ u(x,t)=X(x)T(t) }[/math]
אין שום הבטחה מראש שזה יעבוד – פתרון יכול "לערבב" את [math]\displaystyle{ x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ t }[/math]. זו לא שיטה שפותרת כל מד"ח, אבל היא פותרת לא מעט מהן (למשל גם את משוואת החום), וכאן היא עובדת.
טענה: הפתרונות (שאינם אפס) של משוואת הגלים מהצורה [math]\displaystyle{ X(x)T(t) }[/math], שמקיימים [math]\displaystyle{ u(0,t)=u(\pi,t)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ u_t(x,0)=0 }[/math], הם עד כדי כפל בקבוע
הוכחה. נציב את הניחוש במד"ח [math]\displaystyle{ u_{xx}-\frac{1}{c^2}u_{tt}=0 }[/math]. זה היופי בהפרדת משתנים: כשגוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], הגורם [math]\displaystyle{ T(t) }[/math] הוא קבוע, ולהפך. לכן
הדרך היחידה שפונקציה התלויה ב־[math]\displaystyle{ t }[/math] תהיה שווה תמיד לפונקציה התלויה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] היא ששתיהן קבועות. ולכן יש [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math] כך ש
קיבלנו זוג מד"ר מאוד פשוטות: [math]\displaystyle{ X''=\lambda X }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T''=c^2\lambda T }[/math]. מהתנאים בקצוות, [math]\displaystyle{ X(0)T(t)=X(\pi)T(t)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t }[/math], ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] אינה אפס, ולכן [math]\displaystyle{ X(0)=X(\pi)=0 }[/math]. הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ X''=\lambda X }[/math] הוא [math]\displaystyle{ r^2-\lambda=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \lambda>0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ r=\pm\sqrt{\lambda} }[/math], והפתרון הוא
מ־[math]\displaystyle{ X(0)=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ c_2=-c_1 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ X(\pi)=c_1\left(e^{\sqrt{\lambda}\pi}-e^{-\sqrt{\lambda}\pi}\right)=0 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ c_1=0 }[/math]. כלומר, כדי לקיים את התנאים בקצוות המיתר הפתרון חייב להיות אפס.
אם [math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ X(x)=\alpha+\beta x }[/math], ואותה הבעיה: פונקציה לינארית שמתאפסת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] היא אפס.
לכן [math]\displaystyle{ \lambda<0 }[/math], ומותר לנו לכתוב אותו בצורה [math]\displaystyle{ \lambda=-k^2 }[/math] עם [math]\displaystyle{ k>0 }[/math]:
הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ X }[/math] הוא [math]\displaystyle{ r^2+k^2=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ r=\pm ki }[/math], והפתרון למד"ר הוא
רוצים שהפתרון הזה יתאפס ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math]: זה נותן [math]\displaystyle{ c_1=0 }[/math], ולכן נשארים רק עם הסינוס. עכשיו רוצים שגם כאשר מציבים [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] ה־[math]\displaystyle{ X }[/math] יתאפס: [math]\displaystyle{ c_2\sin(k\pi)=0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ c_2\neq 0 }[/math], ולכן נדרוש [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{N} }[/math]. עד כה קיבלנו פתרונות מהצורה
כיוון שהמהירות היא אפס ברגע הראשון, הנגזרת לפי [math]\displaystyle{ t }[/math] צריכה להתאפס ב־[math]\displaystyle{ t=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ u_t(x,0)=X(x)T'(0)=0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ T'(0)=cnd_2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ d_2=0 }[/math] ונשארים עם הקוסינוסים בלבד. בסך הכל מקבלים את הפתרונות [math]\displaystyle{ u_n(x,t)=\sin(nx)\cos(cnt) }[/math], ובדיקה ישירה מראה שהם אכן פתרונות: [math]\displaystyle{ (u_n)_{xx}=-n^2u_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (u_n)_{tt}=-c^2n^2u_n }[/math].
הערה: בגלל זה בחרנו אורך [math]\displaystyle{ \pi }[/math]: הגענו מהר לצורה של פורייה. עבור מיתר באורך [math]\displaystyle{ L }[/math] אותו חישוב נותן את הפתרונות [math]\displaystyle{ \sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{cn\pi t}{L} }[/math]. ייתכן שלמשוואה יש עוד פתרונות שאינם מהצורה הזו, אבל זה לא מפריע לנו: נראה שבעזרת הפתרונות [math]\displaystyle{ u_n }[/math] לבדם אפשר לייצג כל צורה התחלתית.
הפתרון הכללי: טור סינוסים
כיוון שהמד"ח היא גרעין של אופרטור, כל צירוף לינארי של הפתרונות [math]\displaystyle{ u_n }[/math] הוא פתרון. נניח שזה נכון גם לצירוף אינסופי, בלי הוכחה. לכן הפתרון הכללי שאנחנו מחפשים לבעיה הוא
הוא כבר מקיים את התנאים בקצוות ואת תנאי המהירות ההתחלתית. נותר תנאי ההתחלה: נניח שהצורה המקורית של המיתר, כלומר ברגע הפריטה, היא [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]:
[math]\displaystyle{ u(x,0)=g(x) }[/math]
נציב במשוואה של הפתרון הכללי [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] (אז [math]\displaystyle{ \cos(0)=1 }[/math], והקבוע [math]\displaystyle{ c }[/math] נעלם):
והטור הזה צריך להתכנס ל־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]. טור סינוסים עושה בדיוק את זה! ניקח את טור הסינוסים של [math]\displaystyle{ g }[/math], כלומר את טור הפורייה של ההמשך האי זוגי [math]\displaystyle{ g^- }[/math], עם המקדמים
מחוץ ל־[math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] הטור מתכנס להמשך האי זוגי (והמחזורי), אבל זה לא מעניין אותנו.
האם ההמשך האי זוגי של [math]\displaystyle{ g }[/math] (וההמשך המחזורי שלו) רציף? כן! כי [math]\displaystyle{ g(0)=g(\pi)=0 }[/math] – המיתר מחובר בקצוות. לכן, אם ל־[math]\displaystyle{ g }[/math] יש נגזרות חד צדדיות בכל נקודה (כמו במודל שנבנה מיד), לפי משפט דיריכלה טור הסינוסים מתכנס ל־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math] בכל נקודה של [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math], כולל הקצוות. (מבחינת אנליזת פורייה אפשר לפתח לטור סינוסים גם [math]\displaystyle{ g }[/math] לא רציפה, אבל פיזיקלית מיתר קרוע לא מקיים את משוואת הגלים.)
הערה: יש כאן תנאים שמבטיחים התכנסות במ"ש ומסבירים מדוע הפתרון הזה מקיים את המד"ח: כדי להציב את הטור במד"ח צריך לגזור אותו איבר איבר, ולשם כך לא מספיק שהטור עצמו יתכנס במ"ש – צריך שטורי הנגזרות יתכנסו במ"ש. למשל, אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^2|b_n|<\infty }[/math] אז מותר לגזור פעמיים איבר איבר, לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ולפי [math]\displaystyle{ t }[/math]. לא נרחיב על כך.
בואו נייצר מודל ל־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math] אפשרי, נחשב את טור הסינוסים שלו ולכן את הפתרון למד"ח, ובסוף נראה מדוע באמת הצליל נשמע שונה כשפורטים באזורים שונים של המיתר. כשמושכים את המיתר בנקודה אחת ומחזיקים, המיתר הוא קו ישר מהקצה עד הנקודה שמשכנו, וקו ישר משם לקצה השני. יש שני פרמטרים: נקודת הפריטה [math]\displaystyle{ a\in(0,\pi) }[/math], והגובה [math]\displaystyle{ A }[/math] שאליו מושכים את המיתר.
הצירים לציור של g: נקודת הפריטה a על ציר xהצורה ההתחלתית g של המיתר הפרוט: שני קטעים ישרים שנפגשים מעל נקודת הפריטה
דוגמה: חשבו את המקדמים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] של טור הסינוסים של [math]\displaystyle{ g }[/math], ומצאו את תנועת המיתר [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math].
פתרון. הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] מפוצלת לשני חלקים, ולכן נפצל את האינטגרל לשניים ונוציא את הקבועים החוצה:
נחשב בצד את [math]\displaystyle{ \int x\sin(nx)\,dx }[/math] באינטגרציה בחלקים: גוזרים את [math]\displaystyle{ x }[/math] ומוצאים קדומה ל־[math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math], שהיא [math]\displaystyle{ -\frac{1}{n}\cos(nx) }[/math] (אין כאן חלוקה באפס, כי [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math]):
נסמן את הקדומה הזו ב־[math]\displaystyle{ F(x)=-\frac{x}{n}\cos(nx)+\frac{1}{n^2}\sin(nx) }[/math]. וכמובן [math]\displaystyle{ \int\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\cos(nx) }[/math], ולכן קדומה של [math]\displaystyle{ (x-\pi)\sin(nx) }[/math] היא [math]\displaystyle{ F(x)+\frac{\pi}{n}\cos(nx) }[/math] (המינוס של [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] והמינוס של הקדומה נותנים פלוס). לכן
(בהרצאה השווינו את התוצאה גם לחישוב של ChatGPT וגם למאמר – יצא אותו דבר. כאן חשוב במיוחד שהמספרים יהיו נכונים, כי זה מודל של דבר אמיתי.) כלומר הפתרון שמציג את תנועת המיתר הוא
הגובה [math]\displaystyle{ A }[/math] פשוט נכפל בהכל: פריטה חזקה יותר מגדילה את כל הרכיבים באותו יחס (צליל חזק יותר), ולא משנה שום דבר אחר. לכן הפרמטר המעניין הוא [math]\displaystyle{ a }[/math] – איפה פורטים. (אי אפשר לפרוט ממש בקצה, [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ a=\pi }[/math], כי שם המיתר מחובר.)
כאן [math]\displaystyle{ |b_n|\leq\frac{2A}{a(\pi-a)n^2} }[/math], ולכן לפי מבחן M של ויירשטראס הטור של [math]\displaystyle{ u }[/math] מתכנס במ"ש. אבל אחרי גזירה פעמיים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] האיברים הם מסדר גודל [math]\displaystyle{ |\sin(na)| }[/math], שבאופן כללי לא שואף לאפס, כך שכאן אסור לגזור פעמיים איבר איבר. ואכן, ה"שפיץ" של המשולש מתפצל לשני שפיצים שנעים לאורך המיתר, ובהם אין ל־[math]\displaystyle{ u }[/math] נגזרת שנייה: [math]\displaystyle{ u }[/math] מקיימת את משוואת הגלים בכל נקודה חוץ מהשפיצים – פתרון "מוכלל". אוילר כבר הדגיש במאמרו שמותר לתת למיתר כל צורה התחלתית, גם לא "רגולרית".
המודל הזה, עם מיתר באורך [math]\displaystyle{ L }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ונקודת פריטה [math]\displaystyle{ x_1 }[/math], מופיע במאמר ההוראה המודרני שנעזרתי בו, שבו גם עושים ניסוי מעבדה של מיתר פרוט: P. Perov, W. Johnson, N. Perova-Mello, The physics of guitar string vibrations, Am. J. Phys. 84, 38 (2016). גם המקדמים שם יוצאים כמו אצלנו, אחרי שינוי קנה מידה (מציבים בנוסחה שלנו [math]\displaystyle{ a=\frac{\pi x_1}{L} }[/math]): המקדם של [math]\displaystyle{ \sin\frac{n\pi x}{L} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{2AL^2}{\pi^2n^2x_1(L-x_1)}\sin\frac{n\pi x_1}{L} }[/math].
סימולציה: פריטה באמצע ופריטה בקצה
הכנסנו את הפתרון לגאוגברה, עם [math]\displaystyle{ A=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c=1 }[/math]: סכום חלקי של [math]\displaystyle{ n }[/math] האיברים הראשונים (אי אפשר להציב טור אינסופי), כאשר [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא נקודת הפריטה ו־[math]\displaystyle{ p }[/math] הוא הזמן. כשמריצים את [math]\displaystyle{ p }[/math] רואים את המיתר זז, וזה באמת נראה כמו פריטה (או כמו קפיץ שמותחים ועוזבים). עם איבר אחד זה רק סינוס; עם יותר איברים, בזמן אפס רואים משולש. כבר כאן רואים שכשפורטים בקצה המיתר זז בצורה שונה – יש בו "עיוותים" – אבל זה עוד לא מסביר מה שונה בצליל.
סימולציה בגאוגברה: סכום שלושת האיברים הראשונים של הפתרון, פריטה ב־a=3 (עם A=c=1), בזמן 1.9
כעת נציג את כל הרכיבים של הטור בבת אחת על המסך: כל איבר בנפרד, בלי לסכום. כאשר פורטים קרוב לאמצע המיתר יש גל אחד משמעותי מרכזי (הראשון), ושאר הגלים הם תיקונים קטנים. צריך אותם כי הצורה ההתחלתית היא משולש ולא סינוס, אבל לא צריך הרבה, כי משולש שקודקודו באמצע די קרוב לסינוס.
פריטה קרוב לאמצע (a=1.5): שבעת הרכיבים הראשונים של הטור, כל אחד בנפרד – גל מרכזי אחד ושאר הרכיבים קטנים מאוד
כאשר פורטים קרוב מאוד לקצה, פתאום רואים "ספגטי" של גלים: לרכיבים הלא ראשונים יש משקל משמעותי.
פריטה קרוב לקצה (a=3.1): שבעת הרכיבים הראשונים של הטור, כל אחד בנפרד – הרבה גלים בגדלים דומים
הערה (רואים את זה גם מהנוסחה): היחס בין הרכיב ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] לרכיב הראשון הוא
באמצע, [math]\displaystyle{ a=\frac{\pi}{2} }[/math]: היחס הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי זוגי ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי – הרכיבים הגבוהים דועכים מהר.
קרוב לקצה, [math]\displaystyle{ a=\pi-\varepsilon }[/math] עם [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] קטן: [math]\displaystyle{ |\sin(na)|=|\sin(n\varepsilon)|\approx n\varepsilon\approx n\sin a }[/math] (כל עוד [math]\displaystyle{ n\varepsilon }[/math] קטן), ולכן היחס הוא בערך [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] – הרכיבים דועכים לאט. למשל עבור [math]\displaystyle{ a=3.1 }[/math] היחסים הם בערך [math]\displaystyle{ \frac12,\frac13,\frac14,\frac15 }[/math].
כיוון ש־[math]\displaystyle{ |\sin(na)|\leq n\sin a }[/math] תמיד, היחס לעולם אינו עולה על [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math], וכשפורטים קרוב לקצה מתקרבים לחסם הזה: שם ההרמוניות הכי חזקות. הסימטריה בין שני הקצוות נובעת מכך ש־[math]\displaystyle{ |b_n| }[/math] לא משתנה כשמחליפים את [math]\displaystyle{ a }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \pi-a }[/math].
מה שזז עם הזמן, ולכן מה שאנחנו שומעים, הוא החלק [math]\displaystyle{ \cos(cnt) }[/math]; הסינוסים [math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math] הם רק הצורה של כל רכיב לאורך המיתר. הרכיב ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] רוטט בתדר
כלומר המיתר לא משמיע תו אחד: הוא משמיע בבת אחת את התדר היסודי [math]\displaystyle{ \frac{c}{2\pi} }[/math] (התו שאנחנו מזהים) ואת כל הכפולות השלמות שלו, בעוצמות שנקבעות לפי המקדמים [math]\displaystyle{ b_n }[/math]. הרכיבים האלה נקראים ההרמוניות של הצליל (למשל [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] הוא התו באוקטבה מעל). כל תו שאנחנו שומעים מכלי נגינה מורכב בעצמו מאינסוף תווים, והשילוב של ההרמוניות קובע איך הצליל נשמע – זו התשובה לשאלה למה אותו תו נשמע שונה בכלים שונים.
בספקטרוגרמה הבאה הציר האופקי הוא הזמן, הציר האנכי הוא התדר, והצבע הוא האמפליטודה: צהוב-אדום – חזק, שחור-סגול – חלש. (מחשבים אותה בעזרת התמרת פורייה הבדידה – החלק השלישי של הקורס.) רואים בה שתי פריטות על אותו מיתר: משמאל פריטה קרוב לאמצע, ומימין פריטה בקצה.
ספקטרוגרמה של שתי פריטות על אותו מיתר (אופקי: זמן, אנכי: תדר): משמאל פריטה קרוב לאמצע, מימין פריטה בקצה – שם ההרמוניות הגבוהות חזקות יותר
בשתי הפריטות רואים הרבה קווים אופקיים במרווחים קבועים – ההרמוניות – שנחלשים ככל שעולים בתדר. כאשר הפריטה בקצה, ההרמוניות, כלומר הרכיבים הלא ראשונים בטור, הרבה יותר משמעותיות לעומת הראשונים – בדיוק כמו במודל שפיתחנו ביחד. לכן הפריטה בקצה נשמעת "גבוהה" יותר, למרות שזה אותו תו: יש בה הרבה יותר מהרכיבים הגבוהים.
שריקה מול מיתר. בהקלטה של שריקה, גרף לחץ האוויר נראה בערך כמו סינוס, ובספקטרוגרמה רואים כמעט באופן בלעדי תדר אחד. שריקה נשמעת בערך אותו דבר לא משנה מי שורק – בניגוד לכלי נגינה.
בפריטה על מיתר רואים הרבה קווים, וזה בדיוק מה שהמודל שלנו אומר: התנועה לא בנויה מסינוס אחד אלא מאינסוף סינוסים, שהולכים ונחלשים, ובתדרים שהם כפולות של התדר היסודי (ולכן הקווים במרווחים קבועים). אם מסננים מההקלטה הרמוניה אחת, כמעט לא שומעים הבדל. אם משאירים רק הרמוניה גבוהה אחת, שומעים סינוס בתדר הרבה יותר גבוה, שלא נשמע כמו המיתר. הרכיב החזק ביותר הוא הראשון, ואם משאירים רק אותו מקבלים צליל הרבה יותר קרוב לצליל המקורי של המיתר.
פריטה באמצע מול פריטה בקצה. אחרי שיודעים מה לחפש ומקשיבים שוב, הפריטה בקצה באמת נשמעת קצת יותר גבוהה – זה אותו תו, אבל יש בו הרבה יותר מהרכיבים הגבוהים. ציפיתי לראות את ההבדל כבר בהרמוניה הראשונה, השנייה והשלישית, ושם לא רואים בעין הבדל משמעותי; ההבדל הבולט הוא בהרמוניות הגבוהות. גם בסימולציה בגאוגברה רואים את זה: כשהפריטה במרכז כמעט לא רואים גלים קטנים, וכשהיא בקצוות (בכל אחד מהשניים) פתאום רואים אותם.
זו הפעם הראשונה שאנחנו רואים טור פורייה בעולם האמיתי: כל הסינוסים הם הרמוניות של אותו תו, והאוזן שומעת את כולם בבת אחת ושומעת מהם צליל אחד.
התשובה לשאלה 1 היא המשוואות הדיפרנציאליות שראינו: פתרנו את משוואת הגלים וקיבלנו סינוסים וקוסינוסים. מיתר הוא דוגמה אחת, קפיץ דומה מאוד, ועוד הרבה דברים כפופים למשוואת הגלים – בפרט גלי אור, ובאופן כללי גלים אלקטרומגנטיים. הגלים נוצרים בטבע כי הם הפתרונות של המשוואות האלה.
נביט בביטוי [math]\displaystyle{ \sin(nx)\cos(mt) }[/math] (ביטויים כאלה הופיעו בפתרון, עם [math]\displaystyle{ m=cn }[/math]), ונחפש זהות עם משמעות גאומטרית – לא בזהות עצמה אלא בתוצאה:
עבור [math]\displaystyle{ t }[/math] קבוע כל אחד מהמחוברים הוא צורה של גל. כש־[math]\displaystyle{ t }[/math] גדל, הגל [math]\displaystyle{ \sin(nx-mt)=\sin\left(n\left(x-\frac{m}{n}t\right)\right) }[/math] זז ימינה במהירות [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math], והגל [math]\displaystyle{ \sin(nx+mt) }[/math] זז שמאלה באותה מהירות. כלומר הפתרון הוא סכום של גלים שנעים לכיוון אחד ולכיוון הנגדי, ומה שאנחנו רואים הוא השילוב שלהם. בפתרון שלנו [math]\displaystyle{ m=cn }[/math], כך שכל הגלים נעים באותה מהירות [math]\displaystyle{ c }[/math].
הערה: אם סוכמים על כל [math]\displaystyle{ n }[/math], מקבלים את הפתרון כולו בצורה של שני גלים נעים. נסמן ב־[math]\displaystyle{ \widetilde{g^-} }[/math] את ההמשך המחזורי של ההמשך האי זוגי של [math]\displaystyle{ g }[/math]; כאשר טור הסינוסים מתכנס אליו בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] (למשל במודל המשולש), מקבלים
הצורה ההתחלתית מתפצלת לשני חצאים, אחד נע ימינה ואחד שמאלה. זו דרך אחרת לפתור את משוואת הגלים: לנחש מראש שהפתרון הוא סכום של שני גלים כאלה (את הפתרון הזה מכירים בקורסים על גלים בפיזיקה). שתי התפיסות שקולות, והזהות הטריגונומטרית היא מה שמשווה ביניהן – בדיוק כך עובר אוילר מצורה אחת לשנייה במאמר שלו.
באיור 3 של אוילר רואים את ההמשך הזה: הצורה של המיתר בין A ל־B ממשיכה מעבר לקצוות, כל פעם הפוכה (מעל הציר ומתחתיו לסירוגין) – זה בדיוק [math]\displaystyle{ \widetilde{g^-} }[/math].
איור 3 מהמאמר של אוילר משנת 1749 (E119): צורת המיתר AB ממשיכה לסירוגין מעבר לקצוות – ההמשך האי זוגי המחזורי
פיזיקאים יגידו שגל הוא הפרעה שמתקדמת במרחב; כאן, כשאומרים גל, מתכוונים בעיקר למחזוריות. נסתכל על התכונות של גל שהוא פונקציה טריגונומטרית פשוטה:
[math]\displaystyle{ f(x)=a\sin(bx+c) }[/math]
הגל f(x)=a sin(bx+c) בגאוגברה, עם a=3.2, b=2.8, c=0.8
המקדם [math]\displaystyle{ a }[/math] משפיע על העוצמה של הפונקציה (לא במובן של המושג הפיזיקלי "עוצמה"), או בשפה המקצועית אמפליטודה.
המקדם [math]\displaystyle{ b }[/math] משפיע על התדר, כלומר כמה מחזורים מתקיימים בשנייה (נניח; כל יחידת זמן אחרת תעבוד): ביחידת זמן מתקיימים [math]\displaystyle{ \frac{b}{2\pi} }[/math] מחזורים.
המקדם [math]\displaystyle{ c }[/math] משפיע על הפאזה, שהיא ההזזה של הגל.
ומה שומעים:
את האמפליטודה אנחנו שומעים בקול כעוצמה (כמה חזק לוחץ האוויר).
את התדר אנחנו שומעים כתו: צליל גבוה, צליל נמוך. בהקלטה של שלוש שריקות שונות, בחלון זמן קבוע סופרים 9, 12 ו־6 מחזורים – שלושה תווים שונים. האוזן סופר רגישה: שינוי קטן בתדר נשמע מיד (הרבה יותר ממה שהעיניים שלנו מבחינות בין צבעים קרובים).
את הפאזה אנחנו לא שומעים. אבל הפאזה סופר חשובה, כפי שנראה מיד.
הערה: לפי המודל שלנו, הגלים לאורך המיתר הם תמיד [math]\displaystyle{ \sin(nx) }[/math] – אז מה קובע את התו? מה שאנחנו שומעים הוא [math]\displaystyle{ \cos(cnt) }[/math], כלומר התו נקבע לפי [math]\displaystyle{ c }[/math] (שתלוי במתיחות ובמסה של המיתר) ולפי האורך, שקבענו מראש להיות [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. עבור אורך [math]\displaystyle{ L }[/math] התדר היסודי הוא [math]\displaystyle{ \frac{c}{2L} }[/math]: מיתר קצר יותר או מתוח יותר נותן תו גבוה יותר.
שאלה: יולי שורקת (איכשהו) בצליל [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math], ואופיר מפריע כהרגלו ושורק בצליל [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]. האמפליטודה זהה (1), התדר זהה, הפאזה שונה. יולי נעלבת ומפסיקה לשרוק; אופיר מרוכז בעצמו וממשיך כאילו כלום.
האם נשמע את אותו התו?
האם נשמע חזק או חלש יותר?
פתרון. סינוס וקוסינוס הם אותה פונקציה עם הזזה קטנה: [math]\displaystyle{ \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) }[/math]. מבחינת האוזן אין שום הבדל בין השריקה של יולי לשריקה של אופיר.
אותו תו? כל שריקה בנפרד – ודאי, כי מה שמגדיר את התו הוא התדר. השאלה הלא טריוויאלית היא האם כששניהם שורקים ביחד התו משתנה ("האם דו ועוד דו יכול להיות רה?"), כלומר האם [math]\displaystyle{ \sin x+\cos x }[/math] הוא עדיין גל טריגונומטרי עם אותו תדר. התשובה כן:
ובאופן כללי, לכל [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] ממשיים שלא שניהם אפס, [math]\displaystyle{ \alpha\sin x+\beta\cos x=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,\sin(x+\varphi) }[/math] עבור זווית [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] מתאימה.
חזק או חלש יותר? באופן די מדהים, התשובה לגבי האמפליטודה היא: תלוי – בפאזות. שני גלים באותו תדר יכולים לחזק זה את זה, אבל יכולים גם להפריע זה לזה. אם כשאחד בשיא השני בשפל ובאותה אמפליטודה (התאבכות הורסת), למשל [math]\displaystyle{ \sin x+\sin(x+\pi)=0 }[/math], הם מבטלים זה את זה. כך עובדות אוזניות מבטלות רעשים. בניסוי שהוצג בהרצאה, שני רמקולים משמיעים את אותו הצליל, וכשמנמיכים אחד מהם הצליל דווקא מתחזק – כי שני הגלים הפריעו זה לזה. בגלל זה הפאזה כל כך חשובה: אנחנו לא שומעים אותה, אבל כששומעים כמה צלילים בפאזות שונות הם נסכמים באוזן, והפאזות משפיעות על האמפליטודה.
עבור סינוס וקוסינוס דווקא, האמפליטודה של סכום השריקות היא [math]\displaystyle{ \sqrt{2}>1 }[/math]. לכן כשיולי מפסיקה לשרוק שומעים את אותו התו, אבל חלש יותר. בהרצאה הבאה נראה דרך טבעית לחשב זאת בעזרת מספרים מרוכבים: חושבים על מספר מרוכב כעל "כמות" של הגל [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] (האורך – האמפליטודה, הזווית – הפאזה). אז [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] הוא כמות [math]\displaystyle{ 1 }[/math] של הגל, [math]\displaystyle{ \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) }[/math] הוא כמות [math]\displaystyle{ i }[/math], הסכום הוא כמות [math]\displaystyle{ 1+i }[/math], והאמפליטודה שלו היא [math]\displaystyle{ |1+i|=\sqrt{2} }[/math].
תזכורת: אנחנו עוסקים קצת בגלים טריגונומטריים ובתכונות שלהם. עבור הגל
[math]\displaystyle{ f(x)=a\sin(bx+c) }[/math]
המקדם [math]\displaystyle{ a }[/math] משפיע על האמפליטודה (אותה אנחנו שומעים כעוצמה), [math]\displaystyle{ b }[/math] על התדר (אותו אנחנו שומעים כצליל גבוה או נמוך) ו־[math]\displaystyle{ c }[/math] על הפאזה (אותה אנחנו לא שומעים ישירות).
שאלה: יולי שורקת בצליל [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] ואופיר שורק בצליל [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]. מה יקרה כששניהם שורקים, לעומת רק אחד מהם? האמפליטודה של יולי היא 1, וכך גם האמפליטודה של אופיר. מה הייתם מצפים שתהיה האמפליטודה של סכום הצלילים? התשובה הנאיבית, 2, שגויה. ומה שיפה הוא לא רק שהיא שגויה, אלא האופן שבו מחשבים את התשובה הנכונה. החזיקו חזק.
