לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
היטל
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תרגילים== ===0=== הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס). ===1=== יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל <math>v\in V</math> ::<math>||v-\pi_W(v)||\leq ||v||</math> '''פתרון:''' ניקח בסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_k\}</math> למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_n\}</math> למרחב כולו. אזי ::<math>||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|<v,w_i>|^2\leq \sum_{i=1}^n|<v,w_i>|^2=||v||^2</math> ===2=== יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k א. הוכיחו כי לכל בסיס [[אורתונורמלי]] <math>\{v_1,...,v_n\}</math> למרחב V מתקיים <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k</math> ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי: ::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math> '''פתרון:''' א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math> <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>\overline{<v_i,u_j>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{<u_j,v_i>}<u_j,v_i>>\Big)=</math> <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math> אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k. ב. ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי <math>W=\{w_1,...,w_n\}</math>, כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה: ::<math>w_1=s_1</math> ::<math>w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{<s_i,w_j>}{<w_j,w_j>}w_j</math> לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים <math>[I]^W_S</math> הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן <math>|[I]^W_S|=1</math> לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי ::<math>G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S}</math> ולכן ::<math>|G_S|=|G_W|</math> אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן <math>|G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2</math> ולכן כל שנותר להראות הוא כי <math>||w_i||\leq ||s_i||</math> אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה. ===3=== יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math> א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in U, v\in V</math> ב. נגדיר אופרטור <math>P_U:U\rightarrow U</math> ע"י <math>P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u))</math>. הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math> '''פתרון:''' א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן ::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math> נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל ::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> ב. ::<math><P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2></math> כיוון ש <math>u_2\in U</math> לפי סעיף א' מתקיים: ::<math><\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2></math> אבל <math>\pi_W(u_1)\in W</math> ולכן ::<math><\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)></math> שוב, כיוון ש<math>u_1\in U</math> מתקיים ::<math><u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)></math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)