מכפלה פנימית ותהליך גראם-שמידט
מכפלה פנימית (inner product) על מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{F} }[/math] שמכלילה את המכפלה הסקלרית המוכרת [math]\displaystyle{ v\cdot w=|v||w|\cos\theta }[/math] לכל מרחב וקטורי - כולל מרחבים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ומרחבי פונקציות, שבהם אין כבר אינטואיציה גיאומטרית ישירה. בקורס אלגברה לינארית 2 זהו פרק הפתיחה, ועליו מבוססים כל המשך הקורס: המרחב הניצב, היטלים, לכסון אוניטרי ועוד. כל מכפלה פנימית משרה נורמה (אורך) [math]\displaystyle{ \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math], ותהליך גראם-שמידט מאפשר להפוך כל בסיס לבסיס אורתונורמלי - "מערכת צירים" מאונכת ומנורמלת, הנוחה ביותר לעבודה. בחיפושים ובתרגילים מכנים את הנושא גם גרם שמידט, תהליך גרם/גראם שמידט, בסיס אורתונורמלי, היטל אורתוגונלי, אי-שיוויון קושי-שוורץ ונורמה מושרית.
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math]. מכפלה פנימית היא פונקציה [math]\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ c\in\mathbb{F} }[/math]:
- אדטיביות: [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle }[/math]
- כפל בסקלר (מהרכיב השמאלי): [math]\displaystyle{ \langle cx,y\rangle=c\langle x,y\rangle }[/math]
- הרמיטיות: [math]\displaystyle{ \langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle} }[/math]
- אי-שליליות: [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle\geq 0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]
מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית נקרא מרחב מכפלה פנימית. הדוגמה הבסיסית היא המכפלה הפנימית הסטנדרטית על [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]: [math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle=v^t\overline{w}=x_1\overline{y_1}+\cdots+x_n\overline{y_n} }[/math], המכלילה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] את המכפלה הסקלרית הרגילה.
נורמה על [math]\displaystyle{ V }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ \|\cdot\|:V\to\mathbb{R} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in V,\ c\in\mathbb{F} }[/math]: [math]\displaystyle{ \|x\|\geq0 }[/math] (ושווה 0 רק עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]), [math]\displaystyle{ \|cx\|=|c|\cdot\|x\| }[/math], ואי-שיוויון המשולש [math]\displaystyle{ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\| }[/math]. כל מכפלה פנימית משרה נורמה מושרית [math]\displaystyle{ \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math] (מוגדרת היטב כי [math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle\geq0 }[/math]). לא כל נורמה היא מושרית ממכפלה פנימית - ראו מכפלה פנימית מושרית לפירוט ולכלל המקבילית שמאפיין זאת.
קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת אורתוגונלית אם כל שני איברים שונים שלה מאונכים, כלומר [math]\displaystyle{ \langle u,v\rangle=0 }[/math], ואורתונורמלית אם בנוסף כל וקטור בה מנורמל ([math]\displaystyle{ \|v\|=1 }[/math]). בהתאם, בסיס אורתוגונלי (אורתונורמלי) הוא בסיס שהוא גם קבוצה אורתוגונלית (אורתונורמלית) - כלומר ההבדל היחיד ביניהם הוא הנרמול: בסיס אורתונורמלי הוא בסיס אורתוגונלי שבו כל הווקטורים גם באורך 1.
בהינתן בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,\dots,w_k\} }[/math] של תת-מרחב [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math], ההיטל האורתוגונלי של [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] על [math]\displaystyle{ W }[/math] מוגדר [math]\displaystyle{ \pi_B(v)=\dfrac{\langle v,w_1\rangle}{\|w_1\|^2}w_1+\cdots+\dfrac{\langle v,w_k\rangle}{\|w_k\|^2}w_k }[/math] (אם [math]\displaystyle{ B }[/math] אורתונורמלי, כל המכנים שווים 1).
לבסיס [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots,v_n\} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] מתאימים מטריצת גראם [math]\displaystyle{ G_B }[/math], שאיבר [math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] שלה הוא [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_j\rangle }[/math].