מספרים מרוכבים כ"כמות" של גל. מה זה מספר? מדד של כמות. האם המספרים המרוכבים מודדים כמות? כן. דמיינו שמספר מרוכב מודד כמות של גל בתדר מסוים. לגל יש אמפליטודה ופאזה, שביחד מהוות את ה"כמות" שלו, ונבחר שהאורך של המספר המרוכב ימדוד את האמפליטודה, והזוית שלו את הפאזה. אם [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] הוא הגל הבסיסי, מה זה כמות [math]\displaystyle{ i }[/math] של אותו הגל? האורך של [math]\displaystyle{ i }[/math] הוא 1, כך שהאמפליטודה לא משתנה, והזוית שלו היא [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math], כך שהפאזה זזה ב־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]. מקבלים [math]\displaystyle{ \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x) }[/math]:
הגרפים של cos(x) בירוק ושל cos(x−π/2) בכחול: הזזת הפאזה של cos(x) ב־π/2 נותנת בדיוק את sin(x)
עכשיו תוכלו לומר שזה סיפור יפה מאד, אבל האם יש לו משמעות מתמטית? למשל, הגובה והמשקל של אופיר הם [math]\displaystyle{ (167,55) }[/math], ואולי נחליט שכמות אופיר של [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] היא [math]\displaystyle{ 167\cos(x-55) }[/math]. מסתבר שלמרוכבים (ולא לאופיר) יש משמעות עמוקה יותר: החשבון שלהם מתאים בדיוק לחיבור של גלים.
כלומר האמפליטודה של סכום השריקות צפויה להיות [math]\displaystyle{ |1+i|=\sqrt{2} }[/math], והפאזה של סכום השריקות צפויה להיות הזוית של [math]\displaystyle{ 1+i }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math]. ואכן, זה בדיוק מה שקורה:
המרוכבים הם השפה הטבעית של גלים: הם תופסים את האמפליטודה ואת הפאזה, והחשבון שלהם עובד כמו שהיינו רוצים. פורייה עוסק בגלים, ולכן השפה של המרוכבים היא גם השפה הטבעית של פורייה.
למה זה עובד: מרחב וקטורי של גלים. בפיתוח קטן שלי הגדרתי מרחב וקטורי של הגלים הטריגונומטריים בתדר קבוע [math]\displaystyle{ \omega }[/math], כלומר הפונקציות [math]\displaystyle{ r\cos(\omega x+\varphi) }[/math] (עם [math]\displaystyle{ r\ge 0 }[/math]), כשהסקלרים הם המספרים המרוכבים. החיבור הוא חיבור רגיל של פונקציות, וכפל בסקלר [math]\displaystyle{ \rho e^{i\alpha} }[/math] כופל את האמפליטודה ב־[math]\displaystyle{ \rho }[/math] ומזיז את הפאזה ב־[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]:
(הסימן נבחר כך ש־[math]\displaystyle{ i\cdot\cos(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x) }[/math], כמו למעלה.) הוכחתי שמדובר במרחב וקטורי, ומה שעשינו למעלה הוא בדיוק חוק הפילוג במרחב וקטורי:
דרך קצרה לראות את זה: נתאים לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] את הגל [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\left(ze^{-i\omega x}\right) }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ z=re^{-i\varphi} }[/math] מקבלים
כך שזו התאמה חח"ע ועל בין [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] לבין הגלים בתדר [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. היא מכבדת חיבור, כי החלק הממשי של סכום הוא סכום החלקים הממשיים, וכפל ב־[math]\displaystyle{ \rho e^{i\alpha} }[/math] הופך את [math]\displaystyle{ re^{-i\varphi} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \rho re^{-i(\varphi-\alpha)} }[/math], שמתאים בדיוק לגל [math]\displaystyle{ \rho r\cos(\omega x+\varphi-\alpha) }[/math]. כלומר מרחב הגלים בתדר [math]\displaystyle{ \omega }[/math] הוא עותק של [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]: חיבור של גלים הוא חיבור של מספרים מרוכבים.
צירוף לינארי כלשהו של סינוס וקוסינוס. נגיד שיולי שורקת חזק, [math]\displaystyle{ a\sin(x) }[/math], ואופיר שורק בעוצמה [math]\displaystyle{ b }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b\cos(x) }[/math]. מה האמפליטודה ומה הפאזה של הצליל המשותף? נכתוב את [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] בהצגה קוטבית: [math]\displaystyle{ a=r\cos(\theta),\ b=r\sin(\theta) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא הזוית של [math]\displaystyle{ a+bi }[/math]. אז
כאן רואים שהאמפליטודה היא האורך של [math]\displaystyle{ a+bi }[/math], והפאזה היא הזוית של המספר המרוכב (כאן הגל הבסיסי הוא [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] והזוית מזיזה אותו שמאלה; כיוון ההזזה הוא רק עניין של מוסכמה). סינוס וקוסינוס פורשים את כל הגלים מאותו התדר, ולכן ברגע שמפרקים גל לפיהם אפשר לחשב את האמפליטודה והפאזה של כל סכום של גלים מאותו התדר.
פרויקט שהתחלתי עם יוני טוקר, ולא סיימנו (די באשמתי), עדיין הניב תוצאות דידקטיות יפות (פשוט רצינו סרטון). הוא מראה איך תופעות פיזיקליות נובעות ישירות מהדרישה המתמטית לרציפות ולגזירות.
אנחנו נחשוב על בועת סבון. אור עובר דרך האוויר, אחר כך דרך הקיר של בועת הסבון, ואז חוזר לאוויר. מסתבר שמהירות האור בתווכים שונים היא מעט שונה, ולכן מהירות האור באוויר ובסבון שונה. כמו כן, גל האור יכול לנוע בשני הכיוונים על קו ישר (בהרצאה 4 ראינו שפתרון של משוואת הגלים מתפרק לסכום של גל שנע לכיוון אחד וגל שנע לכיוון הנגדי). לכאורה היינו מצפים שהאור יתקדם בכיוון אחד בלבד: ממקור האור אל קיר הבועה, ומקיר הבועה קדימה. מסתבר שזה בלתי אפשרי.
מה זה בכלל אור? אור הוא קרינה אלקטרומגנטית, והגל הוא שינוי בחוזק של הקרינה. נהוג לצייר גל אור כגל שעולה ויורד סביב קו ישר, אבל זה מטעה: האור לא הולך למעלה ולמטה. מה שמשתנה לאורך הקו הישר הוא חוזק הקרינה.
הציור המקובל של גל אור: גל שמתנדנד סביב קו ישר
שאלה למחשבה: המיקרוגל. במיקרוגל, מה שמונע מהקרינה לצאת החוצה זו רשת מתכת עם חורים (הנקודות הקטנות שרואים בדלת)! למה שהקרינה, שלכאורה נעה בקו ישר, לא תצא מבין החורים? אם האור היה קרן של פוטונים, הם היו עוברים דרך החורים; ואם הגל היה מתנדנד כמו בציור, אולי היה נתקע ברשת ואולי עובר דרכה. התשובה היא שלא זו ולא זו הדרך הנכונה לחשוב על זה.
תחשבו על הגל האלקטרומגנטי בתור גודל בכל נקודה במרחב. זו אחת הסיבות שקשה לדמיין אותו: זה ארבע־ממדי (שלושה ממדים של המרחב, ועוד ממד לעוצמה), ולכן מייצגים את העוצמה בצבע. הנה קו אחד מתוך כל העולם של הקרינה: אדום הוא קרינה חזקה בכיוון אחד, כחול הוא קרינה בכיוון השני. משמאל אוויר, ומימין (ברקע האפור) הקיר של בועת הסבון:
קו אחד מתוך הקרינה, צבוע לפי עוצמתה (אדום וכחול לשני הכיוונים), ומעליו אותו גל כגרף. משמאל אוויר, מימין ברקע אפור קיר הבועה, שבו הגל צפוף יותר
בכל נקודה הקרינה מתחזקת ונחלשת באותו הקצב, גם באוויר וגם בתוך בועת הסבון: התדר נשמר. אבל מהירות הגל בתוך הבועה קטנה יותר, ולכן שם הגל צפוף יותר (אורך הגל קצר יותר).
ובחזרה למיקרוגל: העולם רציף. אם בנקודה מסוימת הקרינה "אדומה", אז גם מעט לידה היא אדומה, כלומר סביב כל נקודה כזו יש "גולה" של קרינה, והגולה הזו לא מצליחה לעבור דרך חורי הרשת. (במונחים פיזיקליים: החורים, בקוטר של מילימטרים בודדים, קטנים בהרבה מאורך הגל של קרינת המיקרוגל, כ־12 ס"מ.)
למה חלק מהאור חייב לחזור אחורה. האם ייתכן שהאור שמתקדם קדימה ייראה כך?
אור שרק מתקדם קדימה, באוויר ובקיר הבועה (ברקע האפור): הגרף קופץ בנקודות המעבר, כלומר אינו רציף
לא, כי זה לא רציף! לא יכול להיות שגודל השדה יהיה כל כך שונה בצד האוויר של הבועה לעומת הצד הפנימי של קיר הבועה. אם נזיז את הפאזה של הגל, זה כן יהיה רציף. אבל מה תהיה הבעיה?
אחרי הזזת הפאזה הגל רציף בנקודת המעבר 0, אבל יש בה שפיץ, כלומר הוא אינו גזיר
זה לא גזיר! והעולם רציף וגזיר (לכאורה). אי אפשר לקיים את שתי הדרישות כשכל האור מתקדם לכיוון אחד: בשביל שהגל יהיה גם רציף וגם גזיר, מסתבר שחלק מהקרינה צריך לחזור אחורה.
הגלים הכחולים מתקדמים קדימה, האדומים חוזרים אחורה. מקור האור נכנס משמאל; חלק ממנו ממשיך קדימה וחלק חוזר אחורה. לכן הגל שממשיך בתוך הקיר קטן יותר (האמפליטודה שלו ירדה), וכשהוא מגיע לקצה השני של הקיר, שוב חלק ממשיך קדימה וחלק חוזר. מה שיוצא בצד השני הוא רק מה שנשאר.
איפה הרציפות והגזירות שהבטחתי לכם? בסכום! בגרף רואים רק את המרכיבים שזזים, אבל בכל נקודה ונקודה הקרינה היא בגודל של סכום המרכיבים:
סכום כל הרכיבים: רציף וגזיר גם בנקודות המעבר בין האוויר לקיר הבועה
טעימה מההוכחות. במודל, קיר הבועה (או הזכוכית) הוא הקטע [math]\displaystyle{ 0\le x<a }[/math]. [math]\displaystyle{ \omega }[/math] הוא התדר, שזהה בכל התווכים; [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k_2 }[/math] קובעים את צפיפות הגל באוויר ובקיר (שם האור איטי יותר, ולכן [math]\displaystyle{ k_2>k_1 }[/math]), והסימן של [math]\displaystyle{ \pm k }[/math] קובע את כיוון התנועה:
עבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] (באוויר, לפני הבועה): מקור האור ועוד האור החוזר,
הגל הפיזיקלי הוא החלק הממשי. עובדים עם המרוכבים כי שם החשבון הרבה יותר קל: הנגזרת של האקספוננט היא שוב אקספוננט (בממשיים הנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, כלומר עוברים כל הזמן בין סינוסים לקוסינוסים, והחשבון מסתבך מאד).
הדבר החשוב הוא שהדרישה לרציפות ולגזירות בשתי נקודות הפיצול נותנת 4 משוואות לינאריות ב־4 הנעלמים [math]\displaystyle{ A_2,A_3,A_4,A_5 }[/math], ולמערכת יש פתרון יחיד. כלומר נקבעות האמפליטודות של כל הרכיבים, פרט למקור האור (שאינו תלוי בנו): נקבע כמה אור יחזור אחורה וכמה ימשיך קדימה. (מקור: פיתוח שלי. סמכו עליי, או ראו את הקובץ בתיקיית המאמרים.)
הערה: פונקציות מפוצלות קורות בטבע באופן טבעי לחלוטין, וההתנהגות הפיזיקלית שלהן נובעת מהדרישה לרציפות ולגזירות. גם חוק סנל, למי שמכיר, נובע באופן דומה מרציפות וגזירות.
ככה בדיוק עובדת מראה, ובפרט מראה חד־כיוונית: כשאור פוגש זכוכית, חלק ממנו עובר וחלק חוזר. ההשתקפות תמיד קיימת; לפעמים היא פשוט זניחה ביחס לאור שעבר.
מראה חד־כיוונית אינה באמת חד־כיוונית: רוב האור שמגיע אליה חוזר, ומיעוטו עובר. מי שנמצא בחדר מואר מקבל בחזרה את רוב האור של החדר שלו, והמעט שמגיע מהכיוון השני זניח לעומתו, ולכן הוא לא רואה דרכה. (יש כאן גם שאלה של פרטיות: עם מכשור מתאים אפשר לראות דרך מראה חד־כיוונית, למשל אם האור בחדר לבן ומהצד השני עובר אור סגול, אפשר להפריד את התדר הזה ולראות אותו.)
חלון בלילה. נניח שאתם בבית, ורואים בחלון, נורמלי לכל דבר ועניין, את הנוף. פתאום מחשיך, ולא הצלחתם למצוא תירוץ להתחמק מהמפגש החברתי המעיק, והחלון הפך למראה. דבר דומה קורה כאשר מכבים את מסך הטלפון: את מי רואים פתאום? את עצמנו. זה נקרא "מראה שחורה" בתרבות הפופולרית, ככינוי גנאי למסכים. הפיזיקה של הזכוכית לא השתנתה כשהמסך כבה: ההשתקפות תמיד הייתה שם, פשוט היא הייתה זניחה ביחס לאור שעבר.
ולבסוף, בועת סבון! עובי הבועה במודל שלנו (או עובי הזכוכית) משפיע על כמות החזר האור. בעובי הבא רוב האור מוחזר:
עובי בועה שבו רוב האור מוחזר: הגל שיוצא מימין קטן בהרבה מהגל שמשמאל לבועה
ובעובי הזה כל האור מועבר:
עובי בועה שבו כל האור מועבר: הגל שיוצא מימין זהה בגודלו לגל שמגיע משמאל
לא רק עובי הבועה משפיע על כמות ההחזרים, גם התדר משפיע. לכל תדר יש עובי בועה אופטימלי שמעביר את התדר הזה, אך מחזיר אחרים (במודל, כל האור בתדר מסוים עובר כשהעובי [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא כפולה שלמה של חצי אורך הגל בתוך הבועה, כלומר [math]\displaystyle{ k_2a=m\pi }[/math]). לכן עבור עובי בועה קבוע, תדר מסוים של אור יעבור קדימה, והשאר יוחזר (בערך, במודל שבו ההבדל בין מהירויות האור גדול), ובצד השני נראה בעיקר את הצבע הזה. ואם הבועה היא בעובי לא אחיד, כמו בועת סבון רגילה, נראה אפקט צבעוני.
הערה: בתוך הבועה האור חוזר ומוחזר שוב ושוב בין שני הקירות, כך שזה תהליך אינסופי: סכימת כל ההחזרים היא סכום של טור הנדסי אינסופי, והיא נותנת בדיוק את הפתרון של מערכת המשוואות. בבועת סבון אמיתית מהירות האור במים קטנה רק פי 1.33 בערך מאשר באוויר, ולכן גם בעובי ה"גרוע" ביותר רק כ־8% מהאור מוחזר, ורוב האור עובר בכל התדרים. לכן את הצבעים של בועה אמיתית רואים בעיקר באור המוחזר, שבו חסרים התדרים שעוברים במלואם. העיקרון הוא אותו עיקרון: העובי קובע אילו תדרים עוברים ואילו מוחזרים.
עכשיו אנחנו עוברים לנושא השני מתוך שלושה של הקורס (טורי פורייה, התמרת פורייה והתמרת פורייה בדידה): התמרת פורייה. ראשית נביט בדברים הבאים. עבור המכפלה הפנימית
(שימו לב: כאן מנרמלים ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math] ולא ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math] כמו בטור הממשי) הקבוצה [math]\displaystyle{ \left\{e^{inx}\right\}_{n\in\mathbb{Z}} }[/math] היא קבוצה אורתונורמלית. בהינתן [math]\displaystyle{ f }[/math] היינו מצפים אולי ש
הרי ככה מתנהגת קבוצה א"נ סופית פורשת: המקדם של כל איבר בסיס הוא המכפלה הפנימית של הווקטור עם אותו איבר. בעזרת הזוגות [math]\displaystyle{ e^{inx},e^{-inx} }[/math] רואים שזה בעצם שקול לטור הפורייה הרגיל שראינו, ולכן כל המשפטים על טור פורייה תקפים גם כאן.
לכן כל משפטי ההתכנסות של טור פורייה (למשל משפט דיריכלה) עוברים כמו שהם לטור המרוכב, כשסוכמים מ־[math]\displaystyle{ -N }[/math] עד [math]\displaystyle{ N }[/math]. זה לא באמת משהו חדש, וזה גם היתרון: לא צריך לעשות את העבודה מחדש.
(הצמוד של [math]\displaystyle{ e^{inx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ e^{-inx} }[/math]). בשפה של גלים, המקדם הוא ה"כמות" של הגל [math]\displaystyle{ e^{inx} }[/math], כלומר האמפליטודה שלו (מספר מרוכב, שמקודד גם את הפאזה), ו־[math]\displaystyle{ n }[/math] משפיע על התדר. הפאזה יכולה לנוע באופן חופשי כי יש גם את [math]\displaystyle{ n }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ -n }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית מתקיים [math]\displaystyle{ c_{-n}=\overline{c_n} }[/math], ולכן
זה גל ממשי באמפליטודה [math]\displaystyle{ 2|c_n| }[/math] ובפאזה [math]\displaystyle{ \arg c_n }[/math]. התמרת פורייה תיראה בדיוק כמו ההכללה של הטור המרוכב לכל הממשיים. בספרים מודרניים עושים רק את הטור המרוכב; בקורס נשארנו עם הממשי, אבל כשעוברים להתמרת פורייה השפה המרוכבת הרבה יותר זורמת וטבעית.
כל מה שעשינו עד כה רלוונטי לפונקציות מחזוריות. האם אפשר לעשות טכניקה דומה על פני כל הממשים, במקום להיצמד לקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] ולשכפל אותו? במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] שלם נעבור לפרמטר רציף [math]\displaystyle{ s }[/math], ובמקום הקטע ניקח את כל הישר:
זה צפוי להיות המקדם, כלומר האמפליטודה, של הגל [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math]. בטור פורייה, כשסוכמים את כל הגלים [math]\displaystyle{ e^{inx} }[/math] עם האמפליטודות הנכונות, מקבלים בחזרה את [math]\displaystyle{ f }[/math]. כאן [math]\displaystyle{ s }[/math] רץ על כל הממשיים, ולכן הסכימה היא אינטגרל. לכאורה, אם נסכום את כל הגלים עם האמפליטודות שלהם:
כרגע זו ירייה באפלה; בהמשך נוכיח שבתנאים מסוימים זה אכן עובד (משפט ההתמרה ההפוכה, בהרצאה 6).
מבחינה הנדסית־פיזיקלית, [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] תייצג את האמפליטודה של הרכיב של [math]\displaystyle{ f }[/math] שהוא הגל [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math]. במילים אחרות: לוקחים פונקציה תמימה [math]\displaystyle{ f }[/math] ומפרקים אותה לסכום של גלים. כמה כל גל הוא משמעותי? [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] אומרת לנו. זה בדיוק מה שעשינו במיתר בהרצאה 4: התנועה של המיתר היא סכום של אינסוף גלים, אבל שם התדרים באו בקפיצות; עכשיו כל תדר אפשרי.
הגדרה: תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} }[/math]. נגדיר את התמרת פורייה שלה להיות הפונקציה
(בכל [math]\displaystyle{ s }[/math] שבו האינטגרל מתכנס).
רגע, מה זו בכלל התמרה? אין הגדרה (שאני מכיר) למה בדיוק נחשב התמרה, אבל הכוונה בדרך כלל היא לאופרטור שלוקח פונקציות ושולח אותן לפונקציות. אתם הייתם אמורים לראות את התמרת לפלס. שם למשל
(עבור [math]\displaystyle{ s>a }[/math]). בלפלס לא ראינו קשר משמעותי בין הפונקציה שנכנסה לזו שיצאה, ולמדנו להשתמש בהתמרה הזו רק באופן טכני. בפורייה, להתמרה יש משמעות! הפונקציה שיוצאת מתארת את הגדלים של הרכיבים הגליים של הפונקציה המקורית.
בהנדסה נהוג לומר ש־[math]\displaystyle{ f(t) }[/math] מוגדרת במרחב הזמן, כלומר היא מספרת מה העוצמה של אות מסוים בכל נקודה בזמן (כמו גל אלקטרומגנטי, או גל קול), וההתמרה שלה [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] מוגדרת במרחב התדר, כלומר היא מספרת מה העוצמה של הגל בכל תדר.
את המשמעות קשה יותר להמחיש בהתמרה הרציפה: היא מניחה אות ממינוס אינסוף עד אינסוף, כאילו מנתחים את הקול של היקום מתחילתו ועד סופו. השימושים ההנדסיים האמיתיים הם לרוב בהתמרת פורייה הבדידה (בהמשך הקורס), והרעיונות דומים; בהתמרה הרציפה נשתמש בעיקר באופן טכני, למשל לפתרון משוואות דיפרנציאליות.
יש כל מיני דברים להגיד על ההתמרה, זה פרק שלם בקורס, אבל בואו נתחיל דווקא בדוגמה חישובית טכנית.
דוגמה: חשבו את התמרת הפורייה [math]\displaystyle{ \mathcal{F}\left(e^{-|x|}\right) }[/math].
הערך המוחלט מרגיז, ולכן נפצל לפי הסימן של [math]\displaystyle{ x }[/math]. (שימו לב: אמנם [math]\displaystyle{ e^{-|x|} }[/math] זוגית, אבל אי אפשר פשוט לחשב חצי מהאינטגרל ולהכפיל ב־2 כמו בטור פורייה של פונקציה זוגית, כי האינטגרנד [math]\displaystyle{ e^{-|x|}e^{-isx} }[/math] מרוכב ואינו זוגי.)
כי [math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] חסומה: [math]\displaystyle{ \left|e^{-isx}\right|=1 }[/math], זו נקודה על מעגל היחידה (תתרגלו לזה). באופן דומה
מה זה אומר? כש־[math]\displaystyle{ |s|\to\infty }[/math], כלומר כשהתדר הולך וגדל, ההשפעה של הגל שואפת לאפס. ושימו לב: הפונקציה [math]\displaystyle{ e^{-|x|} }[/math] אינה מחזורית בכלל, ובכל זאת היא בנויה מגלים מחזוריים; הסכימה האינסופית (האינטגרל) מאפשרת לזה לקרות.
הוכחה. הצמוד עובר לתוך האינטגרל (הוא פועל על החלק הממשי ועל החלק המדומה בנפרד). מכיוון ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית, [math]\displaystyle{ \overline{f(x)}=f(x) }[/math], כך שהצמוד פועל רק על האקספוננט:
(כתבנו [math]\displaystyle{ -i(-s)x }[/math] במקום [math]\displaystyle{ isx }[/math] כדי לראות שזו בדיוק ההתמרה המקורית, שהציבו בה [math]\displaystyle{ -s }[/math] במקום [math]\displaystyle{ s }[/math].) כאן חייבים ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] תהיה ממשית; אחרת הצמוד היה פועל גם עליה.
מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית ונסמן [math]\displaystyle{ F=\mathcal{F}(f) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית, אז [math]\displaystyle{ F }[/math] זוגית וממשית.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית, אז [math]\displaystyle{ F }[/math] אי־זוגית ומרוכבת טהורה (כלומר מדומה טהורה: [math]\displaystyle{ F(s)\in i\mathbb{R} }[/math]).
(המינוס של [math]\displaystyle{ dt=-dx }[/math] והמינוס של היפוך גבולות האינטגרציה מצטמצמים, ו־[math]\displaystyle{ f(-t)=f(t) }[/math] כי [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית.) מסקנה: [math]\displaystyle{ F }[/math] זוגית. לכן, לפי הטענה הקודמת,
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית ואי־זוגית, אותה הוכחה בדיוק, רק עם [math]\displaystyle{ f(-t)=-f(t) }[/math], נותנת [math]\displaystyle{ F(s)=-F(-s) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ F }[/math] אי־זוגית. לכן
למשל, [math]\displaystyle{ e^{-|x|} }[/math] ממשית וזוגית, וההתמרה שלה [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi\left(1+s^2\right)} }[/math] אכן ממשית וזוגית.
הערה: אמרתי ש־[math]\displaystyle{ F(s) }[/math] אמורה למדוד את הגודל של הגלים (למעשה אמרתי "אמפליטודה", וזה היה מטעה). איך היא מודדת גודל אם היא מרוכבת? היא מודדת אמפליטודה + פאזה, בדיוק כמו ה"כמות" המרוכבת של גל בתחילת ההרצאה. לכן זה בסדר גמור שהתוצאה מרוכבת.
כלומר הקרבה של הערכים בציר ה־y, כשהערכים בציר ה־x קרובים, אינה תלויה בנקודה שבה נמצאים, אלא מתקיימת לאורך כל הקטע. זו רציפות חזקה יותר מרציפות בכל נקודה ונקודה. שימו לב: [math]\displaystyle{ f }[/math] עצמה לא צריכה להיות רציפה, אבל ההתמרה שלה תמיד רציפה, ואפילו במ"ש.
כיוון שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx }[/math] מתכנס, הזנבות שלו קטנים כרצוננו: קיים [math]\displaystyle{ R>0 }[/math] כך ש
באינטגרל השני, מהנתון [math]\displaystyle{ |f(x)|\le M }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-R,R] }[/math] (בלי הגבלת הכלליות [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]), ולכן נותר להראות כי
קטן כרצוננו אם נבטיח ש־[math]\displaystyle{ \left|s_1-s_2\right|<\delta }[/math]. לפי הלמה שבהמשך (עם [math]\displaystyle{ t_1=-s_1x,\ t_2=-s_2x }[/math]):
לכן האינטגרל השני קטן או שווה מ־[math]\displaystyle{ \frac{MR^2}{2\pi}\left|s_1-s_2\right| }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ \delta=\frac{\pi\varepsilon}{MR^2} }[/math]. אז לכל [math]\displaystyle{ s_1,s_2 }[/math] עם [math]\displaystyle{ \left|s_1-s_2\right|<\delta }[/math] האינטגרל השני קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2} }[/math], וסך הכל [math]\displaystyle{ \left|F(s_1)-F(s_2)\right|<\varepsilon }[/math]. ה־[math]\displaystyle{ \delta }[/math] תלוי רק ב־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] (דרך [math]\displaystyle{ R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ M }[/math]) ולא ב־[math]\displaystyle{ s_1,s_2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ F }[/math] רציפה במ"ש.
הערה: למעשה אפשר לוותר על החסימות של [math]\displaystyle{ f }[/math]: בקטע [math]\displaystyle{ [-R,R] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|x\left(s_1-s_2\right)\right|\le R\left|s_1-s_2\right| }[/math], ולכן האינטגרל השני קטן או שווה מ־[math]\displaystyle{ \frac{R\left|s_1-s_2\right|}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx }[/math], וזה קטן כרצוננו באותו אופן.
הוכחה. זה מזכיר את משפט לגראנז', אבל אנחנו במרוכבים, ושם המשפט לא רלוונטי. ההוכחה היא שורה אחת, והיא גאומטרית: [math]\displaystyle{ e^{it_1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{it_2} }[/math] הן שתי נקודות על מעגל היחידה, ו־[math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math] הן הזויות שלהן ברדיאנים. משמאל יש לנו את אורך הקטע הישר בין שתי הנקודות; מימין, [math]\displaystyle{ \left|t_1-t_2\right| }[/math] הוא אורך הקשת על מעגל היחידה מהזוית [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] לזוית [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] (ואם ההפרש גדול מ־[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], הדרך מקיפה את המעגל יותר מפעם אחת ורק מתארכת). הקטע הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות, ולכן אי־השוויון ברור.
אפשר גם בחישוב, בעזרת [math]\displaystyle{ |\sin u|\le|u| }[/math]:
אחד הדברים השימושיים והיפים בהתמרות הוא שדברים מסובכים בעולם אחד הופכים לפשוטים בעולם שאחרי ההתמרה. כאן, גזירה הופכת לכפל ב־[math]\displaystyle{ is }[/math]. (את התנאים הוספתי תוך כדי ההוכחה, לפי הצורך.)
