לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=סרטונים ותקצירי הרצאות= [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-umgzN7d5aFNXSWaddo-BgU הפלייליסט של כל הסרטונים] ==פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה== ===מכפלה סקלרית=== <math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math> <videoflash>MU45juH2U_c</videoflash> ===מכפלה פנימית=== יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות: לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: *אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math> *כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math> *הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math> *אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> <videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash> <math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math> <videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash> ===נורמה=== יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות. לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: *אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> *כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math> *אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math> <videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash> ===נורמה מושרית=== יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>. הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא: :<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math> שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב - מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש. ====הנורמה המושרית היא אכן נורמה==== נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה. תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש. כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math> כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי :<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math> לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה. צריך להוכיח כי: :<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math> כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול: :<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math> נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה: :<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math> :<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math> כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא: :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר: מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי :<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math> ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי :<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math> מכאן נובע כי :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math> כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס. אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל: :<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math> ולכן :<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> :<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך: :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> ===אי שיוויון קושי-שוורץ=== בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי :<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math> ====הוכחה==== נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל: :<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math> ולכן :<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math> כלומר :<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math> כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ. ===מכפלה פנימית מושרית=== *האם כל נורמה היא נורמה מושרית? *האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות? לתשובות ולהוכחות קראו את הערך [[מכפלה פנימית מושרית]]. ==פרק 2 - המרחב הניצב== *משפט הפירוק הניצב *בא"נ והיטלים *אי שיוויון בסל *משפט פיתגורס *גרם שמידט ==פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים== ==פרק 4 - צורת ז'ורדן== ==פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי== ==פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה==
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)