משפטים ותכונות
בי-לינאריות מורחבת. מהאדטיביות וההרמיטיות נובע שאפשר "לפתוח סוגריים" בצירופים לינאריים משני הצדדים, אך כל סקלר שיוצא מהרכיב הימני יוצא עם צמוד: [math]\displaystyle{ \langle av_1+bv_2,\,cw_1+dw_2\rangle=a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle+a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle }[/math] (הוכחה מלאה בהרצאה, ראו וידאו בהמשך).
קבוצה אורתוגונלית בלי אפס היא בת"ל. אם [math]\displaystyle{ 0\notin S }[/math] ו-[math]\displaystyle{ S }[/math] אורתוגונלית, אז [math]\displaystyle{ S }[/math] בלתי תלויה לינארית: אם [math]\displaystyle{ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0 }[/math], מכפילים (פנימית) ב-[math]\displaystyle{ v_i }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ \alpha_i\|v_i\|^2=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \alpha_i=0 }[/math].
אי-שיוויון קושי-שוורץ. לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math]: [math]\displaystyle{ |\langle v,w\rangle|\leq\|v\|\cdot\|w\| }[/math]. הוכחה: תחילה, מ-[math]\displaystyle{ \langle v-w,v-w\rangle\geq0 }[/math] נובע [math]\displaystyle{ \mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leq\tfrac{\|v\|^2+\|w\|^2}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math]; מציבים [math]\displaystyle{ \tfrac{v}{\|v\|},\tfrac{w}{\|w\|} }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ v,w\neq0 }[/math]) ומקבלים [math]\displaystyle{ \mathrm{Re}\langle v,w\rangle\leq\|v\|\|w\| }[/math] (*) (המקרה [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ w=0 }[/math] מיידי). כעת מציבים ב-(*) את הזוג [math]\displaystyle{ v,\ \langle v,w\rangle w }[/math] במקום [math]\displaystyle{ v,w }[/math]: [math]\displaystyle{ \langle v,\langle v,w\rangle w\rangle=\overline{\langle v,w\rangle}\langle v,w\rangle=|\langle v,w\rangle|^2 }[/math], ומקבלים [math]\displaystyle{ |\langle v,w\rangle|^2\leq\|v\|\cdot|\langle v,w\rangle|\cdot\|w\| }[/math]; אם [math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle\neq0 }[/math] מחלקים בו ומסיימים (אחרת אי-השיוויון מיידי).
הנורמה המושרית מקיימת את אי-שיוויון המשולש. [math]\displaystyle{ \|v+w\|^2=\|v\|^2+2\mathrm{Re}\langle v,w\rangle+\|w\|^2\leq\|v\|^2+2\|v\|\|w\|+\|w\|^2=(\|v\|+\|w\|)^2 }[/math], כאשר האי-שיוויון נובע מקושי-שוורץ (*) שלמעלה. הוצאת שורש (שני האגפים אי-שליליים) נותנת [math]\displaystyle{ \|v+w\|\leq\|v\|+\|w\| }[/math]. שתי תכונות הנורמה האחרות - אי-שליליות והומוגניות - נובעות ישירות מתכונות המכפלה הפנימית.
קיום בסיס אורתונורמלי. לכל מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי קיים בסיס אורתונורמלי. זו בדיוק תוצאת תהליך גראם-שמידט, המתואר כשיטה בהמשך - התהליך עצמו הוא ההוכחה הבונה של המשפט.
מקדמים ומכפלה פנימית בבסיס אורתונורמלי. אם [math]\displaystyle{ \{u_1,\dots,u_n\} }[/math] אורתונורמלי ו-[math]\displaystyle{ v=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n }[/math], אז [math]\displaystyle{ \alpha_i=\langle v,u_i\rangle }[/math] (מכפילים פנימית ב-[math]\displaystyle{ u_i }[/math] ומשתמשים באורתונורמליות). בפרט, אם גם [math]\displaystyle{ u=\beta_1u_1+\cdots+\beta_nu_n }[/math], אז [math]\displaystyle{ \langle u,v\rangle=\beta_1\overline{\alpha_1}+\cdots+\beta_n\overline{\alpha_n} }[/math] - בדיוק כמו המכפלה הסטנדרטית ביחס לקואורדינטות.