טענה (התמרת הנגזרת): תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה, כך ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f' }[/math] אינטגרביליות בהחלט על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 }[/math]. אזי
הוכחה. נחשב לפי ההגדרה, באינטגרציה בחלקים: את [math]\displaystyle{ f' }[/math] נבצע אינטגרציה (ונקבל [math]\displaystyle{ f }[/math]), ואת [math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] נגזור (ונקבל [math]\displaystyle{ -ise^{-isx} }[/math]):
(אינטגרציה בחלקים בקטע סופי, ואז גבול; בשביל זה דרשנו ש־[math]\displaystyle{ f' }[/math] אינטגרבילית בהחלט.) הביטוי [math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] חסום (בערך מוחלט הוא 1), ולכן הדרישה [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 }[/math] מאפסת את החלק השמאלי. האינטגרל שנשאר הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s) }[/math] (שמוגדרת, כי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בהחלט), ונשארים עם
הרצאה 6 - התמרת הגאוסיאן, משפט ההתמרה ההפוכה וקונבולוציה
▶ הקלטת ההרצאה מ־20.5.26
ההתמרה ההפוכה
הרעיון של פורייה הוא לראות פונקציה כסכום של גלים. בטור פורייה אלה גלים עם אותו תדר בסיסי וכפולותיו, והמקדמים הם מקדמי פורייה. בהתמרת פורייה עושים את אותו התהליך באופן רציף, ועדיין מחפשים את המקדם של כל גל וגל.
תזכורת: התמרת הפורייה של הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא
רעיונית, [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s) }[/math] אמורה להיות האמפליטודה של הרכיב [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] מתוך הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] (המינוס במעריך מגיע מהצמוד במכפלה הפנימית). "אמורה" – כי עד עכשיו רק לקחנו את הנוסחה מטורי פורייה, שעליהם הוכחנו דברים, וקיווינו שהיא עובדת גם במקרה הרציף.
התקווה שלנו היא שאם נסכום את כל הגלים [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math], כל אחד כפול האמפליטודה שלו (סכום רציף הוא אינטגרל, והפעם סוכמים לפי [math]\displaystyle{ s }[/math]), נחזור לפונקציה:
הערה: שימו לב כמה הנוסחאות דומות – זה דבר יפה בפורייה: ההתמרה וההתמרה ההפוכה הן כמעט אותה נוסחה. ההבדל הראשון הוא הסימן במעריך: בהתמרה יש מכפלה פנימית (ולכן צמוד), ובהתמרה ההפוכה אני פשוט סוכם את הגלים כפול המקדמים שלהם. ההבדל השני הוא הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]. יש ספרים שמחלקים את הקבוע בין שתי ההתמרות ([math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} }[/math] בכל אחת), ואז הן דומות עוד יותר. אני אוהב את הגרסה שלנו, כי בה [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s) }[/math] היא בדיוק האמפליטודה של הגל, וסכימת הגלים עם האמפליטודות שלהם, בלי קבועים נוספים, אמורה להחזיר את הפונקציה.
זהירות: זה שקראנו לזה [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1} }[/math] לא הופך את זה להתמרה הפוכה באמת. כרגע זו תקווה שנובעת מתיאוריה שלא הוכחה. היא אכן מתקיימת, אבל רק בתנאים מסוימים, וצריך להוכיח זאת – זה משפט ההתמרה ההפוכה שנוכיח בהמשך ההרצאה.
כלומר (שוב, עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] טובה מספיק – למשל כש־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ xf(x) }[/math] אינטגרביליות בהחלט):
הערה: יש כאן תופעה סימטרית יפה. כדי לקבל את ההתמרה של הנגזרת כופלים את ההתמרה ב־[math]\displaystyle{ is }[/math], וכדי לגזור את ההתמרה כופלים את הפונקציה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] (ובקבוע [math]\displaystyle{ -i }[/math]): גזירה הופכת לכפל במשתנה. זה סימטרי כי ההתמרה וההתמרה ההפוכה הן כמעט אותו דבר.
הערה (על הצדקות): הכנסת הנגזרת לתוך אינטגרל לא אמיתי אינה טריוויאלית – באינפי למדנו לגזור תחת סימן האינטגרל רק עבור אינטגרל מסוים. בפורייה התיאוריה כל כך עשירה שאני מעדיף שנבין אותה, ולא נטבע בכל הדרישות הטכניות. ממילא המסגרת שאנחנו עובדים בה (אינטגרל רימן) אינה המקום הנכון לעבודה המדויקת; באנליזה מודרנית (פוביני וכו') ההצדקות האלה קלות. הבחירה לדלג עליהן מודעת.
שימוש מגניב בדברים שראינו עד כה – כולל משפט ההתמרה ההפוכה, שעוד לא ניסחנו ובוודאי לא הוכחנו (נניח כרגע שהכל זורם).
דוגמה: נחשב את [math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{F}\left(e^{-x^2}\right)(s) }[/math]. את האינטגרל [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-isx}dx }[/math] אנחנו לא יודעים לחשב ישירות – ובכל זאת נגיע לתשובה, ובדרך נקבל גם את אינטגרל גאוס:
(אפשר גם בלי לחלק ב־[math]\displaystyle{ F }[/math]: המד"ר אומרת בדיוק ש־[math]\displaystyle{ \left(F(s)e^{\frac{s^2}{4}}\right)'=0 }[/math].)
הערה: הנחנו שההתמרה קיימת. קל להראות שהאינטגרל אכן מתכנס ([math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] דועכת מהר מאוד); אנחנו חישבנו לאן הוא מתכנס – בלי לפתור את האינטגרל בכלל.
למעשה עוד לא מצאנו את התשובה: מה לגבי הקבוע [math]\displaystyle{ C }[/math]? אולי פשוט נציב ערך כלשהו ונגלה. מצד אחד [math]\displaystyle{ F(0)=C }[/math], ומצד שני
(בהתמרה ההפוכה אין קבוע, המעריך בפלוס, והאינטגרל הוא לפי [math]\displaystyle{ s }[/math] – סוכמים את הגלים כפול האמפליטודות.) נציב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]:
יש דמיון אדיר בין שני האינטגרלים, ובהצבה [math]\displaystyle{ x=\frac{s}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ dx=\frac{1}{2}ds }[/math] הם נעשים אותו דבר:
הערה: בהסתברות מחשבים את אינטגרל גאוס בדרך כלל בטריק של העלאה בריבוע ומעבר לאינטגרל כפול ב־[math]\displaystyle{ x,y }[/math]; עם פורייה זה די מגניב – פורייה פותר כל מיני אינטגרלים שאנחנו לא רגילים לפתור. זה גם מסביר למה בהתפלגות הנורמלית מופיעים גם [math]\displaystyle{ \pi }[/math] וגם [math]\displaystyle{ e }[/math]. ובדיעבד, אחרי שנוכיח את משפט ההתמרה ההפוכה, השימוש בו כאן מוצדק: [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] גזירה ואינטגרבילית בהחלט, והאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds }[/math] מתכנס בהחלט, ולכן הוא שווה לגבול שבמשפט.
(עבור [math]\displaystyle{ s\neq 0 }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ s=0 }[/math] הערך הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}1\,dx=\frac{1}{\pi} }[/math], הגבול של הביטוי.)
זה עדיין אינטגרל מגעיל. אפשר לפרק אותו לחלק ממשי וחלק מדומה ולהשתמש בזוגיות, אבל עדיין נשארים עם אינטגרל שאנחנו לא יודעים לחשב. ביקשנו מבינה מלאכותית, וזו התשובה:
מה ציפינו לקבל? הרי עשינו התמרה והתמרה הפוכה – ציפינו לקבל את הפונקציה המקורית. קיבלנו אותה, כמעט: ההבדל הוא בנקודות [math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math], שבהן יצא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
הערה: החלק המדומה של האינטגרנד, [math]\displaystyle{ \frac{\sin(s)\sin(sx)}{\pi s} }[/math], הוא פונקציה אי זוגית של [math]\displaystyle{ s }[/math], ולכן על כל קטע סימטרי [math]\displaystyle{ [-N,N] }[/math] האינטגרל שלו מתאפס. אבל ב־[math]\displaystyle{ x=\pm 1 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \pm\frac{\sin^2(s)}{\pi s} }[/math], והאינטגרל שלו על [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] מתבדר. כלומר בנקודות האלה התשובה נכונה רק כגבול של אינטגרלים על קטעים סימטריים – וזו בדיוק הצורה שבה מנוסח משפט ההתמרה ההפוכה. המשפט גם מנבא את התשובה כולה: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל נקודה פרט ל־[math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math], ושם הממוצע של הגבולות החד צדדיים הוא [math]\displaystyle{ \frac{1+0}{2} }[/math].
רואים כאן שבדומה למשפט דיריכלה על התכנסות טורי פורייה, בנקודות אי הרציפות הקפיצתית ההתמרה ההפוכה של ההתמרה מתכנסת לממוצע בין הגבולות החד צדדיים של הפונקציה.
משפט ההתמרה ההפוכה
משפט (ההתמרה ההפוכה): תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f| }[/math] מתכנס. אזי בכל נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] בה הנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות (בפרט קיימים בה הגבולות החד צדדיים [math]\displaystyle{ f(x^{\pm}) }[/math]) מתקיים כי
בצד ימין לא כתוב [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}(f)\right) }[/math], אלא גבול של אינטגרלים על קטעים סימטריים. אם [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}(f)\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(f)(s)e^{isx}ds }[/math] מתכנס, אז הוא שווה לגבול, ולכן לצד שמאל – אבל המשפט לא מבטיח שהוא בכלל מתכנס.
המשפט מחזיר את הממוצע של שני הגבולות החד צדדיים ולא את ערך הפונקציה, בדיוק כמו בדוגמה הקודמת ובמשפט דיריכלה. בנקודה שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה מקבלים [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].
ה־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] בגבולות האינטגרל אינו נקודה חשובה; הוא שם כדי שבהוכחה יופיע בדיוק גרעין דיריכלה.
את המשפט נוכיח לאט, בעזרת פירוק לטענות עזר: צריך להראות את זה, ואת זה, ובסוף הכל יסתדר ביחד.
כלומר [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s)\to 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ s\to\pm\infty }[/math].
למת רימן-לבג (הרצאה 2) הבטיחה שהמקדמים בטור פורייה, כלומר האמפליטודות של התדרים, שואפים לאפס. כאן זה אותו רעיון: ההתמרה היא האמפליטודה של כל גל וגל, והיא חייבת לשאוף לאפס, בשני הכיוונים, כשהתדר שואף לאינסוף. ההבדלים הטכניים לעומת הגרסה לטורים: האינטגרל הוא על כל הישר ולא על קטע סופי, ו־[math]\displaystyle{ s }[/math] הוא משתנה רציף ולא [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי. את הגרסה לטורים הוכחנו בעזרת אי שוויון בסל (טור ריבועי המקדמים מתכנס, ולכן האיברים שואפים לאפס); כאן אין לנו טור, וצריך כלים אחרים.
הוכחה. כיוון ש־[math]\displaystyle{ e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx) }[/math], מספיק להוכיח
ההוכחה עבור סינוס דומה. (המקרה [math]\displaystyle{ s\to-\infty }[/math] נובע מכך שהקוסינוס זוגי והסינוס אי זוגי: המינוס נבלע או יוצא החוצה, ואפס נשאר אפס.)
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. ראשית, כיוון ש־[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx }[/math] מתכנס, קיים [math]\displaystyle{ M }[/math] עבורו
וזה לכל [math]\displaystyle{ s }[/math] – החסם הזה בכלל לא תלוי ב־[math]\displaystyle{ s }[/math]. נותר להראות כי עבור [math]\displaystyle{ s }[/math] גדול מספיק
הרעיון: נחליף את [math]\displaystyle{ f }[/math] בפונקציית מדרגות (סכום רימן) שהאינטגרל שלה קרוב, ונראה שעל כל מדרגה האינטגרל שואף לאפס. נביט בקטע [math]\displaystyle{ [x_{i-1},x_i] }[/math] כלשהו. על מדרגה הפונקציה היא קבוע שיוצא החוצה, ונשאר משהו שאנחנו יודעים לחשב:
כיוון ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math], ניתן לבחור חלוקה וסכום רימן כך שעבור פונקציית המדרגות [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] המתאימה (בכל קטע של החלוקה [math]\displaystyle{ h }[/math] קבועה, ושווה לערך של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה שנבחרה בו) מתקיים
(מספיק שההפרש בין סכום דרבו העליון לתחתון של החלוקה יהיה קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{4} }[/math]; אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מרוכבת, מפעילים את כל הטיעון על החלק הממשי ועל החלק המדומה בנפרד.)
ואז עושים [math]\displaystyle{ f=(f-h)+h }[/math]:
האינטגרל על המחובר השמאלי קטן בערכו המוחלט מ־[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{4} }[/math], לכל [math]\displaystyle{ s }[/math].
האינטגרל על המחובר הימני הוא סכום סופי של אינטגרלים מהצורה [math]\displaystyle{ c_i\int_{x_{i-1}}^{x_i}\cos(sx)dx }[/math]. כולם שואפים לאפס, ולכן גם הוא, עבור [math]\displaystyle{ s }[/math] מספיק גדול, יהיה קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{4} }[/math].
סה"כ, עבור [math]\displaystyle{ s }[/math] מספיק גדול, האינטגרל על [math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2} }[/math], ויחד עם החלק שמחוץ לקטע קיבלנו פחות מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].
שימו לב לסדר הבחירות: קודם בוחרים את [math]\displaystyle{ M }[/math]; אחר כך, על [math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math], בוחרים חלוקה ספציפית ופונקציית מדרגות, ותקועים איתה; ורק אז – כשמספר הקטעים כבר קבוע (ולא משנה אם יש 1000 קטעים) – בוחרים [math]\displaystyle{ s }[/math] מספיק גדול. ה־[math]\displaystyle{ s }[/math] נכנס לתמונה רק בשלב האחרון.
הערה: זה החלק המכוער: ניסיון לחקות אנליזה מודרנית בדרכים לא מודרניות. באנליזה מודרנית יש משפטים כלליים שאומרים שאפשר לקרב פונקציות אינטגרביליות על ידי פונקציות פשוטות כאלה, וההוכחה מתקצרת; כאן אנחנו בונים את הקירוב בכל פעם מחדש.
הסינוס של [math]\displaystyle{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t }[/math] אמור להזכיר לכם את גרעין דיריכלה – ואכן, ההוכחה מחזירה את הטענה לגבול שכבר חישבנו בהוכחת משפט דיריכלה (הרצאה 3).
הוכחה. נוכיח את הטענה הראשונה; השנייה דומה. הנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] קבועה, והמשתנה הוא [math]\displaystyle{ t }[/math]. נגדיר פונקציה
אין כאן בעיית הגדרה: מחלקים ב־[math]\displaystyle{ t }[/math] רק בתחום [math]\displaystyle{ t>\pi }[/math]. כיוון שהאינטגרל על [math]\displaystyle{ f }[/math] בכל הממשיים מתכנס בהחלט, וודאי גם האינטגרל על [math]\displaystyle{ g }[/math], כי רק הקטנו: [math]\displaystyle{ |g(t)|\le\frac{|f(x+t)|}{\pi} }[/math]. לכן לפי למת רימן-לבג
מה הרווחנו? עברנו לתחום סופי – ולא סתם תחום סופי: אנחנו כמעט בגרעין דיריכלה. נעשה WIN (נכפול ונחלק ב־[math]\displaystyle{ 2\sin\left(\frac{t}{2}\right) }[/math]):
והביטוי הזה שואף ל־[math]\displaystyle{ f'(x^+)\cdot 1+f(x^+)\cdot 0=f'(x^+) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to 0^+ }[/math].
בהוכחת משפט דיריכלה (הרצאה 3) הראינו בדיוק שלפונקציה כזו (אינטגרבילית, עם גבול ונגזרת חד צדדיים סופיים מימין ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}h(t)D_n(t)dt\to\frac{h(0^+)}{2} }[/math]. לכן הגבול של הביטוי לעיל הוא
כעת אנחנו מוכנים להתמודד עם משפט ההתמרה ההפוכה. הרעיון: מציבים את הגדרת ההתמרה בתוך האינטגרל, מחליפים את סדר האינטגרציה, מחשבים את האינטגרל הפנימי (לפי [math]\displaystyle{ s }[/math], על קטע סופי) – ומקבלים בדיוק את הביטויים מטענת העזר.
הוכחה. לשם קיצור נסמן [math]\displaystyle{ N=n+\frac{1}{2} }[/math]. צריך לחשב את הגבול כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] של
בתוך ההתמרה קראנו למשתנה האינטגרציה [math]\displaystyle{ y }[/math], כדי לא להתבלבל עם [math]\displaystyle{ x }[/math] – הנקודה הקבועה שבה נקבל בסוף את הערך.
נוציא את [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math] החוצה ונחליף את סדר האינטגרציה (בשיעור עשינו זאת בלי הצדקה; כאן אפשר להצדיק זאת בעזרת משפט פוביני, כי הקטע [math]\displaystyle{ [-N,N] }[/math] חסום ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בהחלט):
כדי להגיע לצורה של טענת העזר נציב [math]\displaystyle{ t=y-x }[/math], [math]\displaystyle{ dt=dy }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y=x+t }[/math] (הסימן בתוך הסינוס לא משנה, כי [math]\displaystyle{ \frac{\sin(-Nt)}{-t}=\frac{\sin(Nt)}{t} }[/math]):
נפצל את האינטגרל ל־[math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] ול־[math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math]. לפי טענת העזר, החלק הראשון שואף ל־[math]\displaystyle{ \frac{f(x^+)}{2} }[/math] והחלק השני ל־[math]\displaystyle{ \frac{f(x^-)}{2} }[/math]. סה"כ
(כאשר [math]\displaystyle{ N=n+\frac{1}{2} }[/math]), וזה משפט ההתמרה ההפוכה.
הערה: ההוכחות כאן פחות יפות מהתיאוריה עצמה. יש בנייה הרבה יותר יפה שמביאה את המשפט הזה (באנליזה מודרנית), אבל המחיר של ללמוד אותה כבד, ואני מעדיף להדגיש את פורייה עצמו.
עכשיו נלמד מושג שייתכן שכבר נתקלתם בו וייתכן שלא, אבל הוא חשוב בפני עצמו, וגם נראה אותו בקורס הזה.
רעיון (הסתברות): יהיו [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] שני משתנים מקריים בלתי תלויים. מה הסיכוי ש־[math]\displaystyle{ X+Y=n }[/math]? צריך לכל מספר [math]\displaystyle{ k }[/math] לחשב את הסיכוי ש־[math]\displaystyle{ X=k }[/math], ולכפול אותו בסיכוי ש־[math]\displaystyle{ Y=n-k }[/math]:
במקרה הרציף, אם [math]\displaystyle{ p_X,p_Y }[/math] הן פונקציות הצפיפות של [math]\displaystyle{ X,Y }[/math], אז הצפיפות של [math]\displaystyle{ X+Y }[/math] היא
רעיון (פיזיקה): כשמפעילים כוח על מערכת, למשל על קפיץ, הכוח מכניס למערכת תנודה (סינוס) שממשיכה להשפיע גם אחר כך. אם מפעילים כוח באופן רציף, כל רגע ורגע מוסיף עוד תנודה, וההשפעה שלה מגיעה מאוחר יותר. התגובה ברגע [math]\displaystyle{ x }[/math] היא סכום (אינטגרל) על כל הרגעים [math]\displaystyle{ t }[/math], של הכוח שהופעל ברגע [math]\displaystyle{ t }[/math] כפול ההשפעה שלו אחרי זמן [math]\displaystyle{ x-t }[/math] – וזו שוב קונבולוציה. הרבה מאוד פעמים, במיוחד בפיזיקה, הפתרונות מגיעים בעזרת קונבולוציה.
הגדרה: תהיינה פונקציות [math]\displaystyle{ f,g }[/math]. נגדיר את הקונבולוציה שלהן
ומכאן גם לגבי ההתמרה ההפוכה: אם ההתמרה של פונקציה היא מכפלה של שתי התמרות, אז הפונקציה המקורית היא (עד כדי הקבוע [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]) הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות. כך פותרים משוואות דיפרנציאליות: עוברים למרחב התדר, פותרים שם משוואה פשוטה יותר, מקבלים שההתמרה של הפתרון היא מכפלת התמרות – והפתרון עצמו הוא קונבולוציה (כך נפתור את משוואת החום על מוט אינסופי בהרצאה 7).
הערה: הקבוע [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] נובע מהקונבנציה שלנו להתמרה. בהגדרות אחרות של ההתמרה הקבוע משתנה, אבל לא עצם הקשר.
(ה־[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] מגיע מכך שבהגדרת ההתמרה יש [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]. ושימו לב: זו ההתמרה של [math]\displaystyle{ g }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ s }[/math] – היא לא תלויה ב־[math]\displaystyle{ t }[/math], ולכן יכולה לצאת מהאינטגרל החיצוני.)
הרצאה 7 - שערה מול לייזר, משוואת החום, משפט הדגימה של שנון ומבוא ל-DFT
▶ הקלטת ההרצאה מ־27.5.26
בהרצאה הזו שתי דוגמאות לשימוש בהתמרת פורייה: אחת פיזיקלית (שערה מול קרן לייזר) ואחת היסטורית (משוואת החום — הבעיה שפורייה עצמו פתר). אחריהן משפט הדגימה של שנון: משפט מתמטי טהור, שהחשיבות שלו היום היא בעיקר הנדסית. בסוף מתחילים את הנושא השלישי של הקורס — התמרת פורייה הבדידה.
שערה מול קרן לייזר
נניח שיש לנו קרן לייזר. אם נירה אותה על הקיר, נראה בערך נקודה.
שאלה: מה יקרה אם נשים שערה (אנושית, פחות או יותר) צמוד מול קרן הלייזר? מה נראה על הקיר ממול? וכמובן — מה הקשר לפורייה?
האינטואיציה אומרת "שום שינוי": השערה דקה ולא מכסה את הלייזר, אז נראה את אותה נקודה. זה באמת הדבר ההגיוני — וכמובן השגוי.
המודל. נתעלם מהכיוון למעלה־למטה ונתייחס רק לאור מצד לצד. מקור האור הוא בעל רוחב מסוים, הקטע [math]\displaystyle{ [-D,D] }[/math], והפאזה של האור לאורכו רציפה (בערך). דמיינו שאתם נקודה על הקיר: אתם מקבלים גלי אור מכל רוחב הלייזר, ומה שאתם "רואים" הוא הסכום של כל הגלים שנשלחו אליכם. במודל ראשון נניח שעוצמת האור קבועה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] בכל הטווח, ולכן מה שמגיע לנקודה על הקיר הוא
[math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה: הוא לא מייצג גודל אלא רק זווית, כלומר את הפאזה של הגל שיצא מהנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math]. אז למה צריך גם את [math]\displaystyle{ s }[/math]? כי הוא קשור למיקום הנקודה על הקיר — נקודה אחרת על הקיר רואה משהו קצת שונה. בסוף, הנקודה על הקיר מקבלת סכום של גלים בעלי אותה אמפליטודה ופאזות שונות, שתלויות במיקום בטווח של הלייזר, במיקום על הקיר ובמרחק הקיר מהלייזר. את המודל הפיזיקלי עד סופו לא אסביר (ולא אדע להסביר).
שימו לב: אנחנו מחשבים כאן התמרת פורייה לא בזכות התאוריה של פורייה, אלא בעקבות המודל הפיזיקלי שתיארנו — כך פשוט מתנהג סכום של גלים.
קרן גאוסיאנית. המודל לפיו האור באמפליטודה קבועה לכל אורכו פשטני; סביר יותר שהאמפליטודה מתפלגת נורמלית — גאוסיאן. לצורך הנוחות נניח שהרוחב אינסופי (ממילא בקצוות ההתפלגות זה אפסי). עבור קבוע [math]\displaystyle{ \omega>0 }[/math] שמגיע מהמודל הפיזיקלי:
כלומר אם מקור האור מתפלג גאוסיאנית, גם התמונה על הקיר גאוסיאנית. עד כה זה מתאים בדיוק לתצפיות ולציפיות שלנו.
קוהרנטיות. כל האור שיוצא מהלייזר הוא גל אלקטרומגנטי, ואנחנו מניחים שהפאזה שלו רציפה (בערך) לאורך רוחב הקרן — בפיזיקאית זה נקרא קוהרנטיות. מקור אור רגיל זורק גלי אור מכל נקודה שלו בלי קשר בין הפאזות: מהקצה הימני הוא יכול לשלוח אור בפאזה שונה לחלוטין מאשר מהקצה השמאלי, ואז כל המודל נשבר. זו אחת הסיבות שעושים את הניסוי הזה דווקא עם קרן לייזר.
למה סכום. מכל נקודה ברוחב מקור האור יוצא אור לכל הכיוונים, ובפרט לנקודה מסוימת על הקיר. לכן כל נקודה על הקיר מקבלת סכום (אינטגרל) של גלים מכל רוחב הקרן, כל אחד בפאזה משלו. ה־[math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] בנוי כך שהוא נותן בדיוק את הפאזה שבה הגל שיצא מ־[math]\displaystyle{ x }[/math] מגיע לנקודה [math]\displaystyle{ s }[/math] על הקיר.
למה גאוסיאן. כשניתחתי את הבעיה בהתחלה עם אמפליטודה קבועה על קטע סופי [math]\displaystyle{ [-D,D] }[/math], הגרפים יצאו לא דומים למציאות. גם בנקודה שהלייזר משאיר על הקיר רואים שההארה לא אחידה מקצה לקצה: היא הכי חזקה באמצע ונחלשת בקצוות. לכן עוברים לגאוסיאן על כל הישר, והקבוע [math]\displaystyle{ D }[/math] נעלם מהסיפור.
המאמרים. יש כמה מאמרים שעוסקים בדיוק בבעיה הזו (ראו המקורות למטה). על הלוח הצגתי איור מתוך המאמר של Wichtowski: קרן גאוסיאנית מאירה פס אטום (השערה שלנו) ולידה, להשוואה, סדק. מתחת לכל אחד מצויר הפרופיל של השדה: במקרה של הפס זה גאוסיאן שהאמצע שלו, הקטע [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math], "נמחק" — בדיוק המודל שנבנה בסעיף הבא. כל הקבועים (כמו [math]\displaystyle{ \omega }[/math]) באים מהמודל הפיזיקלי ולא ניכנס אליהם: זה לא שיעור בפיזיקה, ואני רוצה להגיע כמה שיותר מהר לפואנטה המתמטית.
M. Glass, Diffraction of a Gaussian beam around a strip mask, Applied Optics (1998) — עקיפה (דיפרקציה) של קרן גאוסיאנית סביב פס אטום, כלומר בדיוק המצב של שערה מול לייזר.
עכשיו נראה מה התרומה של השערה. נניח שרוחב השערה הוא הקטע [math]\displaystyle{ [-d,d] }[/math], ונניח לשם הפשטות שלאורך השערה אמפליטודת הלייזר קבועה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (זה הרי לא נכון — היא גאוסיאנית — אבל בפיזיקה מזניחים דברים; ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] הגאוסיאן שווה בדיוק [math]\displaystyle{ 1 }[/math]). נגדיר
(בנרמול של הקורס [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(h)(s)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin(sd)}{s}=\frac{\sin(sd)}{\pi s} }[/math]; במודל הפיזיקלי הקבוע [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] לא משנה.)
הערה: הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{x} }[/math] נקראת [math]\displaystyle{ \mathrm{sinc}(x) }[/math] (ובאפס מגדירים אותה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], לפי הגבול). בהנדסה היא חשובה מאוד: כפי שראינו כאן, היא ההתמרה של "חלון" — פונקציה שהיא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] על קטע ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מחוצה לו — ולכן היא מופיעה כל הזמן בעיבוד אותות.
