לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/2.8.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== מד״ר סתומות מסדר 1 == אלה מד״ר <math>F(x,y,y')=0</math> שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית. === סוגים נפוצים === ==== מקרה 1 ==== משוואה מסדר 1 וממעלה <math>n</math>: <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math>. מכאן שקיימות פונקציות <math>f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\}</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. ===== תרגיל ===== פתרו <math>(y')^2-\frac{xy}{a^2}=0</math>. ====== פתרון ====== {{left|<math>\begin{align}&\left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0\\\implies&y'=\pm\frac\sqrt{xy}a\\\implies&\frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrt xa\\\implies&\int\frac{\mathrm dy}\sqrt y=\pm\int\frac\sqrt xa\mathrm dx\\\implies&2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c\\\implies&y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2\end{align}</math>}} {{משל}} ==== מקרה 2 ==== <math>x</math> לא מופיעה במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math>, ובהצבת <math>z=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,z)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dy}z=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. לפיכך, אם <math>y=\varphi(z)</math> אזי <math>x=\frac{\varphi(z)}z+\int\frac{\varphi(z)}{z^2}\mathrm dz</math>. ===== תרגיל ===== פתרו <math>y=(y')^2+2(y')^3</math>. ====== פתרון ====== נסמן <math>z=y'</math> ונציב במד״ר: <math>y=z^2+2z^3</math>. עתה <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz=\frac{z^2+2z^3}z+\int(1+2z)\mathrm dz=c+z+2z^2+z+z^2=c+2z+3z^2=c+2y'+3(y')^2</math>, וזו מד״ר ממקרה 1, שאותו אנו כבר יודעים לפתור. {{משל}} ==== מקרה 3 ==== <math>y</math> לא מופיעה, <math>F(x,y')=0</math>. שוב נציב <math>z=y'</math>, ונניח <math>x=\varphi(y')=\varphi(z)</math>. אזי <math>y=\int z\mathrm dx=zx-\int x\mathrm dz=z\cdot\varphi(z)-\int\varphi(z)\mathrm dz</math>. ===== תרגיל ===== פתרו <math>x=y'\sin(y')</math>. ====== פתרון ====== אחרי הצבה <math>z=y'</math> נקבל <math>x=z\sin(z)</math> ולבסוף <math>y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c+z^2\sin(z)+z\cos(z)-\sin(z)</math>. נציב חזרה <math>z=y'</math> ונקבל את מקרה 2. {{משל}} ==== מקרה 4 ==== <math>y</math> מופיעה ו־<math>x</math> לא, כלומר <math>F(y,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. כרגיל, נגדיר <math>z=y'</math>. אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>\mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}(t)\mathrm dt=\varphi_t'(t)\mathrm dt</math>, ומכאן ש־<math>\mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. לבסוף, <math>\begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases}</math>. ===== תרגיל ===== פתרו <math>y=a\sqrt{1+(y')^2}</math>. ====== פתרון ====== נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=z</math>, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. כמו כן, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c_1</math>. עתה, <math>t=\frac{x+c}a</math> ולכן <math>y=a\cosh\left(\frac{x+c}a\right)</math>. {{משל}} ==== מקרה 5 ==== <math>x</math> מופיעה ו־<math>y</math> לא, כלומר <math>F(x,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. נציב <math>z=y',x=\varphi(t)</math> ולכן <math>F(\varphi(t),z)=0</math>. נסמן <math>z=\psi(t)</math> ונגלה כי <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה ולפי הגדרת <math>\varphi</math> נקבל <math>\begin{cases}y=\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt\\x=\varphi(t)\end{cases}</math>.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)