מטריצת גראם של בסיס אורתונורמלי היא מטריצת היחידה. אם [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots,v_n\} }[/math] אורתונורמלי, אז [math]\displaystyle{ G_B=I }[/math], כי [math]\displaystyle{ \langle v_i,v_j\rangle=1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=j }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אחרת. זו הסיבה שעבודה בבסיס אורתונורמלי כל כך נוחה: אין "תיקונים" של מטריצת גראם בנוסחאות.
שיטה / איך מחשבים
תהליך גראם-שמידט, שלב אחרי שלב
נתון בסיס [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots,v_n\} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math], ורוצים בסיס אורתונורמלי.
- [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_1=v_1 }[/math].
- לכל [math]\displaystyle{ k=2,\dots,n }[/math]: מטילים את [math]\displaystyle{ v_k }[/math] על [math]\displaystyle{ W_{k-1}=\mathrm{Span}\{\overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1}\} }[/math] (לפי נוסחת ההיטל לבסיס אורתוגונלי מלמעלה) ומחסירים: [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,\overset{\circ}{v}_i\rangle}{\|\overset{\circ}{v}_i\|^2}\overset{\circ}{v}_i }[/math] - זוהי נוסחת גראם-שמידט. הווקטור [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_k }[/math] מאונך לכל [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} }[/math] בדיוק כי החסרנו ממנו את כל ה"חלק" שכבר נמצא ב-[math]\displaystyle{ W_{k-1} }[/math].
- בסוף מקבלים בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \{\overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n\} }[/math]; מנרמלים כל וקטור, [math]\displaystyle{ u_i=\overset{\circ}{v}_i/\|\overset{\circ}{v}_i\| }[/math], ומקבלים בסיס אורתונורמלי.
בכל שלב מתקיים [math]\displaystyle{ \mathrm{Span}\{v_1,\dots,v_k\}=\mathrm{Span}\{\overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k\} }[/math] - שימושי לבדיקה עצמית. אפשר גם לנרמל כל וקטור מיד לאחר בנייתו במקום בסוף; זה לא משנה את התהליך, כי נוסחת ההיטל אינה תלויה בכפל וקטור בסיס בסקלר. לצפייה במבנה ההרצאה המלא על המשפט: לינארית 2/תהליך גראם-שמידט.
חישוב היטל אורתוגונלי על תת-מרחב
בהינתן תת-מרחב [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] ווקטור [math]\displaystyle{ v }[/math]: (1) אם אין ברשותכם בסיס אורתוגונלי ל-[math]\displaystyle{ W }[/math] - הריצו עליו גראם-שמידט; (2) הציבו בנוסחת ההיטל שבהגדרה. השארית [math]\displaystyle{ v-\pi_B(v) }[/math] מאונכת לכל [math]\displaystyle{ W }[/math] (היא במרחב הניצב [math]\displaystyle{ W^\perp=\{u\in V\mid\forall w\in W:\langle u,w\rangle=0\} }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ V=W\oplus W^\perp }[/math]); אורכה, [math]\displaystyle{ \|v-\pi_B(v)\| }[/math], הוא המרחק בין [math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ W }[/math].
דוגמאות
1. למה צריך צמוד מרוכב? עבור [math]\displaystyle{ v=(1+i,\,1-i)\in\mathbb{C}^2 }[/math], אם מחשבים "מכפלה סקלרית" בלי צמוד: [math]\displaystyle{ (1+i)^2+(1-i)^2=2i-2i=0 }[/math] למרות ש-[math]\displaystyle{ v\neq0 }[/math] - איבדנו את האי-שליליות! עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית (עם צמוד): [math]\displaystyle{ \langle v,v\rangle=(1+i)\overline{(1+i)}+(1-i)\overline{(1-i)}=2+2=4>0 }[/math], כנדרש.