סך הכול, הנקודה [math]\displaystyle{ s }[/math] על הקיר מקבלת את הגל
הערה (למה מרוכבים?): למה לא לחשב ישירות סכום של גלים ממשיים, למשל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\omega x^2}\cos(sx+\theta)dx }[/math]? תשובה: החישוב יותר קל עם המרוכבים, ואפשר לקחת את החלק הממשי שלו. במקרה שלנו הפונקציה [math]\displaystyle{ L }[/math] זוגית, ולכן [math]\displaystyle{ \int L(x)\sin(sx)dx=0 }[/math]: ההתמרה יוצאת ממשית, וגם
איך זה נראה. העוצמה של האור שרואים בעין היא האמפליטודה בריבוע, ולכן מה שנראה על הקיר הוא [math]\displaystyle{ I(s)=E(s)^2 }[/math]. בגרפים הבאים (GeoGebra) [math]\displaystyle{ \omega=\frac{1}{w^2} }[/math] עם [math]\displaystyle{ w=3 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ d=1 }[/math]. בלי שערה רואים את ריבוע הגאוסיאן — נקודה אחת:
עוצמת ההארה על הקיר בלי שערה: ריבוע הגאוסיאן, w=3 (GeoGebra)
ועם שערה:
עוצמת ההארה על הקיר עם שערה (אדום) לעומת בלי שערה (סגול): משני צדי השיא המרכזי מופיעים פסים שהולכים ונחלשים
השיא המרכזי (בערך [math]\displaystyle{ 11 }[/math]; בלי שערה [math]\displaystyle{ 9\pi\approx 28.3 }[/math]) חורג מגבולות הגרף, ומשני צדיו יש סדרה של שיאים שהולכים ונחלשים (בערך [math]\displaystyle{ 1.86,\ 0.19,\ 0.066 }[/math]) ובין לבין אפסים: עוצמה, שקט, עוצמה, שקט. רחוק מהמרכז הגאוסיאן זניח ונשאר בערך [math]\displaystyle{ \left(\frac{2\sin(sd)}{s}\right)^2 }[/math], שמתאפס ב־[math]\displaystyle{ s=\frac{k\pi}{d} }[/math] ([math]\displaystyle{ k\neq 0 }[/math] שלם). כלומר אנחנו צפויים לראות קו מקווקו לרוחב, מסביב לנקודת ההארה המרכזית.
והמציאות: בכיתה עשינו את הניסוי עם סמן לייזר ושערה — וזה באמת מה שרואים.
הניסוי. מכבים את האור, מאירים בסמן לייזר על הלוח ושמים שערה צמוד מול הקרן. במקום הנקודה מופיע פס רחב בהרבה, ומשני צדיו פסים חלשים יותר (צריך להסתכל מקרוב: העוצמה המרכזית הרבה יותר חזקה, ויש נפילה חדה — בדיוק כמו בגרף). כשמורידים את השערה, הקו נעלם וחוזרת הנקודה. התופעה תלויה מאוד במרחק שממנו מסתכלים. (זהירות: לא מכוונים לייזר לעיניים.)
על רגל אחת, מה קורה פיזיקלית: הרציפות של הגלים נשברה, והגלים מתאבכים ביניהם — לפעמים התאבכות הורסת (שקט) ולפעמים בונה (מקסימום). זה קשור גם לניסוי שני הסדקים. מה שהפתיע אותי הוא שזה קשור לפורייה, ושיש פה חישוב של התמרת פורייה שמסביר את התופעה.
מדידת עובי שערה. הניסוי המלא, עם ציוד מדויק (ולא סמן לייזר ביד רועדת), מאפשר למדוד את עובי השערה: האפסים של [math]\displaystyle{ \frac{\sin(sd)}{s} }[/math] נמצאים ב־[math]\displaystyle{ s=\frac{k\pi}{d} }[/math] ([math]\displaystyle{ k\neq 0 }[/math] שלם), כלומר המרחק בין הפסים נמצא ביחס הפוך לעובי — ככל שהשערה דקה יותר, הפסים רחוקים יותר זה מזה.
רק הגיוני לדבר על משוואת החום בקורס פורייה — הרי בדיוק בזה פורייה עסק: ניוטון הבין את חוקי התנועה, ופורייה שאל איך מתנהג חום.
הבעיה. יש לנו מוט אינסופי (אינסופי לצורך המודל). בכל נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] לאורך המוט ובכל רגע [math]\displaystyle{ t }[/math] יש למוט טמפרטורה [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math]. נתון תנאי התחלה — הטמפרטורה של המוט בכל נקודה ברגע אפס:
[math]\displaystyle{ u(x,0)=f(x) }[/math]
הערה: המוט מבודד, וחום אינו זולג החוצה (אנחנו לא מדברים בכלל על קירור ע"י האוויר).
אם הטמפרטורה הייתה קבועה בהתחלה, היינו מצפים שכך היא תישאר. אבל אם היו טמפרטורות שונות לאורך המוט (למשל חיממו אותו באמצע), היינו מצפים לתהליך של השוואת טמפרטורות — והשאלה היא איך התהליך הזה מתנהג. התשובה (לפי פורייה) — משוואת החום:
[math]\displaystyle{ u_t=ku_{xx} }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ k>0 }[/math] קבוע. את המשוואה עצמה לא נגזור: זו ההנחה הפיזיקלית, כך פורייה גילה שחום מתנהג.
טענה: (בהנחה שהכול מתנהג יפה) הפתרון של משוואת החום עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ u(x,0)=f(x) }[/math] הוא, לכל [math]\displaystyle{ t>0 }[/math],
הרעיון: עושים התמרת פורייה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] לשני צדי המד"ח. נגזרת לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] הופכת לכפל ב־[math]\displaystyle{ is }[/math], ובעולם ההתמרות מקבלים מד"ר פשוטה. פותרים אותה, וחוזרים לפתרון בעזרת ההתמרה ההפוכה. זו אותה שיטה כמו התמרת לפלס במד"ר: עוברים לעולם אחר, פותרים שם משוואה פשוטה יותר, וחוזרים.
הוכחה (פיתוח הפתרון). החישוב פורמלי: נניח ש־[math]\displaystyle{ u }[/math] מתנהגת יפה (דועכת מהר מספיק באינסוף, ומותר להחליף גזירה ואינטגרציה) — את הצעדים האלה לא נצדיק.
נניח שהפתרון למשוואה הוא [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math], ונחשב את התמרת פורייה שלו לפי המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] (כש־[math]\displaystyle{ t }[/math] קבוע):
ב־(*) החלפנו סדר גזירה ואינטגרציה — צעד שדורש הצדקה מתמטית, שעליו אנחנו מדלגים (על הלוח הוא מסומן ב־💀).
ההתמרה של [math]\displaystyle{ u_{xx} }[/math], לפי נוסחת התמרת הנגזרת [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f')=is\mathcal{F}(f) }[/math] (פעמיים, הנגזרות לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]):
נעשה התמרה לשני הצדדים של המד"ח [math]\displaystyle{ u_t-ku_{xx}=0 }[/math]. ההתמרה היא אופרטור לינארי, וההתמרה של [math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן
שימו לב: "קבוע האינטגרציה" קבוע ביחס ל־[math]\displaystyle{ t }[/math], אבל יכול להיות תלוי ב־[math]\displaystyle{ s }[/math]; כאן [math]\displaystyle{ A(s)=\pm e^{c(s)} }[/math].
כעת נציב [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] כדי לקשר את זה לתנאי ההתחלה: [math]\displaystyle{ U(s,0)=A(s) }[/math]. אבל מצד שני (ההתמרה היא לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], ו־[math]\displaystyle{ t=0 }[/math] קבוע)
גם [math]\displaystyle{ e^{-ks^2t} }[/math] (כפונקציה של [math]\displaystyle{ s }[/math], עם [math]\displaystyle{ t }[/math] קבוע) הוא התמרה. מ־[math]\displaystyle{ \mathcal{F}\left(e^{-x^2}\right)=\frac{e^{-\frac{s^2}{4}}}{2\sqrt{\pi}} }[/math] וההצבה [math]\displaystyle{ y=\sqrt{a}x }[/math] מקבלים לכל [math]\displaystyle{ a>0 }[/math]
בקונבולוציה משתנה האינטגרציה [math]\displaystyle{ y }[/math] זז בשני הגורמים, [math]\displaystyle{ f(y)g(x-y) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא מה ש"יוצא" מהקונבולוציה. כאן [math]\displaystyle{ g }[/math] זוגית ולכן [math]\displaystyle{ g(x-y)=g(y-x) }[/math], אבל באופן כללי הסדר כן משנה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
המשקלות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}} }[/math] הם גאוסיאן שהאינטגרל שלו (לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. כלומר הטמפרטורה בנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] ברגע [math]\displaystyle{ t }[/math] היא ממוצע משוקלל של טמפרטורות ההתחלה, והגאוסיאן הולך ומתרחב כמו [math]\displaystyle{ \sqrt{kt} }[/math] — החום "מתפזר". בפרט, אם [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה, גם [math]\displaystyle{ u }[/math] קבועה, כמו שציפינו.
כמתמטיקאים היינו יכולים לומר "לא עשינו כלום: הייתה בעיה קשה וקיבלנו אינטגרל קשה". אבל כפיזיקאים ומהנדסים — מצאנו את הפתרון: זה ביטוי בר־חישוב (נומרית), שתלוי רק בפונקציית ההתחלה ואומר מה הטמפרטורה בכל נקודה ובכל רגע. פיזיקאים פוגשים את זה המון, ולפונקציה שאיתה עושים את הקונבולוציה הם קוראים פונקציית גרין (כאן [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}g }[/math], גרעין החום).
שאלה: נניח שיש לכם פונקציה [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], ונתונות לכם "דגימות", כלומר ערכי הפונקציה בנקודות הבאות: לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Z} }[/math] נתון [math]\displaystyle{ f(m) }[/math]. האם מתוך המידע הזה אתם יכולים לחשב בחזרה את [math]\displaystyle{ f }[/math]? כמובן שלא (למשל [math]\displaystyle{ \sin(\pi x) }[/math] ופונקציית האפס מסכימות על כל השלמים).
בכל זאת, הערה הנדסית קצרה על למה זה בכלל מעניין: בהקלטת קול, למשל, המיקרופון דוגם את הקול (את לחץ האוויר) בקצב מסוים, ורוצים לשחזר את הקול המקורי. מצפים שבדומה לתמונה, אם נדגום מספיק צפוף, האיכות תהיה מספיק דומה. מסתבר שיש כאן עיקרון מתמטי הרבה יותר עמוק וחד מזה — משפט הדגימה של שנון. המשפט עצמו הוא בעל אופי מתמטי, אבל יש תוצאה דומה בהתמרה הבדידה (משפט דומה, עם הוכחה אחרת), שהיא בעלת אופי הנדסי גמור; שם נראה את ההשלכות שלו בעולם האמיתי.
הגדרה:התדר של גל טריגונומטרי הוא מספר הפעמים שהמחזור חוזר על עצמו ב"שנייה" (ביחידת זמן), כלומר אחד חלקי המחזור.
התדר של [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math] — בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא לא משלים אפילו מחזור אחד.
התדר של [math]\displaystyle{ \sin(5x) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{\left(\frac{2\pi}{5}\right)}=\frac{5}{2\pi} }[/math], כי אורך המחזור המינימלי הוא [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{5} }[/math].
באופן כללי, המחזור של [math]\displaystyle{ \sin(sx) }[/math] או של [math]\displaystyle{ e^{\pm isx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{|s|} }[/math] (כשמחליפים את [math]\displaystyle{ x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x+\frac{2\pi}{|s|} }[/math] עושים בדיוק מחזור אחד), ולכן התדר הוא [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi} }[/math]. את התדר תמיד אומרים בחיוביים.
דוגמה: מצאו סינוס שהתדר שלו [math]\displaystyle{ 5 }[/math].
[math]\displaystyle{ \sin(5\cdot 2\pi x) }[/math]
לפי הנוסחה, התדר הוא [math]\displaystyle{ \frac{5\cdot 2\pi}{2\pi}=5 }[/math]: אורך המחזור הוא [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{10\pi}=\frac{1}{5} }[/math]. רואים את זה בגרף: כשמצמצמים את הפונקציה ל־[math]\displaystyle{ 0\le x\le 1 }[/math] (יחידת זמן אחת), היא עושה בדיוק חמישה מחזורים.
הפונקציה sin(5·2πx) על הקטע 0≤x≤1: בדיוק חמישה מחזורים ביחידת זמן, כלומר תדר 5 (GeoGebra)
הגדרה: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math]חסומה בתדר על ידי [math]\displaystyle{ t }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ s }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi}>t }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s)=0 }[/math]
(זכרו שהתדר של [math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi} }[/math], ואנחנו רוצים לאפס את התדרים שמעל [math]\displaystyle{ t }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s)=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ |s|>2\pi t }[/math].) במילים: הגלים שמרכיבים את הפונקציה כולם מתדרים עד [math]\displaystyle{ t }[/math].
איפה זה פוגש אותנו בעולם האמיתי? כשהמציאו את הטלפון, תכננו את המערכות להעביר קול אנושי, בהנחה שאין תדרים גבוהים מאלה שבני אדם מסוגלים להפיק. לכן מוזיקה בהמתנה לשירות לקוחות (גיטרה, שירים — תדרים גבוהים בהרבה) תמיד נשמעת גרוע. זו לא הסיבה היחידה (יש גם דחיסות שבנויות במיוחד לקול אנושי), אבל חיתוך התדרים לבדו כבר מספיק כדי להרוס את האיכות.
המטרה: לשאול באיזה קצב צריך לדגום על מנת לשחזר כמה שיותר מהפונקציה.
דוגמה (פאזה): אני מלמד בחדר הזה בתדר של פעם בשבוע. אם מישהו נכנס לחדר כל שעה במשך שבוע, הוא ידע בדיוק מתי אני בחדר. אבל אם הוא בודק את החדר פעם בשבוע, הוא יחשוב שאני אף פעם לא בחדר, או שאני תמיד בחדר — תלוי מתי הוא בדק (הפאזה). כשתדר הדגימה שווה לתדר של התופעה, אי אפשר לשחזר אותה. לכן צריך לבדוק בקצב גבוה יותר.
כמה גבוה? היינו מצפים שככל שנדגום בתדר גבוה יותר, כך נעלה את רמת הדיוק — אבל זה לא המצב. אם דוגמים בקצב פי 2 מהתדר המקסימלי, משחזרים את הפונקציה במדויק. כלומר אם הפונקציה חסומה בתדר ע"י [math]\displaystyle{ t }[/math], רוצים לדגום בתדר [math]\displaystyle{ 2t }[/math], כלומר הדגימות שלנו תהיינה
משפט (הדגימה של שנון): תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f| }[/math] מתכנס ובכל נקודה יש ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] נגזרות חד־צדדיות סופיות (כך שמשפט ההתמרה ההפוכה חל בכל נקודה), ונניח ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בתדר ע"י [math]\displaystyle{ t }[/math]. אם נתונות הנקודות [math]\displaystyle{ f\left(\frac{n}{2t}\right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math], אפשר לשחזר במדויק את [math]\displaystyle{ f }[/math]. במילים אחרות: שתי פונקציות כאלה שמסכימות על כל הדגימות — שוות.
הוכחה. נסמן [math]\displaystyle{ F=\mathcal{F}(f) }[/math]. לפי משפט ההתמרה ההפוכה, ומכיוון ש־[math]\displaystyle{ F(s)=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ |s|>2\pi t }[/math]:
כלומר [math]\displaystyle{ s=-2tu }[/math]; כאשר [math]\displaystyle{ s=-2\pi t }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ u=\pi }[/math], וכאשר [math]\displaystyle{ s=2\pi t }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ u=-\pi }[/math]:
(את המינוס בהצבה לקחנו כדי לקבל [math]\displaystyle{ e^{-inu} }[/math], כמו במקדמי פורייה. הוא הופך את גבולות האינטגרציה, והמינוס של [math]\displaystyle{ du }[/math] הופך אותם בחזרה.)
נציב את הדגימות שלנו! עבור [math]\displaystyle{ x=\frac{n}{2t} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2tux=nu }[/math], ולכן
צד שמאל נתון — אלה הדגימות. מצד ימין קיבלנו בדיוק את מקדמי פורייה המרוכבים [math]\displaystyle{ c_n=\langle G,e^{inx}\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}G(x)e^{-inx}dx }[/math] (במכפלה הפנימית המנורמלת ב־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math], שבה [math]\displaystyle{ \{e^{inx}\} }[/math] אורתונורמלית, כמו בהרצאה 5) של הפונקציה
(מהם מקבלים גם את המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] של טור הפורייה הרגיל, במכפלה הפנימית של הקורס עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} }[/math]: [math]\displaystyle{ a_n=c_n+c_{-n} }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=i\left(c_n-c_{-n}\right) }[/math].)
לפי פרסבל, המקדמים קובעים את הפונקציה בדיוק (כב"מ): אם לשתי פונקציות אותם מקדמים, כל המקדמים של ההפרש שלהן הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולפי פרסבל הנורמה של ההפרש היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ G }[/math] נקבעת (כב"מ) על [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ F }[/math] נקבעת על [math]\displaystyle{ [-2\pi t,2\pi t] }[/math] — ומחוץ לקטע הזה [math]\displaystyle{ F=0 }[/math] ממילא. ולכן ההתמרה נקבעה, וכיוון שההתמרה חח"ע (כב"מ) — שינוי של [math]\displaystyle{ F }[/math] על קבוצה ממידה אפס לא משנה את האינטגרל [math]\displaystyle{ \int F(s)e^{isx}ds=f(x) }[/math] — גם הפונקציה המקורית נקבעת.
במילים אחרות: אם שתי פונקציות שונות היו מביאות את אותן הדגימות, מקדמי הפורייה של ההתמרות שלהן היו זהים, ולכן ההתמרות זהות, ולכן הפונקציות זהות — בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
ההוכחה גם מראה איך לשחזר: מהדגימות מקבלים את מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ G }[/math], מהם את [math]\displaystyle{ G }[/math] ולכן את [math]\displaystyle{ F }[/math], ואז [math]\displaystyle{ f=\mathcal{F}^{-1}(F) }[/math].
ברור שצריך יותר מאותו הקצב בדיוק (ראו הדוגמה של החדר).
מספיק לא הרבה יותר, כי הפונקציה חסומה בתדר: יש הגבלה על קצב השינויים שלה, ואם דוגמים בקצב מספיק "סוגרים את כל הפינות".
לכל תדר יש "שני ממדים": סינוס וקוסינוס (או [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math]), כדי לקבל כל פאזה — ולכן צריך פי 2.
בהוכחה: בדיוק בקצב הזה הדגימות נותנות את כל מקדמי הפורייה של ההתמרה.
דגימה מהירה יותר (נגיד בקצב [math]\displaystyle{ 3t }[/math]) לא מזיקה — היא משחזרת במדויק פונקציות שחסומות בתדר עד [math]\displaystyle{ \frac{3t}{2} }[/math], ובפרט את אלה שחסומות ע"י [math]\displaystyle{ t }[/math] — אבל גם לא מוסיפה כלום.
דגימת קול בפועל. תוכנות הקלטה שואלות באיזה קצב לדגום: [math]\displaystyle{ 44{,}100 }[/math] דגימות בשנייה (התקן של תקליטורים), [math]\displaystyle{ 48{,}000 }[/math], ולפעמים אפילו [math]\displaystyle{ 192{,}000 }[/math]. בקצב של [math]\displaystyle{ 44{,}100 }[/math] אפשר לשחזר תדרים עד חצי ממנו, בערך [math]\displaystyle{ 22{,}000 }[/math] — קצת יותר מטווח השמיעה שלנו (בני אדם שומעים עד בערך [math]\displaystyle{ 19{,}000 }[/math]–[math]\displaystyle{ 20{,}000 }[/math]). משם המספר הזה הגיע: לקחו טיפה יותר מ־[math]\displaystyle{ 20{,}000 }[/math] ודגמו פי 2, כדי לשחזר כל דבר שאנחנו מסוגלים לשמוע.
הרבה פעמים אומרים "אדגום מהר יותר — ויהיה מדויק יותר". לא בהכרח: דוגמים תדרים שרק כלבים שומעים. בתמונה, להגדיל את הרזולוציה נראה תמיד כמו שיפור; אבל אם הדגימה כבר מושלמת, דגימה מהירה יותר סתם מבזבזת זמן ואנרגיה ולא נותנת שום דבר נוסף. (אולי יש לקצבים הגבוהים סיבות הנדסיות אחרות — זה כבר מעבר לסיפור שלנו.)
תאוריה מול הנדסה. במשפט הפונקציה מוגדרת מ־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] עד [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ודוגמים בכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math]. בפועל מקליטים זמן סופי: אם מקליטים חמש שניות בקצב [math]\displaystyle{ 44{,}100 }[/math], עושים [math]\displaystyle{ 44{,}100\cdot 5=220{,}500 }[/math] דגימות. את המצב הזה מתארת ההתמרה הבדידה, שבה משתמשים בפועל במקצועות ההנדסיים; לחתוך אות פתאום באמצע יוצר שם כמה תופעות מוזרות, ועל זה נדבר כשנגיע אליה.
עוברים לנושא הבא של הקורס — התמרת פורייה הבדידה, Discrete Fourier Transform, או בקיצור DFT.
הערה: לרוב שומעים את המושג FFT — Fast Fourier Transform. מה הקשר? זו דרך חישוב מהירה של אותו האובייקט בדיוק. כל מה שנלמד בשם DFT הוא בדיוק מה ש־FFT מחשב, רק מהר יותר; בקורס לא נלמד איך מחשבים FFT.
הרעיון: יש לנו סדרת ערכים שהם דגימות של פונקציה (אות) כלשהי, שנלקחו בקצב קבוע — נגיד [math]\displaystyle{ T }[/math] פעמים בשנייה:
זו יכולה להיות דגימה של קול, של תמונה או של גל אלקטרומגנטי. אנחנו רוצים לדעת מה האמפליטודות של הגלים שמרכיבים את האות המקורי [math]\displaystyle{ f }[/math].
הסיפור הכי פשוט:[math]\displaystyle{ f(t) }[/math] מייצגת את לחץ האוויר בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math], כאשר יולי שרקה בכיתה. אחרי שנעשה DFT, אנחנו רוצים לגלות אמפליטודה לא זניחה בתדר שבו יולי שרקה, ואפס בכל תדר אחר.
למעשה DFT שולח סדרה של [math]\displaystyle{ n }[/math] נקודות לסדרה של [math]\displaystyle{ n }[/math] נקודות, כלומר נקבל אמפליטודות של [math]\displaystyle{ n }[/math] גלים שונים. הם באים בזוגות — לכל תדר שני גלים (כמו סינוס וקוסינוס) — ולכן מקבלים בערך [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} }[/math] תדרים: בדיוק כמו בשנון, קצב הדגימה הוא פי 2 מהתדרים שאפשר לשחזר. ומה אם באות המקורי יש תדרים גבוהים יותר? אז לא דגמנו בקצב הנכון — זה בדיוק משפט הדגימה.
עוד לפני שלומדים את החומר, הנה איך משתמשים בו — באפליקציה fft.math-wiki.com (אפשר להדביק בה כל תמונה ולנסות בבית):
תמונה כאות. לוקחים את השורות של התמונה ושמים אותן אחת אחרי השנייה: זו סדרת הנקודות שלנו, והאות הוא העוצמה של הפיקסלים, "מרוחה" על וקטור ארוך (כאילו הזמן רץ לאורך השורות). התדרים מייצגים שינוי: אזורים אחידים (מצח, קיר) הם בתדר נמוך, ופרטים קטנים (שיער, כיתוב) בתדרים אחרים, גבוהים. האפליקציה מדווחת כמה תדרים יש — בערך חצי מאורך הווקטור, כמו שנון. בתמונה שהדגמנו בכיתה היו בערך מיליון תדרים ([math]\displaystyle{ 1{,}036{,}801 }[/math]).
מחיקת תדרים. מאפסים את האמפליטודות של כל הגלים החלשים, ומשאירים רק את בעלי האמפליטודה הגדולה — נגיד 800 או 1800 מתוך המיליון — ומשחזרים. התמונה פחות חדה, אבל עדיין מזהים את הדמויות ואת החפצים; גם עם 100 תדרים בלבד עוד נשאר מידע מפתיע. זו דחיסה מטורפת, וכך בערך עובדת דחיסת תמונות. (בתמונה צבעונית עושים את זה בכל אחד משלושת ערוצי הצבע RGB.)
לוח שחמט. בתמונה הבאה יש "רק" בערך 320,000 תדרים. גם כשמשאירים מעט מאוד מהם, עדיין רואים בערך איפה המשבצות הלבנות, איפה השחורות, ושיש פה לוח שחמט: אלה הדברים המשמעותיים בתמונה. מה שנמחק הם הפרטים הקטנים שמשתנים מהר. חוץ מדחיסה יש כאן גם החלקה: כשמורידים תדרים מתמונה מגורענת, היא נעשית חלקה יותר.
האפליקציה fft.math-wiki.com: לוח שחמט מקורי (משמאל) והתמונה המשוחזרת אחרי שהשארנו רק חלק זעיר מהתדרים, אלה עם האמפליטודות הגדולות (מימין)
כל זה מתמטיקה טהורה: האלגוריתם שמאחורי ההדגמה הוא בסך הכול אלגברה לינארית 2 — בסיסים אורתונורמליים — ונלמד אותו בצורה מלאה.
הרצאה 8 - הקלטת קול ודגימה, התמרת פורייה הבדידה (DFT)
▶ הקלטת ההרצאה מ־3.6.26
אנחנו בהקדמה לקראת התמרת פורייה הבדידה. בסוף, ההתמרה הבדידה היא סך הכל נוסחה די פשוטה: אלגברה לינארית במרחב ממימד סופי. ההקדמה היא העיקר: להבין מה הנוסחה מייצגת ואיך היא קשורה למציאות.
קול והקלטה: מאנלוגי לדיגיטלי
הדוגמה המרכזית מאחורי הסיפור היא הקלטה של אות כלשהו, וספציפית נדבר על קול (הכי פשוט להדגים ולהבין; אותו סיפור עובד גם על אותות אחרים, למשל גלים אלקטרומגנטיים).
מהו קול? שינוי בלחץ האוויר. האות שלנו הוא פונקציה [math]\displaystyle{ f(t) }[/math]: לחץ האוויר בנקודה מסוימת בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math].
איך אפשר להקליט, כלומר לשמור את המידע של הקול באזור בו אנו נמצאים?
בעבר, באופן אנלוגי, פשוט חרטו את פונקציית הלחץ של האוויר על תקליט, ואחר כך שחזרו את לחץ האוויר בחדר אחר בעזרת רמקול.
אנחנו חיים בעידן דיגיטלי, בו לא מעבירים פונקציה רציפה למחשב, אלא דוגמים את הפונקציה כל כמה זמן, ושולחים למחשב את ערכי הפונקציה בנקודות הללו (את זה עושה כרטיס הקול).
זה קריטי לנושא, כי כאן מתחילה התמרת פורייה הבדידה: היא מקבלת את הדגימות, ולא את הפונקציה הרציפה.
מיתרי הקול. כשמדברים, הסרעפת לוחצת על הריאות והאוויר יוצא. מה שהופך את זרם האוויר לקול הם מיתרי הקול: זוג ממברנות (רקמות ריריות) בגרון, שיכולות להיסגר ולהיפתח. כשנושמים הן פתוחות, וכשמדברים הן נסגרות. האוויר מנסה לפלס את דרכו החוצה ופותח אותן מעט, אבל זה שריר שמנסה להיסגר שוב, וכך נוצרות רעידות שדרכן האוויר יוצא בגל של לחץ שעולה ונחלש, עולה ונחלש, ממש כמו קפיץ. כלומר כבר מהטבע של הדבר יש כאן התנהגות גלית טריגונומטרית: הפתרונות של משוואת הקפיץ הם ממש סינוס וקוסינוס.
התקליט. בצילום מאקרו של תקליט רואים מרחוק רק פסים, אבל מקרוב רואים שיש בחריצים "תנועה": זו ממש חריטה פיזית של לחץ האוויר על התקליט. בהקלטה, האוויר מזיז את המיקרופון (ממברנה שזזה עם הלחץ, בתוך מגנט), נוצר זרם חשמלי שמזיז מחט, והמחט חורטת את הצורה ישירות על התקליט. בהשמעה זה אותו דבר בכיוון ההפוך: המחט נעה בחריץ, מייצרת אות חשמלי, והאות מזיז ממברנה בתוך מגנט (רמקול) שמזיזה פיזית את האוויר; לרוב צריך גם מגבר. זה מה שנקרא אנלוגי: לוקחים את הפונקציה ורושמים אותה כמו שהיא.
מיקרופון ורמקול הם בעצם אותו מכשיר: ממברנה שזזה בתוך מגנט. ניסוי שאפשר לעשות בבית: אוזניות פשוטות שמחוברות לשקע של המיקרופון אכן קולטות קול.
דיגיטלי. מחשב לא מקבל את כל המידע הרציף. על רגל אחת: פעם בכמה זמן דוגמים את הפונקציה ושומרים את ערכה.
