היטל

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו[math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,...,w_n\} }[/math] בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו [math]\displaystyle{ \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\lt v,w_i\gt }{\lt w_i,w_i\gt }w_i }[/math] (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור [math]\displaystyle{ \pi_W(v)\in W }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ v-\pi_W(v)\in W^\perp }[/math]

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]

[math]\displaystyle{ ||v-\pi_W(v)||\leq ||v|| }[/math]

פתרון:

ניקח בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \{w_1,...,w_k\} }[/math] למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \{w_1,...,w_n\} }[/math] למרחב כולו.

אזי

[math]\displaystyle{ ||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{\lt v,w_i\gt }{\lt w_i,w_i\gt }w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|\lt v,w_i\gt |^2\leq \sum_{i=1}^n|\lt v,w_i\gt |^2=||v||^2 }[/math]

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ממימד n ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] למרחב V מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k }[/math]

ב. יהי [math]\displaystyle{ S=\{s_1,...,s_n\} }[/math] בסיס כלשהו למרחב V ותהי [math]\displaystyle{ G_S }[/math] מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ |G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2 }[/math]

פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו [math]\displaystyle{ \{u_1,...,u_k\} }[/math] לתת המרחב U

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n\lt \pi_U(v_i),\pi_U(v_i)\gt =\sum_{i=1}^n\Big(\lt \sum_{j=1}^k\lt v_i,u_j\gt u_j,\sum_{j=1}^k\lt v_i,u_j\gt u_j\gt \Big)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k\lt v_i,u_j\gt \overline{\lt v_i,u_j\gt }\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{\lt u_j,v_i\gt }\lt u_j,v_i\gt \gt \Big)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{j=1}^k\Big(\lt \sum_{i=1}^n\lt u_j,v_i\gt v_i,\sum_{i=1}^n\lt u_j,v_i\gt v_i\gt \Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2 }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \pi_V(u_j)=u_j }[/math] וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.

ב.

ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ W=\{w_1,...,w_n\} }[/math], כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:

[math]\displaystyle{ w_1=s_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\lt s_i,w_j\gt }{\lt w_j,w_j\gt }w_j }[/math]

לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים [math]\displaystyle{ [I]^W_S }[/math] הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן [math]\displaystyle{ |[I]^W_S|=1 }[/math]

לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי

[math]\displaystyle{ G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ |G_S|=|G_W| }[/math]

אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן [math]\displaystyle{ |G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2 }[/math]

ולכן כל שנותר להראות הוא כי [math]\displaystyle{ ||w_i||\leq ||s_i|| }[/math]

אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים כך ש [math]\displaystyle{ \dim{U}=m, \dim{W}=k }[/math]

א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =\lt \pi_U(v),u\gt }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in U, v\in V }[/math]

ב. נגדיר אופרטור [math]\displaystyle{ P_U:U\rightarrow U }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)) }[/math].

הוכיחו כי לכל שני וקטורים [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt P_U(u_1),u_2\gt =\lt u_1,P_U(u_2)\gt }[/math]

פתרון:

א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, [math]\displaystyle{ \Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \lt v-\pi_U(v),u\gt =0 }[/math]

נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל

[math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =\lt \pi_U(v),u\gt }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \lt P_U(u_1),u_2\gt =\lt \pi_U(\pi_W(u_1)),u_2\gt }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ u_2\in U }[/math] לפי סעיף א' מתקיים:

[math]\displaystyle{ \lt \pi_U(\pi_W(u_1)),u_2\gt =\lt \pi_W(u_1),u_2\gt }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \pi_W(u_1)\in W }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \lt \pi_W(u_1),u_2\gt =\lt \pi_W(u_1),\pi_W(u_2)\gt = \lt u_1,\pi_W(u_2)\gt }[/math]

שוב, כיוון ש[math]\displaystyle{ u_1\in U }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \lt u_1,\pi_W(u_2)\gt =\lt u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))\gt =\lt u_1,P_U(u_2)\gt }[/math]