2. שתי נורמות שונות על אותו מרחב. על [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] אפשר להגדיר גם [math]\displaystyle{ \|(a,b)\|_1=|a|+|b| }[/math], לא רק [math]\displaystyle{ \|(a,b)\|_2=\sqrt{a^2+b^2} }[/math] - שתיהן מקיימות את שלוש אקסיומות הנורמה, אך מודדות "מרחק" אחרת (כמו זרוע רובוטית הנעה רק אופקית/אנכית לעומת מרחק אווירי). זה ממחיש שאקסיומות הנורמה כלליות, ולא רק תיאור גיאומטרי-אוקלידי אחד; רק [math]\displaystyle{ \|\cdot\|_2 }[/math] היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית.
3. גראם-שמידט מפורש. על הבסיס [math]\displaystyle{ (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] (מכפלה סטנדרטית): [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_1=(1,1,0) }[/math]; [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_2=(1,0,1)-\tfrac12(1,1,0)=(\tfrac12,-\tfrac12,1) }[/math]; [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_3=(0,1,1)-\tfrac12(1,1,0)-\tfrac13(\tfrac12,-\tfrac12,1)=(-\tfrac23,\tfrac23,\tfrac23) }[/math]. לאחר נרמול: [math]\displaystyle{ u_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0),\ u_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2),\ u_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1) }[/math]. אפשר לוודא ישירות ש-[math]\displaystyle{ \langle u_i,u_j\rangle=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] וש-[math]\displaystyle{ \|u_i\|=1 }[/math], כלומר מטריצת גראם של [math]\displaystyle{ \{u_1,u_2,u_3\} }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math].
4. היטל ומרחק. עבור [math]\displaystyle{ W=\mathrm{Span}\{u_1,u_2\} }[/math] מדוגמה 3 ו-[math]\displaystyle{ w=(1,2,3) }[/math]: [math]\displaystyle{ \langle w,u_1\rangle=\tfrac{3}{\sqrt2},\ \langle w,u_2\rangle=\tfrac{5}{\sqrt6} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \pi_W(w)=\tfrac{3}{\sqrt2}u_1+\tfrac{5}{\sqrt6}u_2=(\tfrac73,\tfrac23,\tfrac53) }[/math]. השארית [math]\displaystyle{ w-\pi_W(w)=(-\tfrac43,\tfrac43,\tfrac43) }[/math] אכן מאונכת ל-[math]\displaystyle{ u_1,u_2 }[/math], ואף מקבילה ל-[math]\displaystyle{ u_3 }[/math], בדיוק כפי שמכתיב [math]\displaystyle{ W^\perp }[/math].
שאלות תרגול
שאלה 1. הפעילו את תהליך גראם-שמידט (ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית) על הבסיס הסדור [math]\displaystyle{ (1,1,1),\,(0,1,1),\,(0,0,1) }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], ומצאו בסיס אורתונורמלי.
פתרון
[math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_1=(1,1,1) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \|\overset{\circ}{v}_1\|^2=3 }[/math].
[math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_2=(0,1,1)-\tfrac{2}{3}(1,1,1)=(-\tfrac23,\tfrac13,\tfrac13) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \|\overset{\circ}{v}_2\|^2=\tfrac23 }[/math].
[math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_3=(0,0,1)-\tfrac13(1,1,1)-\tfrac12(-\tfrac23,\tfrac13,\tfrac13)=(0,-\tfrac12,\tfrac12) }[/math].
לאחר נרמול: [math]\displaystyle{ u_1=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\quad u_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(-2,1,1),\quad u_3=\tfrac{1}{\sqrt2}(0,-1,1) }[/math].
שאלה 2. הוכיחו בעזרת אי-שיוויון קושי-שוורץ כי לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2) }[/math].
פתרון
במרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, נציב [math]\displaystyle{ v=(a,b,c),\ w=(1,1,1) }[/math]. אז [math]\displaystyle{ \langle v,w\rangle=a+b+c }[/math], [math]\displaystyle{ \|v\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} }[/math], [math]\displaystyle{ \|w\|=\sqrt3 }[/math]. לפי קושי-שוורץ, [math]\displaystyle{ |a+b+c|\leq\sqrt3\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2} }[/math]; מעלים בריבוע ומקבלים את הדרוש.