דוגמה (גאוגברה): ניקח את [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] ונדגום אותה 10 פעמים ביחידת זמן ("בשנייה") לאורך 2 שניות, החל מ־0. זמני הדגימה הם [math]\displaystyle{ \frac{k}{10} }[/math], והדגימות עצמן הן הנקודות [math]\displaystyle{ \left(\frac{k}{10},f\left(\frac{k}{10}\right)\right) }[/math] שיושבות על הגרף:
דגימה של הפונקציה e בחזקת x עשר פעמים ביחידה בקטע מ־0 עד 2: על ציר ה־x זמני הדגימה, ועל הגרף הדגימות עצמן
סימונים:
[math]\displaystyle{ T }[/math] הוא תדר הדגימה, כלומר כמה פעמים דוגמים בקטע באורך 1.
[math]\displaystyle{ N }[/math] היא כמות הדגימות.
את הדגימות עצמן נסמן בסדרה [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\ldots,a_{N-1} }[/math]. הדגימות של האות [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] הן
אם נסתכל על סדרת הדגימות כוקטור, הוא יושב ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^N }[/math]. כמו הרבה דברים בקורס שלנו, נעדיף להניח שאנחנו ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math]: זה מוסיף דרגה אחת של סיבוך אבל מפשט דברים אחרים. (את לחץ האוויר אי אפשר לדגום "בצורה מרוכבת", הדגימות האמיתיות ממשיות; כל המתמטיקה תיעשה מעל המרוכבים, ונראה איך מתרגמים חזרה לממשיים.)
שאלה: האם בהינתן סדרת הדגימות אפשר לשחזר בדיוק את האות [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] בטווח [math]\displaystyle{ \left[0,\frac{N}{T}\right] }[/math]? ברור שלא: אם ידועים רק ערכי הפונקציה בנקודות הדגימה, מאיפה נדע מה ערכה במקומות אחרים? אבל בדומה למשפט הדגימה של שנון (הרצאה 7), יהיה אפשר לשחזר בדיוק מושלם, תחת הנחות מסוימות. שנון וניקוויסט עבדו בדיוק על הצורך הזה, העברת תקשורת (מרכזיות טלפון), בתחילת עידן הנדסת התקשורת. במאמר Shannon, Communication in the presence of noise (1949) שנון ניסח והוכיח את משפט הדגימה: אות שחסום בתדר נקבע לגמרי מדגימות בקצב כפול מהתדר המקסימלי.
הערה: יש לנו שני פרמטרים לשחק איתם: קצב הדגימה, ולאורך כמה זמן דוגמים. כדי לשפר את הדיוק לכאורה צריך לדגום יותר פעמים, אבל לגבי משך הדגימה אין תשובה אחת: יש כאן עקרונות מתנגשים (נראה אותם בניסוי בסוף ההרצאה).
מה הרעיון הבא על מנת לנתח את העסק הזה? ניקח פונקציות של גלים, נדגום אותן, ונשמור את הוקטורים שנקבל. כל ציור כזה, כלומר כל צבע, מייצג בעצם וקטור אחד:
דגימות של שלושה גלים 30 פעמים ביחידה בקטע מ־0 עד 4: בירוק sin(2x), בוורוד cos(3x), בכחול sin(10x+5)
בגאוגברה דגמנו לאורך 4 יחידות את [math]\displaystyle{ \sin(2x) }[/math] (ירוק), את [math]\displaystyle{ \cos(3x) }[/math] (ורוד) ואת [math]\displaystyle{ \sin(10x+5) }[/math] (כחול). בגרף רואים רק את הדגימות, ממש כמו שהמחשב רואה. אמנם אי אפשר באמת לשחזר את הפונקציה מהדגימות, אבל בירוק ובוורוד די ברור איזה גל יושב מאחורה: גל עם פאזה מסוימת ועם תדר מסוים.
כשדגמנו 10 פעמים ביחידה, הנקודות הכחולות נראו כמו בלגן מוחלט. התדר של [math]\displaystyle{ \sin(10x+5) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{10}{2\pi}\approx1.6 }[/math], כלומר בקצב כזה יש רק כ־[math]\displaystyle{ 2\pi\approx6.3 }[/math] דגימות בכל מחזור. מבחינת שנון זה מספיק (צריך לדגום בתדר גדול מ־[math]\displaystyle{ 2\cdot1.6\approx3.2 }[/math]), אבל העין כבר לא מזהה את הגל. כשמעלים את תדר הדגימה ל־20 ואחר כך ל־30 (כ־19 דגימות למחזור, זה הגרף שלמעלה), גם הגל הכחול נראה סביר לגמרי.
בגרף שלמעלה דגמנו 30 פעמים ביחידה לאורך 4 יחידות, כלומר [math]\displaystyle{ N=120 }[/math], וכל אחד משלושת הצבעים הוא וקטור ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{120} }[/math] (בגאוגברה לקחנו גם את הנקודה 4 עצמה, כלומר דגימה אחת נוספת).
בכמה וקטורים אפשר וצריך להשתמש? בעולם הרציף יש אינסוף תדרים, אבל וקטור הדגימות יושב ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math], ולכן נשתמש בבדיוק [math]\displaystyle{ N }[/math] וקטורים שיהוו בסיס (בפרט, בלתי תלויים).
הרעיון ממש פשוט: נציג את וקטור הדגימה כצירוף לינארי של איברי הבסיס. כלומר הסדרה החדשה שנקבל תהיה הקואורדינטות של וקטור הדגימה. זה לא "בערך", זו בדיוק התמרת פורייה הבדידה: העתקה שלוקחת וקטור ושולחת אותו לקואורדינטות שלו לפי בסיס של גלים (עד כדי כפל בקבוע, כפי שנראה).
ככה, אם הקואורדינטה של הוקטור שמתאים ל־[math]\displaystyle{ \cos(3x) }[/math] תהיה גדולה בהרבה מהאחרות, סימן שהתדר הזה משמעותי במידע יותר מהאחרים. למשל באות [math]\displaystyle{ 50\cos(3x)+0.1\sin(2x)+0.01\sin(4x) }[/math] ברור ש־[math]\displaystyle{ \cos(3x) }[/math] הוא עיקר האות. למקדם של גל קוראים אמפליטודה.
יתר על כן, גם ההתמרה ההפוכה ברורה לחלוטין: אם יש לנו את הקואורדינטות, נכפול אותן באיברי הבסיס ונקבל חזרה את וקטור הדגימה.
צירוף לינארי כזה בהכרח קיים ויחיד, כי זה בסיס. בניגוד לטורי פורייה ולהתמרת פורייה הרציפה, שם שום דבר לא הבטיח לנו מראש שהסכום מתכנס לפונקציה, כאן זו פשוט אלגברה לינארית במימד סופי. הפשטות המתמטית באה על חשבון זה שבעולם ההנדסי האמיתי לא ברור מה המשמעות של התוצאות: בחרנו בדיוק [math]\displaystyle{ N }[/math] גלים, ומה עם כל שאר הגלים שקיימים באות הרציף?
דחיסה: למשל אפשר לעשות סיפור כזה: ניקח אות, נפרק אותו לקואורדינטות (אמפליטודות) של וקטורים שהם גלים, נמחק (כלומר נאפס) את הקואורדינטות של הגלים החלשים יותר, ואז נחזור לוקטור הדגימה, אבל כמובן לא המקורי. זה אחד לאחד מה שעשינו בסוף ההרצאה הקודמת באתר fft.math-wiki.com: בתמונה של לוח שחמט השארנו רק את 100 הגלים החזקים מתוך כמיליון גלים ושחזרנו, והמבנה של הלוח נשמר; בעיקר פרטים קטנים נמחקו.
הערה (צבעים): גם הצבע שאנחנו רואים הוא אות שמורכב מהרבה גלים, וסכומים שונים של גלים יכולים להיראות לעין בדיוק אותו צבע.
מה יותר צהוב: בננה או גחלילית? נניח שבעין רואים בדיוק אותו צבע. האם בכל זאת יכול להיות הבדל?
האור הוא גל אלקטרומגנטי, אבל לא גל טריגונומטרי אחד: הוא סכום של גלים, וזה האות שאנחנו קוראים לו "צבע צהוב". האור של הגחלילית צר יחסית, בערך גל אחד; האור שמגיע מהבננה מורכב מהרבה מאוד גלים בתדרים שונים. העין מקבלת את הסכום, והמוח אומר "צהוב" בשני המקרים. כלומר סכומים שונים של גלים נראים לנו כבני אדם אותו דבר: לעין יש מעין "דיגיטציה", והיא גרועה ביותר. בשמיעה, לעומת זאת, האוזן מדייקת ברמות מפחידות; זו עוד סיבה לעבוד עם גלי קול.
גם זה פורייה: לוקחים את האות ומפרקים אותו לאמפליטודות של גלים. מה העין עושה עם זה זו כבר ביולוגיה (נחזור לזה בהרצאה הבאה).
(לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שלם; לבסיס ניקח [math]\displaystyle{ n=0,1,\ldots,N-1 }[/math]).
מה התדר של הגל הזה? (התדר של [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi} }[/math].)
[math]\displaystyle{ \frac{\left|\frac{2\pi nT}{N}\right|}{2\pi}=n\cdot\frac{T}{N}=\frac{n}{N}\cdot T }[/math]
כיוון ש־[math]\displaystyle{ n=0,1,\ldots,N-1 }[/math] מקבלים סריקת תדרים
[math]\displaystyle{ 0,\ \frac{1}{N}\cdot T,\ \frac{2}{N}\cdot T,\ \ldots,\ \frac{N-1}{N}\cdot T }[/math]
סורקים את התדרים מ־0 עד (כמעט) [math]\displaystyle{ T }[/math] בקפיצות של [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math], כך שרמת הדיוק תלויה בכמות הדגימות: ככל ש־[math]\displaystyle{ N }[/math] גדול יותר, הסריקה עדינה יותר.
סתירה לשנון? זה נראה כאילו כיסינו את כל התדרים עד תדר הדגימה [math]\displaystyle{ T }[/math], בסתירה לעיקרון של שנון, לפיו היינו אמורים לכסות רק חצי. זכרו שכל תדר צריך שני נציגים: סינוס וקוסינוס, או [math]\displaystyle{ e^{i\omega t},e^{-i\omega t} }[/math]. אז כל תדר פה מקבל רק חצי ממה שהוא צריך מבחינת פאזה (חשבו: אם היו לנו רק סינוסים, כל צירוף שלהם היה מתאפס ב־0). בהמשך ההרצאה נראה שהתדרים עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math] מיוצגים כאן נאמנה, כל אחד עם שני הנציגים שלו.
וקטורי הדגימות של הגלים: עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] נתון נדגום את הגל [math]\displaystyle{ u_n }[/math] בזמנים [math]\displaystyle{ 0,\frac{1}{T},\ldots,\frac{N-1}{T} }[/math] ונקבל וקטור
יש כאן שני אינדקסים: [math]\displaystyle{ n }[/math] אומר באיזה גל אנחנו, ו־[math]\displaystyle{ k }[/math] אומר באיזה רכיב של הוקטור.
הערה: שימו לב ש־[math]\displaystyle{ T }[/math] נעלם מהנוסחה. הוא לא משנה לחישוב המתמטי, אבל הוא חלק מהסיפור ההנדסי: כדי לדעת מה התדרים האמיתיים חייבים לדעת באיזה קצב דגמנו. אם נותנים לנו 1000 דגימות בלי המרווח בין זמני הדגימה, אין שום דרך לדעת מה התדר.
טענה: הוקטורים [math]\displaystyle{ e_0,\ldots,e_{N-1} }[/math] מהווים קבוצה אורתוגונלית ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של המרוכבים: עבור [math]\displaystyle{ x=(x_0,\ldots,x_{N-1}) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y=(y_0,\ldots,y_{N-1}) }[/math]
זה סכום של סדרה הנדסית עם מנה [math]\displaystyle{ q=e^{\frac{2\pi i}{N}(n-m)} }[/math]. (תדמיינו שהיו פה קוסינוס וסינוס של הזווית: איזו טרחה הייתה לנו עם זהויות טריגונומטריות. במרוכבים זה כל כך טבעי.)
המקרה [math]\displaystyle{ n\neq m }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ n,m }[/math] שניהם בין 0 ל־[math]\displaystyle{ N-1 }[/math] ושונים, ההפרש ביניהם מקיים [math]\displaystyle{ 1\le|n-m|\le N-1 }[/math], ולכן
כי [math]\displaystyle{ n-m }[/math] שלם: מספר שלם של סיבובים מחזיר אותנו ל־1. לכן המונה מתאפס, וקיבלנו כי [math]\displaystyle{ \left\langle e_n,e_m\right\rangle=0 }[/math].
המקרה [math]\displaystyle{ n=m }[/math]. כל מחובר בסכום הוא [math]\displaystyle{ e^{\frac{2\pi ik}{N}(n-n)}=e^0=1 }[/math], ולכן
מסקנה: אף אחד מהוקטורים אינו וקטור האפס (כולם מתחילים ב־1), וקבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את וקטור האפס היא בלתי תלויה לינארית. יש כאן [math]\displaystyle{ N }[/math] וקטורים ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ e_0,\ldots,e_{N-1} }[/math] הוא בסיס אורתוגונלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math]. הוא אינו אורתונורמלי: האורך של כל וקטור הוא [math]\displaystyle{ \sqrt{N} }[/math].
לכן, אם נסמן את וקטור הדגימות ב־[math]\displaystyle{ v=(a_0,\ldots,a_{N-1}) }[/math], מאלגברה לינארית
כלומר הקואורדינטות של [math]\displaystyle{ v }[/math] הן כמעט[math]\displaystyle{ \left\langle v,e_n\right\rangle }[/math]: חסרה החלוקה ב־[math]\displaystyle{ N }[/math]. זה העיקרון שליווה אותנו בכל הקורס, עוד מטורי פורייה: כשיש קבוצה אורתוגונלית, למצוא את המקדמים זה דבר פשוט מאוד.
התמרת פורייה הבדידה (DFT)
כעת אנחנו מוכנים להגדיר את התמרת פורייה הבדידה, אחרי שהבנו מה הקטע שלה.
הגדרה: תהי סדרה [math]\displaystyle{ a_0,\ldots,a_{N-1}\in\mathbb{C} }[/math]. נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה (DFT, Discrete Fourier Transform) להיות הסדרה [math]\displaystyle{ A_0,\ldots,A_{N-1}\in\mathbb{C} }[/math] המוגדרת ע"י
במילים: [math]\displaystyle{ A_k=\left\langle v,e_k\right\rangle }[/math], המכפלה הפנימית של וקטור הדגימות [math]\displaystyle{ v=(a_0,\ldots,a_{N-1}) }[/math] עם וקטור הגל [math]\displaystyle{ e_k }[/math]; המינוס במעריך בא מכך שהמכפלה הפנימית כופלת בצמוד. לפי המסקנה, [math]\displaystyle{ \frac{A_k}{N} }[/math] היא הקואורדינטה של [math]\displaystyle{ v }[/math] לפי [math]\displaystyle{ e_k }[/math], ולכן
הערה: FFT (Fast Fourier Transform) היא דרך חישוב מהירה של אותו האובייקט בדיוק: אותה נוסחה, פשוט מחושבת מהר יותר. בספרות (למשל בוויקיפדיה) מתחילים ישר מהדגימות [math]\displaystyle{ x_0,\ldots,x_{N-1} }[/math] ומהנוסחה, בלי הסיפור של האות ושל תדר הדגימה; כאן אנחנו מכניסים את התדר לסיפור מלכתחילה, כי הוא חיוני לכל אפליקציה אמיתית.
כשמסתכלים על זה ככה, זה לא אומר כלום: לא רואים שום היגיון מאחורה. המספרים שלקחנו הם לא דגימות של שום אות, אלא סתם מספרים. המשמעות מופיעה כשנותנים להתמרה דגימות של אות אמיתי.
דוגמה 2: נדגום את [math]\displaystyle{ \cos(2\pi\cdot5t) }[/math] (גל בתדר 5) 8 פעמים בשנייה במשך שנייה אחת, כלומר [math]\displaystyle{ T=N=8 }[/math] ו־
תעצרו רגע לקבל את זה: נתנו דגימות של סינוסואידה, וההתמרה אומרת לנו "אתה לא צריך את כל המידע הזה, כל המידע שלך זה שתי עמודות". למה שתיים? כי תדר אף פעם לא מופיע פעם אחת, הוא תמיד בא עם שני נציגים.
ובמדויק: כאן [math]\displaystyle{ T=N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ u_n(t)=e^{2\pi int} }[/math]. הדגימות של [math]\displaystyle{ e^{2\pi i\cdot5t} }[/math] הן בדיוק [math]\displaystyle{ e_5 }[/math], והדגימות של [math]\displaystyle{ e^{-2\pi i\cdot5t} }[/math] הן [math]\displaystyle{ e_{-5} }[/math], שהוא (כפי שנראה מיד, [math]\displaystyle{ e_{N-n}=e_{-n} }[/math]) הוקטור [math]\displaystyle{ e_{8-5}=e_3 }[/math]. לכן
ושאר המקדמים אפס. עכשיו יש גם חלק ממשי וגם חלק מדומה. בשלושת המקרים [math]\displaystyle{ |A_3|=|A_5|=4 }[/math]: האמפליטודה אותה אמפליטודה, והפאזה יושבת בזווית של המספר המרוכב. אחרי ההתמרה המחשב פשוט אומר: אני רואה פעילות בתדרים האלה, ואפס פעילות בתדרים האחרים.
שימו לב: התדר 5 גדול מ־[math]\displaystyle{ \frac{T}{2}=4 }[/math]. כיוון ש־
אלה בדיוק גם הדגימות של [math]\displaystyle{ \cos(2\pi\cdot3t) }[/math]. מהדגימות אי אפשר לדעת אם האות היה בתדר 5 או בתדר 3, ולפי המוסכמה (מציגים תדרים עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math], ראו בהמשך) נאמר שזה תדר 3. זו בדיוק התופעה שנראה בניסוי בסוף ההרצאה.
כאן כבר לא מקבלים רק שתי עמודות. הסיבה היא ש־[math]\displaystyle{ e }[/math] איננו מספר שלם, ולכן התדר [math]\displaystyle{ e }[/math] לא יושב בדיוק על אחד מתדרי ה־DFT של 8 דגימות (כאן [math]\displaystyle{ \frac{T}{N}=1 }[/math], כלומר התדרים הם [math]\displaystyle{ 0,1,\ldots,7 }[/math]). לכן האנרגיה "נמרחת" על כמה תדרים, עם בליטות ליד 2 ו־3 (ובזוגות שלהם, 6 ו־5). זו בדיוק התופעה של דליפת ספקטרום. זה קרוב יותר לאיך שהדברים נראים בעולם האמיתי: הגלים לא מסתדרים בצורה מושלמת עם התדרים של ההתמרה, אבל עדיין זה עובד לא רע ומאפשר לזהות את התדרים.
שימו לב גם ש־[math]\displaystyle{ A_{8-k}=\overline{A_k} }[/math], כמו בדוגמה 2; זה קורה לכל אות ממשי, ונבין זאת בהרצאה הבאה.
טענה: לכל [math]\displaystyle{ n=1,\ldots,N-1 }[/math],
[math]\displaystyle{ e_{N-n}=e_{-n} }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ e_{-n} }[/math] הוא וקטור הדגימות של הגל [math]\displaystyle{ u_{-n}(t)=e^{-2\pi i\cdot n\cdot\frac{T}{N}t} }[/math], כלומר של הנציג השני של התדר [math]\displaystyle{ \frac{n}{N}\cdot T }[/math].
כלומר כל רכיב של [math]\displaystyle{ e_{N-n} }[/math] שווה לרכיב המתאים של [math]\displaystyle{ e_{-n} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ e_{N-n}=e_{-n} }[/math]. (שימו לב: [math]\displaystyle{ e_{-n}=\overline{e_n} }[/math], הצמוד רכיב־רכיב.)
כלומר באמת, בהתאם לשנון, מכסים רק עד תדר [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math] (כאן התדרים [math]\displaystyle{ 0,\frac{T}{5},\frac{2T}{5} }[/math]), כל אחד עם שני הנציגים שלו. (שני מקרים מיוחדים: [math]\displaystyle{ e_0=(1,1,\ldots,1) }[/math] הוא הגל הקבוע, בתדר 0, והוא בן הזוג של עצמו; וכאשר [math]\displaystyle{ N }[/math] זוגי, גם [math]\displaystyle{ e_{N/2}=e_{-N/2}=(1,-1,1,\ldots,-1) }[/math] הוא בן הזוג של עצמו, והוא מייצג את התדר [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math] בדיוק. למשל עבור [math]\displaystyle{ N=8 }[/math] הזוגות הם [math]\displaystyle{ e_1,e_7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e_2,e_6 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e_3,e_5 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ e_0 }[/math], [math]\displaystyle{ e_4 }[/math] לבד.) בגלל זה בדוגמאות תמיד בלטו שתי עמודות: אלה שני הנציגים, שרק ביחד נותנים גל ממשי (נראה בהרצאה הבאה שהסכום של זוג כזה הוא צירוף של קוסינוס וסינוס). בהתאם, גם במקדמים:
הערה (מוסכמה): מאותה דגימה של אות אפשר לקבל שתי החלטות שונות: לחשוב שהדגימות הגיעו מגלים בכל התדרים מ־0 עד [math]\displaystyle{ T }[/math] עם פאזות ספציפיות, או מגלים בתדרים עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math] עם פאזות חופשיות לגמרי. ביחס למציאות אחת ההחלטות תהיה שגויה, ומהדגימות לבדן אי אפשר לדעת איזו: כמה שידורים שונים יכולים לצאת בדיוק אותו דבר, ומידע הולך לאיבוד. המוסכמה היא להציג למשתמש את התדרים עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math], וזה תפקידו של מי שמשתמש במערכת לוודא שלא ייכנס אות שלא עומד בהנחות. זו בדיוק הדרישה של שנון: שהתדרים חסומים ע"י [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math]. לכן מסננים את התדרים הגבוהים עוד לפני הדגימה, אחרת הם נכנסים כרעשים (אחרי הדגימה כבר אי אפשר להבדיל ביניהם לבין התדרים הנמוכים).
כעת נראה ניסוי מגניב; כל החישובים בו הם FFT. בתוכנת הקלטה (Adobe Audition) מקליטים צפצוף בתדר 7000 (מאפליקציה בטלפון) בקצב דגימה של [math]\displaystyle{ T=48000 }[/math] פעמים בשנייה, ומציגים ספקטרוגרמה: התוכנה מחלקת את ההקלטה לחלונות של [math]\displaystyle{ N }[/math] דגימות, עושה לכל חלון FFT, ומציירת את האמפליטודות של כל חלון כעמודה אחת (ציר אנכי: תדר; צבע: עוצמה), עמודה אחרי עמודה לאורך הזמן. הצפצוף נראה כקו אופקי בגובה 7000: שריקה נראית כמו סינוס מושלם.
טווח התדרים המוצג הוא מ־0 עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2}=24000 }[/math], בדיוק לפי מה שראינו. אותו קובע תדר הדגימה.
כמות הדגימות[math]\displaystyle{ N }[/math] בכל חלון קובעת כמה עדינה החלוקה של טווח התדרים: המרווח בין תדרים סמוכים הוא [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math]. מצד שני, אורך החלון בזמן הוא [math]\displaystyle{ \frac{N}{T} }[/math]. המכפלה שלהם היא 1, ולכן יש ביניהם התנגשות: חלוקה עדינה של התדרים מחייבת חלון ארוך בזמן.
בהגדרות התוכנה (spectral resolution) אפשר לשלוט ישירות ב־[math]\displaystyle{ N }[/math], הפרמטר המתמטי של ה־FFT. עם [math]\displaystyle{ T=48000 }[/math]:
[math]\displaystyle{ N=8192 }[/math]: המרווח בין תדרים סמוכים הוא [math]\displaystyle{ \frac{48000}{8192}\approx5.9 }[/math], ואורך כל חלון כ־[math]\displaystyle{ 0.17 }[/math] שניות.
[math]\displaystyle{ N=32 }[/math]: המרווח הוא [math]\displaystyle{ \frac{48000}{32}=1500 }[/math], כלומר 7000 נופל איפשהו בין 6000 ל־7500: רזולוציה גרועה מאוד בתדר. היתרון: כל חלון קצר מאוד (כ־[math]\displaystyle{ 0.67 }[/math] אלפיות שנייה), כך ששינויים מהירים בזמן נראים.
[math]\displaystyle{ N=256 }[/math]: המרווח [math]\displaystyle{ 187.5 }[/math] וחלון של כ־[math]\displaystyle{ 5.3 }[/math] אלפיות שנייה; כאן כבר רואים יפה את 7000.
יש כאן tradeoff: אם התדר היה מתחלף כל עשירית שנייה, עם חלון ארוך לא היינו רואים את זה בכלל. ככל שמקטינים את [math]\displaystyle{ N }[/math] עושים את התהליך יותר פעמים, אבל החלוקה לתדרים הרבה פחות מדויקת.
זו בדיוק הבעיה ההנדסית בהעברת מידע. בימי האינטרנט על גבי קו הטלפון (מודם), ממש התקשרו לחברת האינטרנט, והמידע עבר כצלילים בשיחת טלפון. כדי להעביר יותר מידע רוצים להשתמש בהרבה תדרים, אבל גם להחליף אותם מהר, ויש פה קיר: שני הדברים נלחמים זה בזה. עבדו ועדיין עובדים על הבעיה הזו בכל מיני דרכים, כדי להעביר כמה שיותר מידע בערוץ, תוך התחשבות ברעש.
קצב דגימה נמוך מדי. עכשיו מורידים את תדר הדגימה ל־[math]\displaystyle{ T=8000 }[/math] ומקליטים שוב את אותו צפצוף בתדר 7000. כשמשמיעים את ההקלטה שומעים צפצוף בתדר 1000! המחשב הקליט 1000 והשמיע 1000:
ספקטרוגרמה של הקלטת צפצוף בתדר 7000 בקצב דגימה 8000: הקו החזק מופיע בתדר 1000
מבחינת המחשב, בקצב הזה כל דבר הוא בתדר עד [math]\displaystyle{ \frac{T}{2}=4000 }[/math]. הצפצוף בתדר 7000 שינה את לחץ האוויר ואת הדגימות, אבל הדגימות שהתקבלו הן בדיוק הדגימות של גל בתדר 1000. זה לא צירוף מקרים: [math]\displaystyle{ 7000=8000-1000 }[/math], ובדיוק כמו בחישוב של [math]\displaystyle{ e_{N-n}=e_{-n} }[/math],
ומכיוון שהקוסינוס זוגי, גם הדגימות של [math]\displaystyle{ \cos(2\pi\cdot7000t) }[/math] שוות לדגימות של [math]\displaystyle{ \cos(2\pi\cdot1000t) }[/math]. כלומר בקצב הדגימה הזה תדר 7000 נראה בדיוק כמו תדר 1000. לתופעה קוראים קיפול תדרים (aliasing), ונרחיב עליה בהמשך הקורס.
הוכחנו שהם קבוצה אורתוגונלית ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math] ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית, עם [math]\displaystyle{ \langle e_n,e_n\rangle=N }[/math] (אורתוגונלית, לא אורתונורמלית).
בהינתן וקטור דגימות באורך [math]\displaystyle{ N }[/math]
יש כאן שני אינדקסים שרצים: [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר (והוא קבוע בכל סכום), ו־[math]\displaystyle{ p }[/math] רץ על מקומות הדגימה. עוד הוכחנו כי [math]\displaystyle{ X_{N-k}=X_{-k} }[/math].
[math]\displaystyle{ X_k }[/math] הוא כמעט המקדם (האמפליטודה) של הגל [math]\displaystyle{ e_k }[/math] בפירוק: כיוון שהבסיס אורתוגונלי ולא אורתונורמלי, המקדם האמיתי הוא [math]\displaystyle{ \frac{X_k}{N} }[/math]. בהגדרה המקובלת של ההתמרה לא מחלקים ב־[math]\displaystyle{ N }[/math].
עד כאן לא היה משפט: רק פירוק יפה ורעיון הנדסי (בתחום הזה כמעט אין משפטים). עכשיו יש טענה — פשוטה, מאלגברה לינארית.
