לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===הוכחה=== #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} <ol start="2"> <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)