לינארית 2/תהליך גראם-שמידט

חזרה למערכי ההרצאה

קיום בסיס אורתונורמלי - תהליך גראם-שמידט

משפט

לכל מרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד סופי קיים בסיס אורתונורמלי.

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נקבל מבסיס זה בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \} }[/math].

נציג את תהליך גראם-שמידט, שבסופו יתקבל הבסיס הרצוי:

1. נגדיר [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_1=v_1 }[/math].
2. לכל [math]\displaystyle{ k>1 }[/math], נגדיר [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_k=v_k-\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right ) }[/math] (נוסחת גראם-שמידט).
3. כשנקבל בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \} }[/math], נשתמש בנרמול, ונקבל בסיס אורתונורמלי.

∎

הערה

1. בכל שלב אנו מקבלים וקטור [math]\displaystyle{ \overset{\circ}{v}_k }[/math], שהוא ניצב למרחב [math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{k-1} \right \} }[/math]:

   [math]\displaystyle{ v_k=\overset{\circ}{v}_k+\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )\in\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \} }[/math],

   לכן [math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}\subseteq\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \} }[/math],

   ומכאן [math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}=\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \} }[/math].

2. יש גרסה של תהליך גראם-שמידט עם נרמול בכל צעד. זה לא ישנה את האלגוריתם, כי הנוסחה להיטל אינה תלויה בכפל של וקטור בסיס בסקלר.

מסקנה

כל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה עד בסיס אורתונורמלי.

הוכחה.

תהי [math]\displaystyle{ S=\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} }[/math] קבוצה אורתונורמלית. היא בת"ל, ולכן [math]\displaystyle{ k\leq n }[/math].

אם [math]\displaystyle{ k=n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] היא בסיס אורתונורמלי, ואין מה להוכיח.

אם [math]\displaystyle{ k<n }[/math], נשלים את [math]\displaystyle{ S }[/math] עד לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math], ונשתמש בתהליך גראם-שמידט.

∎

הערה

בהוכחה הקודמת, תהליך גראם-שמידט איננו משפיע על [math]\displaystyle{ k }[/math] הווקטורים הראשונים (כלומר, על הווקטורים של [math]\displaystyle{ S }[/math]).

חזרה למערכי ההרצאה