טענה (התמרת פורייה הבדידה ההפוכה): לכל [math]\displaystyle{ v=(x_0,\ldots,x_{N-1})\in\mathbb{C}^N }[/math] עם התמרה [math]\displaystyle{ (X_0,\ldots,X_{N-1}) }[/math] מתקיים
הוכחה.[math]\displaystyle{ e_0,\ldots,e_{N-1} }[/math] הם [math]\displaystyle{ N }[/math] וקטורים אורתוגונליים ושונים מאפס ב־[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^N }[/math], ולכן הם בלתי תלויים לינארית ומהווים בסיס א"ג. מאלגברה לינארית, לכל [math]\displaystyle{ v }[/math] מתקיים
(אם [math]\displaystyle{ v=\sum_pc_pe_p }[/math], אז מכפלה פנימית עם [math]\displaystyle{ e_q }[/math] מאפסת את כל המחוברים פרט לאחד: [math]\displaystyle{ \langle v,e_q\rangle=c_q\langle e_q,e_q\rangle }[/math]. זו אותה נוסחה שמופיעה בתהליך גרם־שמידט.)
המונה הוא [math]\displaystyle{ \langle v,e_p\rangle=X_p }[/math], והמכנה הוא [math]\displaystyle{ \langle e_p,e_p\rangle=N }[/math] לכל [math]\displaystyle{ p }[/math]. לכן
נשאר לרשום את זה רכיב אחר רכיב. הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ e_p }[/math] הוא [math]\displaystyle{ e^{2\pi i\cdot\frac{p}{N}\cdot k} }[/math], ולכן הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ v }[/math] הוא
כך מווקטור ההתמרה [math]\displaystyle{ (X_0,\ldots,X_{N-1}) }[/math] אפשר לשחזר את הווקטור המקורי [math]\displaystyle{ (x_0,\ldots,x_{N-1}) }[/math]. כאן רואים שווקטור הדגימות המקורי הוא צירוף לינארי של וקטורי הבסיס של הגלים — וזה הרעיון הכי בסיסי בפורייה: מפרקים את הפונקציה לסכום של גלים. שימו לב שנוסחת ההתמרה ההפוכה כמעט זהה לנוסחת ההתמרה עצמה: ההבדלים היחידים הם הפלוס במעריך במקום המינוס (בדיוק כמו שראינו במשפט ההתמרה ההפוכה), והגורם [math]\displaystyle{ \frac{1}{N} }[/math].
שימו לב: עשינו במהלך הקורס את אותו הדבר בגדול, שלוש פעמים:
בטורי פורייה אמרנו שהמקדמים הם המכפלות הפנימיות, והוכחנו שהצירוף הלינארי נותן את הפונקציה (משפט דיריכלה).
בהתמרת פורייה אמרנו שהמקדמים הם המכפלות הפנימיות, והוכחנו שהסכום הרציף — האינטגרל — נותן את הפונקציה (משפט ההתמרה ההפוכה).
בהתמרת פורייה הבדידה עשינו זאת שוב, כפי שבריטני הייתה אומרת.
הרעיון זהה בשלושת המקרים — מפרקים לצירוף של גלים, וסכום הגלים מחזיר את הפונקציה — אבל המתמטיקה שונה מאוד בכל אחד מהם. במקרה הבדיד זה הכי קל: זה נובע ישירות מאלגברה לינארית. ולמה בכלל צריך את הדרך חזרה? למשל בדחיסת תמונה (להלן): מפרקים את התמונה לגלים, מוחקים חלק מהגלים, ואז חייבים לחזור ממה שנשאר לתמונה כדי לראות אותה — וזו ההתמרה ההפוכה.
דחיסה והחלקה של אות
רעיון לדחיסה או להחלקה של אות. מה האות? אולי תמונה, אולי שמע — סדרה כלשהי של דגימות (בתמונה אלה הפיקסלים).
דחיסה:
נבצע התמרת פורייה לכל הקלט, באורך [math]\displaystyle{ N }[/math].
נמחק את כל התדרים החלשים: בהינתן סף מסוים [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], נאפס את כל המקדמים שעבורם [math]\displaystyle{ |X_k|<\varepsilon }[/math]. ("חלשים" — כלומר בעלי אמפליטודה קטנה, לא "תדרים נמוכים".)
נשמור רק את התדרים שלא התאפסו, בתקווה שהכמות שלהם קטנה ממש מ־[math]\displaystyle{ N }[/math].
נשחזר חזרה את האות (בהתמרה ההפוכה), אבל כמובן שלא נחזור לאות המקורי.
איך בוחרים את הסף? זו לא מתמטיקה מדויקת: אפשר סף יחסי לכל התמונה, אפשר להחליט שמתחת לרף מסוים עין אנושית ממילא לא רואה שינוי, ויש עוד הרבה החלטות אפשריות. לרוב מוחקים כך המון מקדמים, והשינוי זניח לבן אדם. זה, בין היתר, הרעיון מאחורי דחיסת JPEG (שם משתמשים בגרסה ממשית של ההתמרה הבדידה, התמרת הקוסינוס, על בלוקים של [math]\displaystyle{ 8\times 8 }[/math] פיקסלים). אפשר גם לעגל את המקדמים שנשארו (קוונטיזציה) ולשמור אותם בפחות ביטים. מי שמצלם יודע שהקובץ הגולמי שיוצא מהמצלמה יכול להיות גדול פי 10 מהתמונה הסופית: פשוט מורידים דברים שהם בעצם רעש.
החלקה: מעבר לדחיסה לעיל, שגם מחליקה, אפשר להנמיך את התדרים הגבוהים, מה שאומר פחות שינויים חדים. ויש עוד הרבה דרכים.
הנקודה היא צורת המחשבה: עוברים להתמרת פורייה, יש לנו סכום של גלים, ועכשיו אפשר לעשות דברים על הגלים.
הכל באתר fft.math-wiki.com: מעלים תמונה, מוחקים תדרים ומשחזרים. החישוב כולו רץ בדפדפן (FFT ב־JavaScript), ולכן הוא לוקח קצת זמן.
בהדגמה לקחנו תמונה של קוף בגודל [math]\displaystyle{ 1323\times 1384 }[/math] פיקסלים. כל ערוץ צבע (אדום, ירוק, כחול) מטופל בנפרד, והתמונה הופכת לווקטור אחד ע"י שרשור השורות זו אחרי זו — וקטור באורך [math]\displaystyle{ 1323\cdot 1384=1{,}831{,}032 }[/math], כמעט 2 מיליון. (זו בחירה; ניסיתי גם סדרים אחרים — באלכסונים כמו אצל קנטור, בספירלה — והתוצאות הכי יפות היו פשוט שורה אחרי שורה.) המקדמים באים בזוגות ([math]\displaystyle{ X_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ X_{N-k} }[/math], ראו בהמשך), כך שיש כאן בערך חצי מזה — כ־915 אלף — תדרים שונים.
כאשר מחקנו מכל ערוץ את 700,000 התדרים החלשים ביותר, אי אפשר לראות שינוי בעין רגילה.
כאשר מחקנו מכל ערוץ צבע תדר אחד בלבד — התדר בעל האמפליטודה הכי גבוהה — התמונה החשיכה מאוד. (וכשמחקנו אותו רק מהאדום ומהכחול, יצאה אותה תמונה בגוון ירוק.)
כלומר העוצמה הממוצעת של הערוץ. פשוט כיבינו את זה: מכל פיקסל הורדנו את הממוצע של הערוץ שלו.
הערה: למה דווקא [math]\displaystyle{ X_0 }[/math] הוא החזק ביותר? ערכי הפיקסלים אי־שליליים, ולכן מאי־שוויון המשולש, לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]
דיברנו בשיעור הקודם על הבננה והגחלילית — מי מהן צהובה יותר? ומכאן השאלה: מה זה בכלל צהוב?
ראינו בכיתה, דרך מיקרוסקופ קטן שהצמדנו למסך המחשב, שהצבע הלבן על המסך הוא מקרוב בעצם שלושה פיקסלים — ירוק, אדום וכחול — שדלוקים יחד. העין שלנו מקבלת סכום של שלושה גלים וחושבת שזה לבן. כל ילד יודע שלבן הוא סכום של צבעים. אבל! גם הצהוב על המסך היה ירוק + אדום: אין במסך מנורה צהובה, והוא מייצר את הצהוב מאדום ומירוק. מנורה צהובה "אמיתית" — שמאירה בגל אחד באורך הגל של צהוב — אפשר כמובן לייצר, והעין תראה את שני האורות באותו צבע.
כלומר העין לא עושה התמרת פורייה מדויקת והפיכה: שני גלים, ירוק ואדום, נראים לנו בדיוק כמו גל אחד צהוב, ובאופן כללי שילובים שונים של גלים יכולים להיראות לנו אותו דבר — אין כאן חד־חד־ערכיות, ואי אפשר לדעת מה היה הצבע המקורי. זאת לעומת האוזן, שהיא הרבה יותר מדויקת.
העין האנושית עובדת עם שלושה סוגי מדוכים (תאי חישה) — רגישים לאדום, לירוק ולכחול — ומתרגמת כל גל להשפעה שלו על שלושת הסוגים. כך המוח מקבל את הדגימה כבר באופן מעוות: שלושה מספרים במקום כל הספקטרום.
איך האוזן עובדת? אפשרות אחת: האוזן, כמו מיקרופון, מודדת את לחץ האוויר בכל רגע, והמוח עושה FFT. האם זה מה שקורה? לא, זה לא נשמע ככה: את הפירוק לתדרים עושה כבר האוזן עצמה, באופן מכני.
ניסוי קטן: כשנושפים לתוך בקבוק שומעים צליל. הצורה של הבקבוק קובעת את התדר (תדר התהודה של החלל — מעין "ערך עצמי" של הצורה). כשמוסיפים לבקבוק מים, החלל הפנוי משתנה ושומעים צליל אחר.
האוזן בנויה עם שבלול — צינור מלופף כמו קונכיית חילזון, מלא נוזל — בעל עובי משתנה בהדרגה לאורכו. גל הקול הופך בתוכו לגל בנוזל, ובכל אזור של השבלול תדרים אחרים פוגעים חזק או חלש יותר, בדיוק כמו שריקה בבקבוק עם כמות שונה של מים. (ליתר דיוק: לאורך השבלול עובר קרום, הקרום הבזילרי, שבכניסה לשבלול הוא צר וקשיח ומגיב לתדרים גבוהים, ובקצה הפנימי הוא רחב וגמיש ומגיב לתדרים נמוכים.) לאורך כל השבלול יש שערות חישה.
המוח מקבל את האות לפי המיקום של השערות שהרגישו הכי הרבה לחץ בשבלול; כלומר הוא מקבל כבר את התמרת הפורייה של אות הקול המקורי. הגוף עושה התמרת פורייה באופן מכני! בזה האוזן טובה בהרבה מהעין: העין מעבירה למוח עיוות, והשבלול אומר למוח "אל תעבוד קשה, אני אעשה לך את הפורייה".
הערה: למה כל זה בקורס במתמטיקה? כשאני למדתי אנליזת פורייה לימדו אותי רק את המתמטיקה, ורק בצבא גיליתי על מה כל הדיבור. איך אפשר ללמד תיאוריה מתמטית בלי להסביר למה המציאו אותה? ולהבין איך פורייה מתבטא בעולם האמיתי עוזר גם לדמיין מה קורה בתוך ה־FFT.
כאמור, הרעיון הוא להציג את האות כצירוף לינארי של גלים. אבל זה קצת מוזר (או הרבה מוזר) שאנחנו מציגים אות ממשי בעזרת גלים מרוכבים: אם חושבים על קול — איך נשמע גל מרוכב?
ראינו כבר שהגלים מחולקים זוגות זוגות. למשל עבור [math]\displaystyle{ N=5 }[/math], במקום [math]\displaystyle{ e_0,e_1,e_2,e_3,e_4 }[/math] אפשר לרשום
כיוון ש־[math]\displaystyle{ N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_p }[/math] ממשיים, הצמוד של כל מחובר בשורה הראשונה הוא המחובר המתאים בשורה השנייה, ולכן
לכן אם נסמן [math]\displaystyle{ z=\frac{\langle v,e_k\rangle}{N}e_k\in\mathbb{C}^N }[/math], המחובר השני בזוג הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math], ו־
הערה: זה נכון רק בזכות ההנחה ש־[math]\displaystyle{ x_p }[/math] ממשיים. אם מתמירים דגימות מרוכבות, כל זה לא רלוונטי; אבל אנחנו דוגמים אות ממשי ורוצים לפרק אותו לסכום של גלים ממשיים.
הסכום של הזוג הוא הגל הממשי בתדר המתאים ל־[math]\displaystyle{ k }[/math] (התדר [math]\displaystyle{ \frac{k}{N}T }[/math] של [math]\displaystyle{ u_k }[/math]) — צירוף של סינוס וקוסינוס באותו תדר. כך כל תדר לבדו נותן גל ממשי אחד: החלקים המדומים מתבטלים בתוך הזוג, ולא בעזרת תדרים אחרים. התדר הוא של [math]\displaystyle{ u_k }[/math] ולא של [math]\displaystyle{ u_{2k} }[/math]: הסכימה של שני בני הזוג משפיעה רק על האמפליטודה.
FFT - התמרת פורייה המהירה
עכשיו נדבר קצת על FFT, כלומר Fast Fourier Transform.
הדבר הראשון שצריך להבין: התוצר של DFT ושל FFT זהה. אין כאן התמרה חדשה — מדובר רק באלגוריתם יעיל לחישוב התמרת פורייה הבדידה. ולמה זה חשוב? התמרות פורייה משמשות אותנו במיליון טכנולוגיות כל הזמן, ואנחנו צריכים שהן יקרו מהר.
מה היעילות של חישוב "טיפש" של DFT? יש לנו [math]\displaystyle{ N }[/math] דגימות, ולכל אחת נחשב [math]\displaystyle{ X_k }[/math] — זה [math]\displaystyle{ N }[/math] ריצות. כמה פעולות עושים בכל ריצה?
זה [math]\displaystyle{ N }[/math] צעדים (כפול קבוע כלשהו). סה"כ עשינו [math]\displaystyle{ N^2 }[/math] פעולות (בסדר גודל).
FFT עושה סדר גודל של [math]\displaystyle{ N\log_2N }[/math] פעולות, ולכן יעיל הרבה יותר. בתמונה של 2 מיליון פיקסלים, DFT יעשה [math]\displaystyle{ \left(2\cdot 10^6\right)^2=4\cdot 10^{12} }[/math] פעולות (4 טריליון), ואילו FFT יעשה בערך
נניח שמספר הדגימות הוא חזקה של 2, [math]\displaystyle{ N=2^n }[/math]. (בתוכנות אכן בוחרים את מספר הדגימות כחזקה של 2; אפשר גם לרפד באפסים, אבל זה משנה את האות.)
כלומר [math]\displaystyle{ E }[/math] (מלשון even) היא ההתמרה של הדגימות במקומות הזוגיים, ו־[math]\displaystyle{ O }[/math] (odd) היא ההתמרה של הדגימות במקומות האי־זוגיים — שתיהן התמרות של וקטורים באורך [math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math]. ולבסוף [math]\displaystyle{ W_N }[/math] מקבל וקטור באורך [math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math] וכופל את הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] שלו ב־[math]\displaystyle{ e^{-\frac{2\pi ik}{N}} }[/math]:
הוכחה. יש כאן שתי טענות נפרדות: [math]\displaystyle{ E+W_N(O) }[/math] נותן את החצי הראשון של ההתמרה, ו־[math]\displaystyle{ E-W_N(O) }[/math] את החצי השני.
החצי הראשון. יהי [math]\displaystyle{ 0\le k\le\frac{N}{2}-1 }[/math]. הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ E }[/math] הוא הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] בהתמרה (באורך [math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math]) של [math]\displaystyle{ x_0,x_2,\ldots,x_{N-2} }[/math], והרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ W_N(O) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ e^{-\frac{2\pi ik}{N}} }[/math] כפול הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] בהתמרה של [math]\displaystyle{ x_1,x_3,\ldots,x_{N-1} }[/math]. לכן צ"ל כי
נכניס את [math]\displaystyle{ e^{-\frac{2\pi ik}{N}} }[/math] לתוך הסכום השני: [math]\displaystyle{ e^{-\frac{2\pi ik}{N}}e^{-\frac{2\pi ik(2p)}{N}}=e^{-\frac{2\pi ik(2p+1)}{N}} }[/math]. לכן צד ימין שווה ל־
(למה רק [math]\displaystyle{ k<\frac{N}{2} }[/math]? [math]\displaystyle{ E }[/math] ו־[math]\displaystyle{ O }[/math] הם וקטורים באורך [math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ E+W_N(O) }[/math] — והוא נותן בדיוק את החצי הראשון. בחצי השני הנוסחה עם הפלוס לא נכונה; מה שעובד שם הוא המינוס, כפי שנראה עכשיו.)
החצי השני. הרכיב ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] של [math]\displaystyle{ \left(X_{\frac{N}{2}},\ldots,X_{N-1}\right) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ X_{k+\frac{N}{2}} }[/math]. לכן צ"ל, לכל [math]\displaystyle{ 0\le k\le\frac{N}{2}-1 }[/math],
(הגורם [math]\displaystyle{ (-1)^j }[/math] משאיר את המחוברים במקומות הזוגיים כמו שהם, ומחליף את הסימן של אלה שבמקומות האי־זוגיים.) והמסקנה נובעת באופן דומה להוכחה לעיל: מוציאים מהסכום השני את [math]\displaystyle{ e^{-\frac{2\pi ik}{N}} }[/math] ורושמים [math]\displaystyle{ \frac{k(2p)}{N}=\frac{kp}{N/2} }[/math], ומתקבל בדיוק צד ימין. ∎
כלומר: מחשבים פעם אחת את [math]\displaystyle{ E }[/math] ואת [math]\displaystyle{ O }[/math]; הסכום [math]\displaystyle{ E+W_N(O) }[/math] נותן את החצי הראשון של ההתמרה, וההפרש [math]\displaystyle{ E-W_N(O) }[/math] את החצי השני. מבחינת הסיפור שלנו זה מוזר — דגמנו קול, ולמה שנפצל את הדגימות לזוגיות ולאי־זוגיות ונתמיר כל חלק בנפרד? התשובה: כי בסוף זה מסתדר, ויוצא הרבה יותר יעיל.
למה זה כל כך יעיל? יש כאן רקורסיה: כדי לחשב את [math]\displaystyle{ E }[/math] ואת [math]\displaystyle{ O }[/math] מפעילים שוב FFT. בריצה הראשונה נעשה את כמות הפעולות של [math]\displaystyle{ E,O }[/math], ועוד את [math]\displaystyle{ W_N }[/math] ([math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math] כפלים) ואת הסכומים וההפרשים — שזה קבוע כפול [math]\displaystyle{ N }[/math]. מה קורה בתוך [math]\displaystyle{ E,O }[/math]? כל אחד מהם קיבל [math]\displaystyle{ \frac{N}{2} }[/math] דגימות, וכל אחד מהם מפצל אותן שוב לשניים — ושוב יוצא בסה"כ אותו קבוע כפול [math]\displaystyle{ N }[/math] (שני חישובים, כל אחד [math]\displaystyle{ c\cdot\frac{N}{2} }[/math]). וכך הלאה: בכל שלב יש פי 2 יותר חישובים, כל אחד על חצי מהדגימות, ובכל שלב [math]\displaystyle{ cN }[/math] פעולות. אבל לאחר [math]\displaystyle{ \log_2N }[/math] שלבים נגיע למספר יחיד, ו־[math]\displaystyle{ \mathrm{FFT}(x_0)=x_0 }[/math] (זה תנאי העצירה של הרקורסיה). לכן סה"כ עשינו
[math]\displaystyle{ \log_2N\cdot cN }[/math]
פעולות.
הערה: אפשר לעשות גם FFT הפוך, על מנת לשחזר את האות מההתמרה — באותו הגיון בדיוק, כי בנוסחת ההתמרה ההפוכה ההבדלים היחידים הם הסימן במעריך והגורם [math]\displaystyle{ \frac{1}{N} }[/math]. זה חשוב, כי הרבה פעמים מתמירים בשני הכיוונים (למשל בדחיסה).
ראינו איך הטבע ברא בעלי חיים עם יכולת לעשות התמרת פורייה באופן מכני (האוזן). האדם גילה את אנליזת הפורייה הזו, וזה כבר טוב על מנת לחקור את מה שיש. השלב הבא הוא להשתמש בשיטה הזו בהקשרים אחרים — כמו במתמטיקה: מזהים מבנה אחד ואומרים "המבנה הזה יעזור לי גם פה". אחד הסיפורים המרכזיים שבהם זה קרה הוא תקשורת.
בני אדם רוצים להעביר מידע ממקום אחד לאחר. לצורך הפשטות (וזה פשוט בהרבה מהמציאות, שבה משדרים בעזרת "אלפבית" גדול יותר של סמלים) נניח שהם מעבירים מידע בינארי, כלומר סדרה של אחדות ואפסים.
בני אדם יודעים לדבר ולשמוע, ואפילו המציאו טלפונים שדרכם הם יכולים לדבר ולשמוע. בהתחלה חייגנו בטלפון בעזרת תקתוקים (בטלפון חוגה הספרה נקבעה לפי כמות התקתוקים), ואחר כך בצלילים — צליל שונה לכל ספרה. בתצוגת ה־FFT של הקלטת חיוג רואים שכל מקש הוא בעצם שני תדרים, ולפי מיקום התדרים יודעים בדיוק איזה מקש נלחץ. (זו שיטת DTMF: לכל שורה במקלדת יש תדר משלה ולכל עמודה תדר משלה, וכל מקש משמיע את שני התדרים שלו יחד.)
ואז — אם יש לנו יכולת להעביר לצד השני מידע לפחות בינארי, יש לנו אינטרנט (טיפה הגזמה, אבל זה הרעיון). אפשר אפילו ללחוץ בעצמי על מקשים ולשדר כך סדרה בינארית; הבעיה היחידה היא שזה לוקח הרבה זמן. אם זה ייעשה אוטומטית ולא אצטרך ללחוץ בעצמי — מה טוב. זה נקרא מודם.
כך היינו פעם מתחברים לאינטרנט: המודם משמיע צלילים בקו הטלפון. כשמסתכלים על צליל החיבור של מודם בתצוגת ה־FFT לאורך הזמן (ספקטרוגרמה) עם חלון של 2048 דגימות, החלק שבו עובר המידע נראה כמו בלגן. אבל יש שם סדר; כשמקטינים את החלון ל־256 דגימות רואים אותו בבירור:
ספקטרוגרמה של צליל מודם עם חלון FFT של 256 דגימות: בפסי השידור התדר קופץ לסירוגין בין שני ערכים קרובים, וכך מקודדים אפסים ואחדות
בכל פס, בכל רגע משודר אחד משני תדרים קרובים: אחד מהם מייצג 0 והשני 1. המודם עושה בדיוק את מה שעשה הטלפון בלחיצות על המקשים, רק הרבה יותר מהר.
למה עם חלון גדול רואים בלגן? ב־FFT יש לנו בחירה: על כמה דגימות מחשבים בכל פעם את ההתמרה (גודל החלון). אם החלון ארוך מהזמן שבו משודר ביט אחד — נניח שבזמן של חלון אחד המודם מספיק לשדר חמש ספרות בינאריות — ההתמרה רואה איחוד, מעין ממוצע, של כל הגלים שנשלחו בחלון: קצת מזה וקצת מזה. כשהחלון קצר מספיק ונופל בתוך הזמן שבו משודר ביט יחיד, ההתמרה רואה פתאום תדר נקי.
המחיר: חלון של [math]\displaystyle{ N }[/math] דגימות בקצב דגימה [math]\displaystyle{ T }[/math] נמשך [math]\displaystyle{ \frac{N}{T} }[/math] שניות, והתדרים שהוא מבחין ביניהם הם [math]\displaystyle{ 0,\frac{T}{N},\frac{2T}{N},\ldots }[/math] (כמו בהרצאה הקודמת). ככל שהחלון קצר יותר בזמן, יש פחות תדרים לשחק איתם והרזולוציה בתדר גרועה יותר — קשה יותר להפריד בין שני תדרים קרובים. ואילו עם יותר תדרים אפשר היה לשלוח יותר מידע, למשל לשכפל את השידור הזה לאורך כל טווח התדרים.
שיטות שידור: מה מחליפים כדי לעבור מאחד לאפס? בשידור שבתמונה מחליפים את התדר (אפנון תדר, FSK). אפשר גם לשחק עם הפאזה (PSK): משדרים כל הזמן באותו תדר ומחליפים את הפאזה. את שינויי הפאזה לא תשמעו באוזן, וגם בספקטרוגרמה לא תראו אותם, כי היא מציגה רק את האמפליטודות ולא את הפאזות — ואכן בהמשך צליל המודם, כשעוברים לשינויי פאזה, באמת רואים רק בלגן. ואפשר לשחק עם האמפליטודה (ASK): עוצמה גדולה היא 1 ועוצמה קטנה היא 0, ואפשר גם כמה רמות עוצמה. בהנדסה זה כל הזמן המשחק: איך ממקסמים את קצב השידור, כשהרעשים והרצון לשדר מהר מורידים את הרזולוציה ומוסיפים טעויות.
רעש: המידע שעובר הוא דיגיטלי, אבל התווך עצמו אנלוגי — ולכן יש רעשים וטעויות, ויש שיטות מתקדמות יותר לזהות טעויות ולתקן אותן. לכן גם חיבור בכבל, שחסין לרעשים הרבה יותר, אמין יותר מ־WiFi, שהקליטה שלו משתנה לפעמים באותו מקום בדיוק.
הרצאה 10 - אמפליטודה ופאזה של אות ממשי, קיפול תדרים ושזאם
▶ הקלטת ההרצאה מ־17.6.26
אמפליטודה ופאזה של אות ממשי
תזכורת: וקטור הדגימות [math]\displaystyle{ v=(x_0,\ldots,x_{N-1}) }[/math] של אות שנדגם בתדר [math]\displaystyle{ T }[/math] מתפרק לפי הבסיס האורתוגונלי [math]\displaystyle{ e_0,\ldots,e_{N-1} }[/math]:
כאשר [math]\displaystyle{ e_k }[/math] הוא וקטור הדגימות של פונקציית הגל [math]\displaystyle{ u_k(t)=e^{2\pi i\cdot k\cdot\frac{T}{N}t} }[/math], שהתדר שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{|k|}{N}T }[/math], ו־[math]\displaystyle{ e_{N-k}=e_{-k} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ X_{-k}=\langle v,e_{-k}\rangle=X_{N-k} }[/math].
הבסיס מרוכב, אבל האות שלנו ממשי. בהרצאה הקודמת ראינו שהגלים מתחלקים לזוגות [math]\displaystyle{ e_k,e_{-k} }[/math], ושאם הדגימות [math]\displaystyle{ x_p }[/math] ממשיות אז המקדמים צמודים, [math]\displaystyle{ \frac{\langle v,e_{-k}\rangle}{N}=\overline{\frac{\langle v,e_k\rangle}{N}} }[/math], ולכן הסכום
שימו לב להבדל: [math]\displaystyle{ e_k }[/math] הוא וקטור של דגימות, ואילו [math]\displaystyle{ u_k }[/math] היא הפונקציה הרציפה ה"אמיתית". ההתמרה הבדידה עובדת עם הדגימות, אבל מה שמעניין אותנו הוא מה אפשר להסיק על העולם הרציף שאותו אנחנו חוקרים. (הקשר בין עולם הדגימות לעולם האמיתי אינו מושלם – ראו קיפול תדרים בהמשך.)
טענה: יהי [math]\displaystyle{ v=(x_0,\ldots,x_{N-1}) }[/math] וקטור הדגימות של אות ממשי, ויהי [math]\displaystyle{ 0<k<\frac{N}{2} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \omega=2\pi k\frac{T}{N} }[/math]. אזי
(האומגה כוללת את כל הקבועים, [math]\displaystyle{ \omega=2\pi k\frac{T}{N} }[/math]). כיוון שהדגימות ממשיות, [math]\displaystyle{ \overline{x_p}=x_p }[/math], ולכן
נסמן שוב לצורך הנוחות [math]\displaystyle{ \frac{\langle v,e_k\rangle}{N}=a+bi }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \frac{\langle v,e_{-k}\rangle}{N}=a-bi }[/math]. בסימונים החדשים
עד כאן אפשר רק לומר שסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו הוא ממשי – פעמיים החלק הממשי שלו. לכאורה זה נשמע כאילו "נשאר רק החלק הממשי" [math]\displaystyle{ a }[/math] של המקדם, וזה לא הגיוני, כי גם החלק המדומה [math]\displaystyle{ b }[/math] חשוב. הפתרון: זה החלק הממשי של מכפלה של מרוכבים, [math]\displaystyle{ (a+bi)e^{i\omega t} }[/math], ובה משתתפים גם [math]\displaystyle{ a }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b }[/math]. הכי נוח לראות את זה בהצגה הקוטבית [math]\displaystyle{ a+bi=re^{i\theta} }[/math], שבה [math]\displaystyle{ a-bi=re^{-i\theta} }[/math]:
(השוויון האמצעי – כי לצמודים יש אותו ערך מוחלט). לכן האמפליטודה היא [math]\displaystyle{ \frac{2}{N}|X_k| }[/math], והפאזה [math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא הזווית של [math]\displaystyle{ \frac{X_k}{N} }[/math], כלומר של [math]\displaystyle{ X_k }[/math] (חלוקה במספר חיובי לא משנה את הזווית).