שאלה 3. תהי [math]\displaystyle{ W=\mathrm{Span}\{(1,1,1),(0,1,1)\}\subseteq\mathbb{R}^3 }[/math] (מכפלה סטנדרטית), ויהי [math]\displaystyle{ w=(1,2,0) }[/math]. מצאו את ההיטל האורתוגונלי של [math]\displaystyle{ w }[/math] על [math]\displaystyle{ W }[/math], ואת המרחק בין [math]\displaystyle{ w }[/math] ל-[math]\displaystyle{ W }[/math].
פתרון
לפי שאלה 1, [math]\displaystyle{ u_1=\tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\ u_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(-2,1,1) }[/math] הוא בסיס אורתונורמלי ל-[math]\displaystyle{ W }[/math] (כי נבנה מ-[math]\displaystyle{ (1,1,1),(0,1,1) }[/math]). מחשבים [math]\displaystyle{ \langle w,u_1\rangle=\sqrt3 }[/math], [math]\displaystyle{ \langle w,u_2\rangle=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \pi_W(w)=\sqrt3\,u_1=(1,1,1) }[/math]. המרחק הוא [math]\displaystyle{ \|w-\pi_W(w)\|=\|(0,1,-1)\|=\sqrt2 }[/math].
שאלה 4. יהי [math]\displaystyle{ \{u_1,\dots,u_n\} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math]. הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \|v\|^2=\sum_{i=1}^n|\langle v,u_i\rangle|^2 }[/math] (זהות פרסבל).
פתרון
נכתוב [math]\displaystyle{ v=\sum_i\alpha_iu_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \alpha_i=\langle v,u_i\rangle }[/math] (נוסחת המקדמים בבסיס אורתונורמלי). לפי נוסחת חישוב מכפלה פנימית בקואורדינטות אורתונורמליות, [math]\displaystyle{ \|v\|^2=\langle v,v\rangle=\sum_i\alpha_i\overline{\alpha_i}=\sum_i|\alpha_i|^2=\sum_i|\langle v,u_i\rangle|^2 }[/math].
טעויות נפוצות
- מבלבלים בסיס אורתוגונלי עם אורתונורמלי: הנוסחה הקצרה [math]\displaystyle{ \langle v,w_i\rangle w_i }[/math] (בלי מכנה) תקפה רק לבסיס אורתונורמלי; לבסיס אורתוגונלי בלבד חובה לחלק ב-[math]\displaystyle{ \|w_i\|^2 }[/math].
- שוכחים את הצמוד המרוכב כשעובדים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], ומקבלים "מכפלה" שאינה מקיימת אי-שליליות (ראו דוגמה 1).
- חושבים שסדר הווקטורים בגראם-שמידט לא משנה את התוצאה - הוא כן משנה את הווקטורים המתקבלים (אף שהמרחב הנפרש בסוף התהליך זהה; המרחבים בשלבי הביניים תלויים בסדר).
- מפעילים גראם-שמידט על קבוצה תלויה לינארית (לא בסיס) ומקבלים באחד השלבים וקטור אפס; יש לוודא מראש שמדובר בקבוצה בלתי תלויה.
- לא בודקים בסוף שהתוצאה מאונכת לכל הווקטורים הקודמים ולא רק לאחרון - כדאי לבדוק [math]\displaystyle{ \langle\overset{\circ}{v}_k,\overset{\circ}{v}_i\rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i<k }[/math].
שאלות ממבחנים
(אינדקס השאלות לקורס זה עדיין לא נבנה; הסעיף יתמלא בהמשך)
סרטונים
מוטיבציה גיאומטרית למכפלה פנימית: הוכחת משפט הקוסינוסים והקשר שלו למכפלה הסקלרית בין וקטורים.
הגדרת מכפלה פנימית (ארבע האקסיומות) והוכחה שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית על [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] אכן מקיימת אותן.
בי-לינאריות מורחבת - איך פותחים סוגריים בצירופים לינאריים בתוך מכפלה פנימית, ולמה יוצא צמוד מהצד הימני.
הגדרת נורמה (שלוש האקסיומות) ודוגמה לשתי נורמות שונות על אותו מרחב, שממחישה למה דרוש אי-שיוויון המשולש.
חומרי עזר
- מערך שיעור בנושא מכפלה פנימית (PDF)
- אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר, פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה