לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פתרון== דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות: *<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתכנס בהחלט אם <math>|q|<1</math>. הוכחה: <math>\sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| < \infty</math> *<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתבדר אם <math>|q|>1</math> הוכחה: נסמן <math>|q|=1+\alpha</math>, כאשר <math>\alpha>0</math>. לכן לפי אי שיוויון ברנולי <math>|q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha</math> לכן <math>\frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha </math> ולכן <math>\lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0</math> ולכן <math>\lim\frac{q^n}{n}\neq 0</math> ולכן הטור וודאי מתבדר. כעת, נסמן <math>q=\frac{2x}{x+4}</math> נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד. נפתור את אי השיוויון <math>|\frac{2x}{x+4}| <1</math>. קל לראות ש <math>\frac{2x}{x+4}\geq 0</math> כאשר <math>x>0</math> או <math>x<-4</math>. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון. אם <math>x>0</math> אזי <math>x+4 >0 </math>, ורוצים לפתור את אי השיוויון <math>\frac{2x}{x+4} > 1</math> מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש <math>\frac{2x}{x+4} < 1</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור <math>0<x<4</math> אם <math>x<-4</math> אזי <math>x+4 <0 </math> ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה. אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט. סיכום ביניים: עבור <math>x<-4</math> מתבדר עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר עבור <math>-\frac{4}{3}<x<0</math> מתכנס בהחלט עבור <math>0<x<4</math> מתכנס בהחלט עבור <math>x>4</math> מתבדר כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה <math>x=-4,-\frac{4}{3},0,4</math> עבור <math>x=-4</math> הטור כלל אינו מוגדר. עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מקבלים את הטור <math>\sum \frac{(-1)^n}{n}</math> שהוא מתכנס בתנאי כידוע עבור <math>x=0</math> מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט עבור <math>x=4</math> מקבלים את הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math> שהוא מתבדר. ===סיכום=== עבור <math>x<-4</math> מתבדר עבור <math>x=-4</math> לא מוגדר עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מתכנס בתנאי עבור <math>-\frac{4}{3}<x<4</math> מתכנס בהחלט עבור <math>x\geq 4</math> מתבדר
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)