סה"כ, מהערך המוחלט ומהארגומנט (הזווית) של המספרים המרוכבים שהם התמרת הפורייה, מקבלים את האמפליטודה והפאזה של הגל הממשי, ומהאינדקס [math]\displaystyle{ k }[/math] את התדר שלו. בפועל לרוב מסתכלים על אמפליטודות יחסיות, ואז הקבוע [math]\displaystyle{ \frac{2}{N} }[/math] לא משנה.
הערה: כל זה נכון רק לאות ממשי (בזכות הצמידות [math]\displaystyle{ X_{-k}=\overline{X_k} }[/math]). זה המקרה ברוב השימושים, אבל זה לא משפט כללי – לאות מרוכב כל זה לא נכון.
הערה: בספקטרוגרמה, כמו בתוכנת ההקלטה שראינו, ציר ה־[math]\displaystyle{ y }[/math] הוא התדר, הצבע הוא האמפליטודה וציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא הזמן – הפאזה לא מוצגת בכלל. לכן אפנון פאזה נראה לעין כבלגן, אבל המחשב, שמחשב את ה־FFT, רואה אותו.
זוגות הגלים והגלים שנותרים לבד
בכל מקרה [math]\displaystyle{ e_0=(1,1,1,\ldots,1) }[/math] ממשי ועומד לבדו: אלה הדגימות של הפונקציה הקבועה [math]\displaystyle{ u_0\equiv 1 }[/math], והמקדם שלה [math]\displaystyle{ \frac{X_0}{N}=\frac{1}{N}\sum_{p=0}^{N-1}x_p }[/math] הוא ממוצע הדגימות.
אם [math]\displaystyle{ N }[/math] אי־זוגי, הגלים [math]\displaystyle{ k=1,\ldots,N-1 }[/math] מתחלקים זוגות זוגות כמו שתיארנו לעיל:
מה קורה כאשר [math]\displaystyle{ N }[/math] זוגי (וב־FFT, [math]\displaystyle{ N=2^n }[/math] הוא תמיד זוגי)? מי נותר לבד בלי חברים? [math]\displaystyle{ k=\frac{N}{2} }[/math].
כיוון ש־[math]\displaystyle{ \overline{e_k}=e_{-k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e_{-\frac{N}{2}}=e_{N-\frac{N}{2}}=e_{\frac{N}{2}} }[/math], הווקטור [math]\displaystyle{ e_{\frac{N}{2}} }[/math] צמוד לעצמו, ולכן הוא ממשי. המציאות אפילו טיפה יותר מעניינת מזה:
עוד וקטור ממשי. שימו לב: הגל [math]\displaystyle{ u_{\frac{N}{2}} }[/math] עצמו, כמו שהוא כתוב, אינו ממשי – הדגימות הן שהופכות אותו לממשי. התדר שלו הוא [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math], בדיוק חצי מתדר הדגימה.
הערה: בשני מקרי הקצה האלה, [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k=\frac{N}{2} }[/math], נוסחת האמפליטודה [math]\displaystyle{ \frac{2}{N}|X_k| }[/math] לא עובדת, כי היא הניחה שיש שני גלים בזוג. כאן המקדם ממשי (למשל [math]\displaystyle{ X_{\frac{N}{2}}=\sum_{p=0}^{N-1}(-1)^px_p }[/math]), והאמפליטודה היא [math]\displaystyle{ \frac{1}{N}|X_k| }[/math], בלי הפקטור 2. למשל האיבר [math]\displaystyle{ \frac{X_{N/2}}{N}e_{\frac{N}{2}} }[/math] הוא וקטור הדגימות של הגל הממשי [math]\displaystyle{ \frac{X_{N/2}}{N}\cos(\pi Tt) }[/math].
(הורדנו [math]\displaystyle{ 2\pi ik }[/math] מהמעריך – זה [math]\displaystyle{ 2\pi i }[/math] כפול שלם, ולכן זה לא משנה את הביטוי.) התחלנו משבע שמיניות וסיימנו עם (מינוס) שמינית אחת: תדר 7000 נראה בדיוק כמו תדר 1000 בקצב הדגימות הזה.
לכן המחשב פשוט לא יכול להבדיל בין השניים. זה לא עניין של קירוב – המחשב צודק במאה אחוז: אילו היה מקבל תדר 1000, אלה בדיוק הדגימות שהיה רואה. זה תפקיד של המהנדס לדאוג שלא ייכנסו תדרים מעבר למה שעקרון נייקוויסט (חצי מתדר הדגימה) מסכים לקבל, כלומר לנקות את התדרים הגבוהים לפני הדגימה; אחרת נראה "הזיות" – תדרים שלא באמת נמצאים שם.
הערה: באופן כללי, כשדוגמים בתדר [math]\displaystyle{ T }[/math], לגלים [math]\displaystyle{ e^{2\pi i\omega t} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{2\pi i(\omega-mT)t} }[/math] (לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] שלם) יש בדיוק אותן דגימות, כי בנקודות [math]\displaystyle{ t=\frac{k}{T} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e^{-2\pi imT\cdot\frac{k}{T}}=e^{-2\pi imk}=1 }[/math]. לכן תדר שמחוץ לטווח מתחזה לתדר [math]\displaystyle{ \omega-mT }[/math] שנמצא בטווח [math]\displaystyle{ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right] }[/math]. בדוגמה: [math]\displaystyle{ 7-8=-1 }[/math].
בגרף הבא רואים זאת בעין: הנקודות הן הדגימות בקצב של 8 פעמים בשנייה, ושני הגלים – בתדר 1 ובתדר 7 – עוברים בדיוק באותן הנקודות:
הגלים sin(2π·7t) בסגול ו־sin(−2πt) באדום, החלקים המדומים של f ו־g, עוברים באותן נקודות הדגימה t=k/8
ההדגמה בגאוגברה, שלב אחר שלב. אלה הדגימות, בקצב של 8 פעמים בשנייה. כמה מחזורים נעשים כאן?
הדגימות של הגל בקצב של 8 פעמים בשנייה בקטע מ־0 עד 1
ממבט פשוט זה נראה כאילו היה גל בתדר 1, שעושה מחזור כל שנייה – ואכן גל כזה עובר בכל הנקודות:
גל בתדר 1 (באדום) עובר בכל הדגימות
אבל גם פונקציה בתדר 7, כלומר שעושה 7 מחזורים בשנייה, עוברת באותן הנקודות בדיוק:
גל בתדר 7 (בסגול) עובר באותן הדגימות בדיוק
את החשבון לכך ראינו לעיל, וכאן רואים את זה בעין. המחשב רק דוגם, ולכן הוא רואה בדיוק את אותו הדבר בשני המקרים, ואין לו שום יכולת להפריד בין השניים.
ה־FFT לא אומר "אני רואה את [math]\displaystyle{ u_k }[/math]"; הוא אומר "אני רואה את [math]\displaystyle{ e_k }[/math]" – וזה וקטור הדגימות של כמה פונקציות שונות. בדוגמה שלנו (8 דגימות בשנייה אחת, כלומר [math]\displaystyle{ T=N=8 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ u_k(t)=e^{2\pi ikt} }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ e_7=e_{-1} }[/math], וההחלטה ש־[math]\displaystyle{ e_{-1} }[/math] מייצג את [math]\displaystyle{ u_{-1} }[/math] ולא את [math]\displaystyle{ u_7 }[/math] היא החלטה שלנו, כי הדגימות של שני הגלים הללו בקצב זה זהות.
כך, כאשר הקלטנו תדר 7000 בקצב דגימה של 8000, המחשב החליט שהוא שמע תדר 1000, וכאשר השמענו את ההקלטה הוא יצר תדר 1000. המחשב לא באמת "מקליט" את מה שאנחנו שומעים: הוא דוגם, ומייצר מחדש את מה שהדגימות הביאו אותו להחליט. לכן קרה הדבר המוזר הזה – הקלטנו דבר אחד ושמענו דבר אחר לחלוטין.
עכשיו שזאם! נתחיל מלהסתכל על שיר. זו הספקטרוגרמה של קטע מהשיר "היי אהובה" של אנה זק (ציר הזמן אופקי, התדר אנכי, והצבע הוא האמפליטודה):
ספקטרוגרמה של קטע מהשיר היי אהובה של אנה זק
השאלה היא איך מחשב יודע לזהות שקטע קטן ואקראי הוא מתוך "היי אהובה". ועוד: כאן שרתי "לה לה לה" במקביל לאנה זק. הקול שלי נמוך יותר, ולכן רואים אותי בתדרים הנמוכים ואותה בתדרים הגבוהים:
קטע מאותו שיר כשארז שר לה לה לה במקביל: הקול שלו מוסיף פסים בתדרים הנמוכים
האם אפשר לזהות שיר לא רק כשהוא מופיע לבד, אלא גם כשיש עוד רעשים ואפילו שירים אחרים ברקע?
ואפילו אם כן, איך עושים את זה בזמן סביר? שזאם מכיר מיליוני שירים, ואין לו זמן לרוץ עליהם אחד אחד.
ואפילו בהינתן שיר חשוד, הבעיה השנייה היא הזמן המדויק בתוך השיר: לכאורה צריך לנסות כל נקודת התחלה אפשרית.
עוד דבר מעניין: המאמר נכתב לפני שלכל אחד היה סמארטפון עם אפליקציות. אז איך שזאם היה אמור לעבוד? נניח שאני בפאב, ברמקולים דופק אריק איינשטיין, ואני רוצה לזהות את השיר: מתקשרים לשזאם ומשמיעים להם את המוזיקה בטלפון. וטלפונים עושים עוד הרבה נזק לשמע – חותכים תדרים ודוחסים לפי תכונות הקול של בני אדם. כלומר, בלי קשר לרעש, המידע שהגיע לשזאם היה מעוות מאוד, והאלגוריתם המקורי עמד גם בזה.
הרעיון בקצרה: מחשבים ספקטרוגרמה (FFT – זה החלק של הקורס), בוחרים ממנה רק נקודות בודדות עם אנרגיה גבוהה ("קונסטלציה" של כוכבים), ומכל זוג כוכבים קרובים יוצרים שלישייה (תדר ראשון, תדר שני, מרחק בזמן), שאותה מחפשים בטבלת גיבוב של כל השירים בזמן [math]\displaystyle{ O(1) }[/math].
משמאל למעלה (Fig. 1A, ספקטרוגרמה): ה־FFT לאורך השיר, כמו שהראיתי לכם בתוכנה (המקבילה של התמונות של אנה זק לעיל). זה הקישור המרכזי לקורס – הקורס הוא עד לכאן; מכאן והלאה זה הרעיון של המאמר.
משמאל למטה (Fig. 1B, מפת קונסטלציה): בוחרים נקודות (זמן, תדר) עם אנרגיה גבוהה באזור – סכום האמפליטודה, או האמפליטודה בריבוע (העוצמה), בסביבה של הנקודה – שעוברת סף מסוים. לזה המאמר קורא קונסטלציה, כי זה מזכיר קונסטלציות של כוכבים. אם אני ואנה זק שרים במקביל, רואים איחוד של שתי קונסטלציות. וכמובן, בשזאם מכינים מראש את הקונסטלציות של כל השירים שהם מכירים. בינתיים הפכנו את הבעיה מרציפה לבדידה.
גיבוב של הקונסטלציה כולה עוד לא פותר את הבעיה: מקבלים כמה קונסטלציות ביחד, לא מופרדות, מעוותות ועם רעשים.
מימין למעלה (Fig. 1C): מכל נקודה ("נקודת עוגן", anchor point) מביטים בקשר לנקודות בסביבה מסוימת שלה ("אזור המטרה", target zone). בין כל זוג – הנקודה המרכזית ואחת הנקודות באזור המטרה – יש מרחק בזמן ומרחק בתדר.
מימין למטה (Fig. 1D): שומרים טבלת גיבוב (hash) של כל השלישיות שראינו בשירים – (תדר ראשון, תדר שני, מרחק בזמן) – יחד עם השיר והזמן שבו הן הופיעו. בסיבוכיות [math]\displaystyle{ O(1) }[/math] (בתוחלת) רואים באילו שירים השלישייה שמדדנו נמצאת.
מה יקרה אם אחד הכוכבים שייך לאנה זק והכוכב השני הוא אני? השלישייה לא תופיע בטבלה של כל השירים (עד כדי התנגשויות נדירות), ונחפש זוג אחר. ברגע שנמצא שלישייה המופיעה בטבלה, ניקח את כל הקונסטלציה של השיר המתאים ונבדוק עד כמה היא נמצאת בהקלטה – ואז לא אכפת לנו אם נמצאות מסביב גם עוד מאות קונסטלציות אחרות. הזמן ששמור בטבלה פותר גם את הבעיה השנייה: בשיר הנכון, ההפרש בין הזמן בשיר לבין הזמן בהקלטה זהה לכל השלישיות המתאימות, וזה בדיוק המקום בשיר שממנו לקוח הקטע.
ברמה העקרונית האלגוריתם עובד גם כששומעים כמה שירים ביחד. ככל שיש יותר שירים, יש יותר כוכבים באזור המטרה והסיכוי לקחת זוג כוכבים מאותו שיר קטן, ולכן צריך לעבוד קשה יותר; ורעש חזק מאוד יכול למחוק כוכבים. אבל שני שירים הוא יזהה בלי שום בעיה, וכנראה גם חמישה.
הכל התחיל ב־FFT: הוא הפך את הבעיה לבדידה, ועל בדיד אפשר לעשות גיבוב.
שאלות בסגנון המבחן על התמרת פורייה הבדידה: איזה תדר נראה ב־FFT, מה האמפליטודות שנראה ולאילו גלים הן שייכות. כשמדברים על התדרים שנראה, הכוונה לתדרים עד חצי מתדר הדגימה, כלומר לגלים [math]\displaystyle{ u_0,u_{\pm1},u_{\pm2},\ldots }[/math].
דוגמה: נניח שיש לנו גל [math]\displaystyle{ f(t)=\cos(2\pi\omega t) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \omega>0 }[/math], ואנחנו דוגמים את הגל בתדר [math]\displaystyle{ \frac{3}{4}\omega }[/math]. איזה תדר נראה מופיע ב־FFT?
אנחנו מחפשים גל [math]\displaystyle{ g(t)=\cos(2\pi\tau t) }[/math] בתדר [math]\displaystyle{ \tau<\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\omega }[/math] שדגימותיו זהות לאלה של הגל שלנו, כלומר [math]\displaystyle{ f(t_k)=g(t_k) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]. מצד אחד
כי [math]\displaystyle{ 2\pi\cdot\frac{4}{3}k=2\pi\left(1+\frac{1}{3}\right)k=2\pi k+2\pi\cdot\frac{1}{3}k }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 2\pi k }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] כפול שלם.
מצד שני [math]\displaystyle{ g(t_k)=\cos\left(2\pi\tau\cdot\frac{k}{\frac{3}{4}\omega}\right) }[/math], ולכן מספיק לדרוש
לסיכום: אם תדר הדגימה הוא [math]\displaystyle{ \frac{3}{4}\omega }[/math], גל בתדר [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ייראה ב־FFT כמו גל בתדר [math]\displaystyle{ \frac{1}{4}\omega }[/math] (בהתאם לכלל הכללי מסעיף קיפול התדרים: [math]\displaystyle{ \omega-\frac{3}{4}\omega=\frac{1}{4}\omega }[/math]).
שאלה מאותו סוג: יש לנו גל בתדר 6000 ואנחנו דוגמים בתדר 5000 – איזה תדר התוכנה תגיד שהיא רואה? (תשובה: 1000, כי [math]\displaystyle{ 6000-5000=1000<2500 }[/math].)
דוגמה: דגמנו אות מסוים בקצב מסוים, וחישבנו FFT. מה האמפליטודות שנראה פרט לאפס, ולאילו גלים הן שייכות? כאן אפשר שהאות יהיה בטווח התדרים הנכון, אבל לא אחד הגלים שמהווים את הבסיס. נניח שתדר הדגימה הוא [math]\displaystyle{ T=7 }[/math], שלוקחים [math]\displaystyle{ N=5 }[/math] דגימות (כלומר מקליטים במשך [math]\displaystyle{ \frac{5}{7} }[/math] שנייה), ושהאות שלנו הוא
שימו לב: הטווח של האינדקסים [math]\displaystyle{ k }[/math] נקבע לפי כמות הדגימות[math]\displaystyle{ N }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ |k|\le\frac{N-1}{2}=2 }[/math]), ולא לפי תדר הדגימה; תדר הדגימה רק מתרגם את האינדקס [math]\displaystyle{ k }[/math] לתדר האמיתי [math]\displaystyle{ \frac{|k|}{N}T }[/math]. לכן התדר הגבוה ביותר הוא [math]\displaystyle{ \frac{N-1}{2}\cdot\frac{T}{N}=2\cdot\frac{7}{5}=\frac{14}{5} }[/math], שאכן קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{T}{2}=\frac{7}{2} }[/math], בהתאם לשנון. (עם 5 דגימות אין בבסיס את [math]\displaystyle{ u_{\pm3} }[/math]; התדר שלו, [math]\displaystyle{ \frac{21}{5} }[/math], היה עובר את [math]\displaystyle{ \frac{7}{2} }[/math].)
כעת [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] לא נופל בדיוק על אף אחת מהמשבצות [math]\displaystyle{ 0,\frac{7}{5},\frac{14}{5} }[/math], וכאשר נעשה את החישוב נוכל לראות בדיוק מה האמפליטודה ומה הפאזה של כל אחד משלושת התדרים. הדגימות הן [math]\displaystyle{ x_p=f\left(\frac{p}{7}\right)=\sin\frac{3\pi p}{14} }[/math]:
הגל בתדר [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] לא מופיע כגל אחד באמפליטודה 1: הוא מתפזר בין כל שלושת התדרים של הבסיס, ובעיקר בין הקבוע לבין התדר [math]\displaystyle{ \frac{7}{5} }[/math]. זה לא מפתיע – בזמן ההקלטה, [math]\displaystyle{ \frac{5}{7} }[/math] שנייה, הוא מספיק לעשות רק כחצי מחזור ([math]\displaystyle{ \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{28} }[/math]).
הרצאה 11 - תדרים בהתמרה הבדידה, חלון FFT ושיעור חזרה
▶ הקלטת ההרצאה מ־24.6.26
זהו שיעור חזרה. בחלק הראשון נעשה סדר בקשר בין התמרת פורייה הבדידה לבין התדרים בעולם האמיתי, ונראה בתוכנת הקלטה מה זה חלון ה־FFT. בחלק השני נפתור שאלות ממבחנים קודמים.
פונקציות הגל של ההתמרה הבדידה
בהינתן [math]\displaystyle{ N }[/math] ערכים [math]\displaystyle{ x_0,\ldots,x_{N-1} }[/math] יש לנו נוסחה להתמרת פורייה הבדידה, שנותנת ערכים [math]\displaystyle{ X_0,\ldots,X_{N-1} }[/math]:
כאשר [math]\displaystyle{ v=(x_0,\ldots,x_{N-1}) }[/math]. עד כאן זה החלק הקל: סתם נוסחה שמעבירה סדרה אחת של מספרים מרוכבים לסדרה אחרת. החלק המורכב, אבל גם המעניין, הוא הקשר בין זה לבין העולם האמיתי.
לנו יש אות אמיתי [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] שאנחנו דוגמים בתדר [math]\displaystyle{ T }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T }[/math] פעמים בקטע מאורך אחד. מתחילים מאפס ודוגמים
התדר של [math]\displaystyle{ u_n }[/math] הוא הערך המוחלט של המקדם של המשתנה (בלי ה־[math]\displaystyle{ i }[/math]), חלקי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]:
לכל [math]\displaystyle{ k=0,1,\ldots,N-1 }[/math]. אותה מוסכמה גם לאינדקסים שליליים: למשל [math]\displaystyle{ e_{-1} }[/math] הוא וקטור הדגימות של [math]\displaystyle{ u_{-1} }[/math].
אחת השאלות שהעליתי ממזמן ולא סגרתי היא השאלה הבאה, ועכשיו אסגור אותה.
הוכחנו ש־[math]\displaystyle{ e_0,\ldots,e_{N-1} }[/math] מהווים בסיס למרחב הדגימות האפשריות, כאשר [math]\displaystyle{ e_k }[/math] הוא וקטור הדגימות של פונקציית הגל [math]\displaystyle{ u_k }[/math]. אם מציגים את וקטור הדגימות כצירוף לינארי של הווקטורים הללו, זה כאילו אנחנו מציגים את [math]\displaystyle{ f }[/math] כצירוף לינארי של הגלים בתדרים
כלומר סורקים תדרים מאפס עד כמעט [math]\displaystyle{ T }[/math], בקפיצות של [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math]. אבל:
זה סותר את העיקרון של שנון, לפיו בדגימה בקצב [math]\displaystyle{ T }[/math] מגיעים רק עד חצי מתדר הדגימה. זו לא בעיה בפני עצמה.
זה לא יכול לתאר כל גל מכל פאזה, וזו בעיה אמיתית: כל תדר צריך שני נציגים, [math]\displaystyle{ e^{i\omega t} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{-i\omega t} }[/math] (או סינוס וקוסינוס), וכאן כל תדר מקבל רק אחד.
איך פתרנו אותה? הוכחנו ש־
[math]\displaystyle{ e_{N-n}=e_{-n} }[/math]
כי [math]\displaystyle{ e^{2\pi i\frac{(N-n)k}{N}}=e^{2\pi ik}e^{-\frac{2\pi ink}{N}}=e^{-\frac{2\pi ink}{N}} }[/math]. למשל אם [math]\displaystyle{ N }[/math] אי זוגי, אפשר לראות את אותו הבסיס [math]\displaystyle{ e_0,e_1,\ldots,e_{N-1} }[/math] באופן הבא:
נותר להבין מי התדרים בעולם האמיתי שמתאימים לווקטורים הללו.
הערה: תדר הדגימה קריטי (מן הסתם) להבנת התדרים האמיתיים בעולם, אבל הוא מצטמצם ולא מופיע ב־[math]\displaystyle{ e_k }[/math]: הוא מופיע גם בפונקציית הגל וגם בזמני הדגימה [math]\displaystyle{ \frac{k}{T} }[/math], ומצטמצם. לכן מהדגימות לבדן, בלי לדעת באיזה קצב דגמו, אי אפשר לשחזר את התדרים האמיתיים. המחשב כמובן יודע היטב באיזה קצב הוא דגם; הבלבול שראינו בשיעור הקודם (גל בתדר 7000 שנדגם בקצב 8000 נשמע כמו גל בתדר 1000) נובע מכך ששני גלים שונים נותנים בדיוק אותן דגימות.
מי התדר של פונקציית הגל ש־[math]\displaystyle{ e_k }[/math] דגם? התדר של [math]\displaystyle{ u_k }[/math] הוא
אלה כפולות של [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math] עד חצי מכמות הדגימות, והתדר הגבוה ביותר קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math], בדיוק כמו שאומר שנון.
שימו לב: לכל תדר יש שני נציגים גלים, [math]\displaystyle{ u_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ u_{-k} }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ e^{i\omega t} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{-i\omega t} }[/math]). כך מקבלים גם את הסינוס וגם את הקוסינוס, ולכן גל ממשי מכל פאזה: כפי שראינו בשיעור הקודם, האמפליטודה של הגל הממשי היא [math]\displaystyle{ \frac{2}{N}|X_k| }[/math] והפאזה שלו היא הזווית של [math]\displaystyle{ X_k }[/math].
כיוון ש־[math]\displaystyle{ e_{-n}=e_{N-n} }[/math], זה בדיוק [math]\displaystyle{ X_{N-n} }[/math].
הערה: אם [math]\displaystyle{ N }[/math] זוגי, אפשר לכתוב את הבסיס כ־[math]\displaystyle{ e_{-\frac{N}{2}+1},\ldots,e_{-1},e_0,e_1,\ldots,e_{\frac{N}{2}} }[/math]. כאן [math]\displaystyle{ e_{\frac{N}{2}}=e_{-\frac{N}{2}} }[/math], ולתדר [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math] יש נציג אחד בלבד. בכל מקרה הקטע [math]\displaystyle{ \left[0,\frac{T}{2}\right] }[/math] מחולק בקפיצות של [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math]. לתדר [math]\displaystyle{ \frac{T}{2} }[/math], חצי מתדר הדגימה, קוראים תדר נייקוויסט.
מקור: את משפט הדגימה ניסח והוכיח שנון במאמר Communication in the presence of noise (1949): אות שאין בו תדרים מעל [math]\displaystyle{ W }[/math] נקבע לגמרי מדגימות בקצב [math]\displaystyle{ 2W }[/math].
דוגמה מתוכנת הקלטת הקול Adobe Audition. כשפותחים הקלטה חדשה, התוכנה שואלת קודם כל מה תדר הדגימה (Sample Rate):
פתיחת הקלטה חדשה ב־Adobe Audition: קצב דגימה של 8000 הרץ
כאן אני מבקש מהמחשב לדגום בקצב של 8000 פעמים בשנייה, כלומר [math]\displaystyle{ T=8000 }[/math]. אם כך, מהו הפרמטר הבא, בהגדרות תצוגת התדרים?
ההגדרה Spectral Resolution בתצוגת התדרים של התוכנה, על הערך 64
נניח שהקלטתי במשך חצי שנייה. כמה דגימות יש לנו? [math]\displaystyle{ 4000 }[/math]. האם במקרה זה אנחנו עושים FFT ל־[math]\displaystyle{ x_0,\ldots,x_{3999} }[/math]? לא. לא לוקחים את כל ההקלטה ואומרים "הנה הגלים שהיו בכל האודיו".
ה־64 הוא החלון של ה־FFT: מחלקים את 4000 הדגימות שנלקחו בחצי השנייה לקבוצות רצופות של 64 דגימות, לכל קבוצה עושים FFT, ומציגים את הווקטורים המותמרים אחד אחרי השני (בתצוגה הזו ציר הזמן אופקי, התדר אנכי, והצבע מראה את גודל האמפליטודה). זו אחת הסיבות שהאלגוריתם צריך להיות יעיל: עושים המון המון FFT־ים.
אם נקטין את חלון ה־FFT נשפר את הרזולוציה בזמן, כי חלון של 64 דגימות מכסה רק [math]\displaystyle{ \frac{64}{8000}=\frac{1}{125} }[/math] שנייה.
אבל אנחנו פוגעים ברזולוציה של התדר. הטווח תמיד [math]\displaystyle{ \left[0,\frac{T}{2}\right]=[0,4000] }[/math] (שנון), וכמות הדגימות בחלון קובעת לכמה חלקים מחלקים אותו: ב־64 דגימות חילקתי את פרוסת התדר [math]\displaystyle{ \left[0,\frac{T}{2}\right] }[/math] ל־32 חלקים, בקפיצות של [math]\displaystyle{ \frac{T}{N}=\frac{8000}{64}=125 }[/math] הרץ.
זה בא עם מחיר: חלון קטן נותן זמן מדויק ותדרים מרוחים, וחלון גדול נותן תדרים מדויקים וזמן מרוח.
מודם מעביר מידע בינארי בעזרת צלילים: הוא משדר תדר אחד, עוצר ומחליף לתדר אחר, וכך הלאה. ככל שמחליפים מהר יותר מעבירים יותר מידע, אבל כדי לפענח צריך חלון FFT קצר מספיק כדי לראות את ההחלפות, וארוך מספיק כדי להבדיל בין התדרים. הנה אותה הקלטה של מודם בשלושה חלונות.
זה המודם בחלון של 2048 דגימות:
ספקטרוגרמה של מודם בחלון FFT של 2048 דגימות: פסי התדר חדים, אבל ההחלפות בזמן לא נראות
התמונה נראית חלקה והתדרים מדויקים, אבל לא רואים את המידע בכלל: בזמן של ביט אחד נכנסות בערך 256 דגימות, וחלון של 2048 דגימות "ממצע" כמה ביטים יחד.
זה המודם בחלון של 256 דגימות:
אותה הקלטה של המודם בחלון של 256 דגימות: רואים את הקפיצות בין התדרים, והתדרים עדיין מובחנים
כאן החלון מספיק קטן שנראה את השינויים בתדר, והתדרים עדיין מספיק מובחנים. (את 256 מצאתי בניסוי וטעייה.)
זה המודם בחלון של 64 דגימות:
אותה הקלטה של המודם בחלון של 64 דגימות: שני התדרים מתמזגים לפס אחד רחב
כאן כבר שני התדרים לא הופרדו כי הם קרובים מדי: פרוסת התדרים מחולקת לחלקים רחבים, ושני התדרים נכנסים (פחות או יותר) לאותו חלק.
במוזיקה המצב הפוך. בהקלטה של כינור כל היופי הוא בטווח התדרים, והזמן פחות מעניין (אותו צליל נמשך זמן רב), ולכן עדיף חלון ענק, למשל 16,384 דגימות. אז רואים יפה את התדר הבסיסי ואת ההרמוניות שלו, ממש את טור הפורייה שראינו במשוואת הגלים. מה שמבדיל בין כלי נגינה שונים הוא הצירוף של ההרמוניות, כמו שראינו עם הגיטרה.
בסרטון שהראיתי רואים אותי לוחץ על התו דו בפסנתר שוב ושוב, ושומעים את הסימפוניה התשיעית של בטהובן. כל מה שעשיתי היה להעתיק את הסרטון ולשנות את מהירות הריצה שלו. זה לבדו שינה את התדר, ודאגתי שהשינוי יהיה בקצב המדויק של התווים של המנגינה.
למה? לשנות את קצב הסרטון זה לדחוס או למתוח את הפונקציה בזמן. אם מנגנים פי [math]\displaystyle{ c }[/math] מהר יותר, שומעים [math]\displaystyle{ g(t)=f(ct) }[/math], וכל גל [math]\displaystyle{ e^{2\pi i\omega t} }[/math] ב־[math]\displaystyle{ f }[/math] הופך ל־[math]\displaystyle{ e^{2\pi i(c\omega)t} }[/math]: כל התדרים מוכפלים ב־[math]\displaystyle{ c }[/math]. למשל בהאצה פי 2 כל הצלילים עולים באוקטבה. FFT מאפשר לתקן את זה: להנמיך את כל התדרים פי 2 ואז לנגן מהר, וכך שומעים בקצב מהיר אבל בתדרים הנכונים. זה הרעיון מאחורי נגני וידאו שמאיצים סרטון בלי לשנות את גובה הצליל.
דוגמה: (מסוף השיעור הקודם) דגמנו בתדר [math]\displaystyle{ 7 }[/math] ואספנו [math]\displaystyle{ 5 }[/math] דגימות. כמה זמן הקלטנו, ומה התדרים השונים שאנחנו יודעים להפריד?
פתרון. תדר 7 פירושו 7 דגימות בשנייה. לקחנו רק 5, כלומר הקלטנו במשך [math]\displaystyle{ \frac{5}{7} }[/math] שנייה. לא משנה אם עצרנו כי זה כל מה שדגמנו או כי זה החלון של ה־FFT: אלה הדגימות שעליהן מסתכלים ומפרקים לתדרים.
כאן [math]\displaystyle{ T=7 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ N=5 }[/math], הבסיס הוא [math]\displaystyle{ e_{-2},e_{-1},e_0,e_1,e_2 }[/math], והתדרים הם [math]\displaystyle{ \frac{|k|T}{N} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,2 }[/math]:
וזה אכן קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac{T}{2}=\frac{7}{2} }[/math].
כמות הדגימות [math]\displaystyle{ N }[/math] קובעת לכמה חלקים מחלקים את טווח התדרים, ותדר הדגימה [math]\displaystyle{ T }[/math] קובע את הטווח [math]\displaystyle{ \left[0,\frac{T}{2}\right] }[/math]. היחס [math]\displaystyle{ \frac{T}{N} }[/math] הוא התיקון שמעביר מהאינדקס של המקדם לתדר האמיתי. את כל זה אפשר לשחזר מהנוסחאון (הגלים [math]\displaystyle{ u_n }[/math], הדגימות [math]\displaystyle{ e_n }[/math] והנוסחה לתדר של גל). הדבר המרכזי הוא להבין את הסיפור הגדול: מה זה החלון של ה־FFT, ומה הקשר בין תדר הדגימה לכמות הדגימות.
ב. [math]\displaystyle{ g }[/math] אי זוגית, ולכן [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos(x)\sin(nx)dx }[/math]. לפי התזכורת (עם [math]\displaystyle{ a=nx }[/math], [math]\displaystyle{ b=x }[/math]):
נתחיל דווקא משאלה 2, אבל נסתמך על שאלה 1. איך הופכים טור פורייה לטור מספרי? יש שני כלים: מציבים נקודה בטור (משפט דיריכלה), או משתמשים בשוויון פרסבל, שמתאים כשיש ריבועים.
הערה: זכרו: יש הבדל בין להציב בפונקציה לבין להציב בטור, זה בדיוק משפט דיריכלה.
פתרון. כדי "להעלים" את הקוסינוס מטור הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x\sin(x) }[/math] מסעיף א' של שאלה 1, נציב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], כי [math]\displaystyle{ \cos(n\cdot0)=1 }[/math].
ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ f }[/math] רציף (כי באזור אפס הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math]) והנגזרת רציפה, ולכן לפי משפט דיריכלה הערך של הטור שווה לערך של הפונקציה, כלומר
פתרון. כאן רוצים שהסימן [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1} }[/math] ייעלם, ולכן נציב [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math], כי [math]\displaystyle{ \cos(n\pi)=(-1)^n }[/math].
צריך לשים לב: [math]\displaystyle{ \pi }[/math] הוא קצה הקטע, ומצד אחד שלו נמצאת [math]\displaystyle{ f }[/math] ומהצד השני ההמשך המחזורי שלה, כלומר הערכים ליד [math]\displaystyle{ -\pi }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math], ההמשך המחזורי של הפונקציה רציף גם ב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math]. לנגזרת יש שם גבולות חד צדדיים סופיים: [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] משמאל ו־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] מימין. הם שונים, כלומר ההמשך המחזורי לא גזיר ב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math], אבל זה לא מפריע: הנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, ולכן שוב משפט דיריכלה עובד.
אפשר לבדוק בכלים של חדו"א 1: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right) }[/math], וזה טור טלסקופי שסכומו [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ a_0=2 }[/math] (המקדם החופשי הוא [math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2} }[/math]), [math]\displaystyle{ a_1=-\frac{1}{2} }[/math] (למקדם של [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] יש נוסחה שונה משל כל האחרים, ולכן כתבו אותו בנפרד), ולכל [math]\displaystyle{ n\geq2 }[/math]
בחלק השני נעשה אינטגרציה בחלקים פעמיים. בפעם הראשונה עם [math]\displaystyle{ u=x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ v'=\cos(2x) }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ u'=2x }[/math], [math]\displaystyle{ v=\frac{1}{2}\sin(2x) }[/math]):
כי הסינוס מתאפס בשני הקצוות. בפעם השנייה עם [math]\displaystyle{ u=x }[/math], [math]\displaystyle{ v'=\sin(2x) }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ u'=1 }[/math], [math]\displaystyle{ v=-\frac{1}{2}\cos(2x) }[/math]):
הערה: דרך נוספת היא משפט פרסבל על [math]\displaystyle{ g(x)=x\cos(x) }[/math] מסעיף ב' של שאלה 1. לפי הטור שמצאנו שם, אגף ימין הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{4}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{4n^2}{(n^2-1)^2} }[/math]. באגף שמאל, עם [math]\displaystyle{ \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} }[/math] ואותם אינטגרלים כמו קודם:
זו בדיוק ההתמרה הנתונה כפול [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math], רק שבמקום [math]\displaystyle{ s }[/math] יש [math]\displaystyle{ \sqrt{2}s }[/math]:
זהירות עם הקבועים: בנתון, [math]\displaystyle{ \frac{e^{-\frac{s^2}{4}}}{2\sqrt{\pi}} }[/math] הוא הערך של ההתמרה כולה, כולל ה־[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math], ולא רק של האינטגרל (בכיתה שכחתי את זה בהתחלה). גם בספרים ובתוכנות שונות מגדירים את ההתמרה עם קבועים אחרים, למשל בלי [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math], ואז התשובה נראית אחרת. אצלנו ההגדרה היא זו שבנוסחאון.
הערה (בדיקה בעזרת ההתמרה ההפוכה): לפי משפט ההתמרה ההפוכה, אם נפעיל את ההתמרה ההפוכה על התוצאה של סעיף א', צריך לחזור ל־[math]\displaystyle{ e^{-\frac{x^2}{2}} }[/math]. נבדוק זאת בחישוב ישיר.
פתרון. ההתמרה נותנת לנו אמפליטודות, וההתמרה ההפוכה כופלת כל אמפליטודה בגל המתאים [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] וסוכמת על כל התדרים. כאן האינטגרל מתכנס בהחלט, ולכן הגבול שבמשפט ההתמרה ההפוכה הוא פשוט האינטגרל הלא אמיתי:
כדי לטפל במינוס נציב [math]\displaystyle{ t=-s }[/math], [math]\displaystyle{ dt=-ds }[/math]. הגבולות מתהפכים, והמינוס של [math]\displaystyle{ dt }[/math] מבטל את ההיפוך:
כצפוי: הפונקציה רציפה, גזירה ואינטגרבילית בהחלט על [math]\displaystyle{ (-\infty,\infty) }[/math], ולכן לפי משפט ההתמרה ההפוכה, ההתמרה ההפוכה של ההתמרה מחזירה אותה.
פתרון. אגף שמאל הוא קונבולוציה, [math]\displaystyle{ (f*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(x-t)dt }[/math], ובאגף ימין יש בדיוק את הפונקציה מסעיף א'. מחפשים פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] עבורה
נעשה התמרה לשני הצדדים. נסמן [math]\displaystyle{ F=\mathcal{F}(f) }[/math]. לפי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f*g)=2\pi\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g) }[/math] (לא לטעות בקבוע!) ולפי סעיף א':
הערה: כשהוצאנו שורש בחרנו בפלוס. גם [math]\displaystyle{ -f }[/math] מקיימת את המשוואה, כי בקונבולוציה שלה עם עצמה המינוסים מצטמצמים. בשאלה ביקשו למצוא פונקציה מקיימת, ומצאנו.
הרצאה 12 - שיעור חזרה: שאלות ממבחנים בטורי פורייה ובהתמרה
▶ הקלטת ההרצאה מ־1.7.26
בשיעור החזרה האחרון פתרנו את שאלות 1–4 ממבחן מועד א' של שנה קודמת, ועוד שאלה ממבחן נוסף. במבחנים של שנים קודמות מרחב הפונקציות נקרא [math]\displaystyle{ E }[/math] (השנה [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math]), ואת התמרת הפורייה סימנו [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s) }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s) }[/math]. הסוגריים המרובעים או העגולים חסרי משמעות, זה אותו דבר בדיוק.
עצה: גם בזמן הלמידה וגם כשאתם פותרים שאלות ממבחנים, עבדו יחד עם הנוסחאון שיופיע לכם במבחן. הכירו אותו וראו מה יש בו: המקדמים של טור הסינוסים, משפט דיריכלה, שיוויון פרסבל, משפט ההתמרה ההפוכה, ההתמרה של קונבולוציה. מה שלא רשום בו צריך לדעת, למשל שטור הסינוסים הוא טור הפורייה של ההמשך האי זוגי.
טור הסינוסים של פונקציה קבועה וחישוב טורים
שאלה 1:
א. מצאו את טור הסינוסים של [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\pi}{2} }[/math].
תזכורת: טור הסינוסים של פונקציה הוא טור הפורייה של ההמשך האי זוגי שלה [math]\displaystyle{ f^{-} }[/math]. המקדמים שלו רשומים בנוסחאון, אבל כדי לדעת לאן הטור מתכנס צריך לזכור שהוא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f^{-} }[/math], ולכן לפי משפט דיריכלה הוא מתכנס להמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f^{-}} }[/math] בנקודות הרציפות שלו, ובנקודות הקפיצה לממוצע של הגבולות החד צדדיים.
(החלוקה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] בסדר, כי בטור הסינוסים [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math].) לכן טור הסינוסים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא
בגרף הבא, מ־GeoGebra, רואים את הסכום החלקי עד [math]\displaystyle{ n=100 }[/math] ואת הישר [math]\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2} }[/math]:
הסכום החלקי עד n=100 של טור הסינוסים של f=π/2: גל ריבועי בגובה π/2 ו־(−π/2), עם תופעת גיבס ליד הקפיצות
זה בדיוק ההמשך המחזורי של ההמשך האי זוגי: קודם משלימים לפונקציה אי זוגית ([math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math], [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math] בין [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]), ואז מעתיקים מחזורית. ליד נקודות הקפיצה (כפולות של [math]\displaystyle{ \pi }[/math]) רואים את תופעת גיבס.
טור הסינוסים הוא בעצם טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f^{-} }[/math], ולכן הוא מתכנס להמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f^{-}} }[/math] בנקודות שבהן הוא רציף (והנגזרות החד צדדיות קיימות).
כדי לקבל את הטור הראשון נציב [math]\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} }[/math] בטור. מה קורה ל־[math]\displaystyle{ \widetilde{f^{-}} }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} }[/math]?
ההמשך המחזורי משפיע רק אחרי [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] (בנקודה זו מתחיל מחזור חדש), וההמשך האי זוגי משפיע רק בשליליים. הנקודה [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] יושבת בדיוק באמצע הקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math], ולכן כל הפונקציות שדיברנו עליהן ([math]\displaystyle{ f }[/math], ההמשך האי זוגי וההמשך המחזורי) קבועות [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] בסביבה שלה. לכן [math]\displaystyle{ \widetilde{f^{-}} }[/math] רציפה שם והנגזרת שלה היא קבועה אפס, ולפי משפט דיריכלה
בדיקה: עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי האיבר מתאפס, ועבור [math]\displaystyle{ n=2k+1 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{2}{2k+1}(-1)^k }[/math]. לכן הטור הוא [math]\displaystyle{ 2\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots\right)=2\arctan(1)=\frac{\pi}{2} }[/math], לפי טור הטיילור של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math]. לפעמים אפשר למצוא טור כזה גם עם טיילור, אבל בשאלות האלה הכוונה היא לפתרון בעזרת פורייה.
סעיף ב', הטור השני. מה רומז לנו מה לעשות? המקדמים מופיעים בריבוע ([math]\displaystyle{ n^2 }[/math] במכנה). כשרואים ריבועים של מקדמים, מנסים את שיוויון פרסבל.
נזכור את שיוויון פרסבל (מהנוסחאון): לכל [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{V} }[/math]
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin(nx) }[/math] הוא טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f^{-} }[/math] (מקדמי הקוסינוסים שלו הם אפס), ולכן נפעיל עליו את שיוויון פרסבל:
(הפונקציה היא [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] או [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math], ובריבוע תמיד [math]\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 }[/math]; רוחב הקטע הוא [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].)
בדיקה: הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(2k+1)^2} }[/math]. מהטור הידוע [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math], שהוכחנו מוקדם יותר בסמסטר, מקבלים [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8} }[/math], כלומר אותה תשובה.
סעיף א'. לפני הכול: על מה השאלה מדברת ואיזה משפט רלוונטי? הנתונים ([math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה והנגזרת שלה רציפה למקוטעין) מבטיחים שבכל נקודה יש ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] גבולות ונגזרות חד צדדיים, וזה בדיוק מה שמשפט דיריכלה צריך.
ראשית, מהנתונים ובזכות משפט דיריכלה אנחנו יודעים כי
([math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, אבל אף אחד לא אמר ש־[math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math], ולכן ההמשך המחזורי יכול לקפוץ ב־[math]\displaystyle{ \pm\pi }[/math].)
לכן נבחר
[math]\displaystyle{ g(x)=f(-x) }[/math]
כשמציבים [math]\displaystyle{ -x }[/math] במקום [math]\displaystyle{ x }[/math], הקוסינוס זוגי והסינוס אי זוגי, ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\in(-\pi,\pi) }[/math]
ומתוך היחידות זהו טור הפורייה של [math]\displaystyle{ g }[/math]. גם [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ולכן לפי דיריכלה גם טור הפורייה שלה מתכנס ל־[math]\displaystyle{ g }[/math] בכל הקטע [math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math]. כלומר שני הטורים מתכנסים לאותם ערכים בכל נקודה, פרט אולי לנקודות [math]\displaystyle{ \pi+2\pi k }[/math]. לפי משפט היחידות של קנטור, ההפרש שלהם (טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס פרט לקבוצה בת מנייה) הוא טור האפס.
אפשר היה גם ממש לחשב את המקדמים, בהצבה [math]\displaystyle{ u=-x }[/math]:
נציב [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] בטור של [math]\displaystyle{ f }[/math]. בהמשך המחזורי, משמאל ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] הגבול הוא [math]\displaystyle{ f(\pi) }[/math], ומימין ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math] מתחיל העתק חדש של [math]\displaystyle{ f }[/math] מ־[math]\displaystyle{ -\pi }[/math], כך שהגבול הוא [math]\displaystyle{ f(-\pi) }[/math]. הנגזרות החד צדדיות קיימות, ולכן לפי דיריכלה הטור מתכנס לממוצע:
כי [math]\displaystyle{ \sin(\pi n)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(\pi n)=(-1)^n }[/math], וזה בדיוק מה שביקשו. כיוון ש־[math]\displaystyle{ g(\pi)=f(-\pi) }[/math], התשובה היא גם [math]\displaystyle{ \frac{f(\pi)+g(\pi)}{2} }[/math].
אפשר להגיע לזה גם דרך [math]\displaystyle{ g }[/math] (כנראה לכך כיוון הניסוח "באמצעות [math]\displaystyle{ f,g }[/math]"): כשמחברים את שני הטורים, חלקי הסינוסים מצטמצמים, ומקבלים
סעיף ג'. כאן כבר אין טריק של הצבה: לקוסינוסים יש הצבות נוחות (ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כולם [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ב־[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] הם [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math]), אבל אין [math]\displaystyle{ x }[/math] שהופך את כל הסינוסים לאחד. לכן נבודד את [math]\displaystyle{ b_n }[/math] בחיסור. וכשהמקדמים מופיעים בריבוע, משתמשים בפרסבל.
כלומר מצאנו את טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)-g(x) }[/math].
הערה: כמו קודם, אפשר לפי היחידות או לפי חישוב המקדמים. כאן זו פשוט הליניאריות של המקדמים: המקדמים של [math]\displaystyle{ f-g }[/math] הם ההפרשים של המקדמים.
נניח ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית (זה חסר בניסוח של המבחן), אחרת יש הבדל בין [math]\displaystyle{ |b_n|^2 }[/math] לבין [math]\displaystyle{ b_n^2 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית המקדמים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ממשיים, ולכן
א. חשבו את סכום טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודות [math]\displaystyle{ x=\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi }[/math]. הביעו תשובתכם באמצעות [math]\displaystyle{ a,b }[/math].
ב. עבור אילו ערכי [math]\displaystyle{ a,b }[/math] טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] יתכנס במ"ש בכל הממשיים? הוכיחו.
(סעיף ב' לא רלוונטי השנה, כי לא לימדתי לגבי ההתכנסות במ"ש של טור פורייה.)
נשים לב כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה למקוטעין: ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] יש לה גבולות חד צדדיים ([math]\displaystyle{ b }[/math] משמאל ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מימין). כיוון שגם בקצוות יש לה גבולות חד צדדיים סופיים, ההמשך המחזורי [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math] גם הוא רציף למקוטעין, ובאופן דומה גם הנגזרת.
אני מציין עובדות אלה כדי להכשיר את הקרקע למשפט דיריכלה, שמדבר על הגבולות החד צדדיים בנקודה, של הפונקציה ושל הנגזרת. בכל נקודה הגבולות והנגזרות החד צדדיים קיימים וסופיים, ולכן הטור מתכנס לממוצע של הגבולות החד צדדיים של [math]\displaystyle{ \widetilde{f} }[/math].
ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] (נוסיף גם את הנקודה הזו): הטור מתכנס לממוצע בין הגבול מימין לגבול משמאל באפס, כלומר
[math]\displaystyle{ \frac{b+1}{2} }[/math]
ב־[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] הטור מתכנס לממוצע של שני הקצוות, כי מיד אחרי [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] מתחיל עוד העתק מחזורי של הפונקציה מאזור [math]\displaystyle{ -\pi }[/math]. משמאל הגבול הוא [math]\displaystyle{ \cos(\pi) }[/math], ומימין הגבול הוא הגבול של [math]\displaystyle{ ax+b }[/math] ב־[math]\displaystyle{ -\pi }[/math]:
ב־[math]\displaystyle{ x=\frac{3\pi}{2} }[/math] מקבלים העתק של הפונקציה בסביבה של [math]\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}-2\pi=-\frac{\pi}{2} }[/math]). שם הפונקציה רציפה, ולכן הטור מתכנס לערך
סקיצה של ההמשך המחזורי: מימין ל־π מתחיל העתק של הפונקציה מ־(−π), ולכן מה שקורה ב־3π/2 הוא מה שקורה ב־(−π/2)
זה הדגש המרכזי של השאלה: ההמשך המחזורי משכפל את הקטע, ולכן מה שקורה ב־[math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} }[/math] חוזר ב־[math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} }[/math]. (בסקיצה הפונקציה צוירה רציפה באפס, אבל באופן כללי יש לה שם קפיצה.)
ב־[math]\displaystyle{ x=2\pi }[/math]: לבסוף, הערך ב־[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] שווה לערך באפס מתוך המחזוריות, כלומר [math]\displaystyle{ \frac{b+1}{2} }[/math].
ב. חשבו את [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(\pi s)\cos(\pi s)}{s}ds }[/math].
סעיף א'.
לפי הנוסחה להתמרה (בנוסחאון), וכיוון ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] מתאפסת מחוץ ל־[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi) }[/math], אפשר להתעלם מכל מה שמחוץ לקטע:
ממבט ראשון זה עשוי להיראות שההתמרה אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ s=0 }[/math], אבל זו טעות שלנו: כאשר חישבנו את האינטגרל, אסור היה לחלק ב־[math]\displaystyle{ s }[/math] אם הוא אפס. נחזור להגדרה:
וזה גם הגיוני: ראינו שהתמרת הפורייה של פונקציה החסומה בכל קטע סופי, שהאינטגרל של הערך המוחלט שלה מתכנס, היא רציפה (ואפילו רציפה במ"ש), ואכן [math]\displaystyle{ \lim_{s\to 0}\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}=1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s)=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ s\neq 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](0)=1 }[/math].
סעיף ב'. מה האסטרטגיה? משפט ההתמרה ההפוכה. הוא הופך את ההתמרה שחישבנו בסעיף א' לנוסחה לאינטגרל על [math]\displaystyle{ \frac{\sin(\pi s)}{\pi s}e^{isx} }[/math], ומכאן נגיע לאינטגרל המבוקש בשתי דרכים. כך אפשר לחשב בעזרת התמרת פורייה אינטגרלים די משוגעים.
נשתמש במשפט ההתמרה ההפוכה, [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\sin(\pi s)}{\pi s}\right](x) }[/math]:
(התנאים של המשפט מתקיימים: [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f|=2\pi }[/math] מתכנס, ובכל נקודה הנגזרות החד צדדיות של [math]\displaystyle{ f }[/math] קיימות: הן אפס.)
רעיון ראשון: נציב [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]:
כי [math]\displaystyle{ e^{is\pi}+e^{-is\pi}=2\cos(\pi s) }[/math]. וזו אותה תוצאה בדיוק (תכפלו ב־[math]\displaystyle{ \pi }[/math]).
הערה: במשפט ההתמרה ההפוכה האינטגרל מובן כגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_{-n-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} }[/math], כמו בנוסחאון. כל אחד משני האינטגרלים ב־[math]\displaystyle{ x=\pm\pi }[/math] מתכנס רק במובן הזה: החלק המדומה שלו הוא האינטגרל של הפונקציה האי זוגית [math]\displaystyle{ \pm\frac{\sin^2(\pi s)}{\pi s} }[/math], שעל קטע סימטרי הוא אפס, אבל האינטגרל שלה עד אינסוף מתבדר. בסכום החלקים המדומים מתבטלים, והאינטגרל של [math]\displaystyle{ \frac{\sin(2\pi s)}{\pi s} }[/math] מתכנס גם במובן הרגיל.
אפשר לשחזר את התרגיל הקודם עם התמרה של פונקציית המדרגה על [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math], אבל שינוי משתנים פשוט יותר. נרצה ש־[math]\displaystyle{ as }[/math] יהפוך ל־[math]\displaystyle{ \pi t }[/math]:
(כיוון ש־[math]\displaystyle{ a>0 }[/math], הגבולות נשארים מ־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] עד [math]\displaystyle{ \infty }[/math].) כלומר התשובה לא תלויה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math]: היא תמיד [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
שאלה 4 ממבחן נוסף: ידוע כי התמרת הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1+x^2} }[/math] היא [math]\displaystyle{ F(s)=\frac{1}{2}e^{-|s|} }[/math].
א. חשבו את התמרת הפורייה של [math]\displaystyle{ h(x)=f*f }[/math] (קונבולוציה).
(הניחו שזו פונקציה רציפה בעלת נגזרת רציפה ושייכת ל־[math]\displaystyle{ G }[/math].)
הערה: במבחן ההוא [math]\displaystyle{ G }[/math] הייתה קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין על הישר שהאינטגרל של הערך המוחלט שלהן מתכנס. ההנחה שבסוגריים נוספה כדי שיהיה מותר להפעיל את משפט ההתמרה ההפוכה: בזמן המבחן שאלו איך אפשר להשתמש בו בלי לדעת שהתנאים שלו מתקיימים.
סעיף א'.
זו מתנה גמורה: משתמשים בנוסחה מהנוסחאון, [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f*g)=2\pi\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g) }[/math]. הקונבולוציה של [math]\displaystyle{ f }[/math] עם עצמה נותנת את ההתמרה בריבוע:
זו בדיוק השאלה מסעיף ב', עם האות [math]\displaystyle{ t }[/math] במקום [math]\displaystyle{ y }[/math]. כלומר מבקשים מאיתנו לחשב את הקונבולוציה. התנאים של משפט ההתמרה ההפוכה מתקיימים (זו ההנחה שבסוגריים), ולכן
שימו לב שבחרנו להצמיד את ה־2 ל־[math]\displaystyle{ x }[/math]. נציב במקום [math]\displaystyle{ x }[/math] את [math]\displaystyle{ \frac{x}{2} }[/math]:
החומר בנספח לקוח מתקציר ההרצאות של השנים הקודמות, ולא נלמד בסמסטר ב' תשפ"ו. הוא משתמש במרחב [math]\displaystyle{ E }[/math] של הפונקציות הרציפות למקוטעין [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math] שערכן בכל נקודה הוא הממוצע של הגבולות החד צדדיים (ובקצוות - הגבול החד צדדי), ובאי שיוויון בסל.
טור הנגזרת
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] כך שהנגזרת שלה [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה למקוטעין בקטע.
שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים
שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
כיוון שלהמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] יש אי רציפות קפיצתית ב[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math], טור הפורייה שם מתכנס לממוצע [math]\displaystyle{ \frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} }[/math]
כלומר, אם נציב [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] נקבל:
לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2 }[/math] מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של [math]\displaystyle{ f'\in E }[/math].
(זכרו שמותר להניח כי [math]\displaystyle{ f'\in E }[/math] על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
לכן [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right) }[/math] חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
לכן סה"כ [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} }[/math] חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.
סה"כ קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2} }[/math] מתכנס.
לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |a_n| }[/math] ו[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |b_n| }[/math] מתכנסים, כפי שרצינו.
שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש
נביט במערכת האורתונורמלית [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math].
ידוע לנו כי [math]\displaystyle{ a_0=\langle f,1\rangle }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle }[/math]
נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב [math]\displaystyle{ S_n }[/math].
[math]\displaystyle{ S_n }[/math] היא ההיטל של [math]\displaystyle{ f }[/math] על הקבוצה האורתונורמלית [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\} }[/math]
