לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/2.8.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==== פתרון ==== # נוציא גורם משותף: <math>\sin(y)\Big((2y-3x)\mathrm dx+x\mathrm dy\Big)=0</math>. שתי אפשרויות: <math>\sin(y)=0\implies\pi|y</math> או <math>\underbrace{(2y-3x)}_P\mathrm dx+\underbrace{x}_Q\mathrm dy=0</math>. במד״ר השנייה, נבדוק אם מדוייקת: <math>P_y'=2\ne Q_x'=1</math>, כלומר אינה מדוייקת. <math>\frac{Q_x'-P_y'}P=\frac{-1}{2y-3x}</math> תלוי בשני המשתנים, בעוד ש־<math>\frac{Q_x'-P_y'}Q=-\frac1x</math>, ולכן נחפש גורם אינטגרציה מהצורה <math>\mu(x)</math>. נרצה ש־<math>\frac\partial{\partial y}\Big(\mu(x)(2y-3x_\Big)=\frac\partial{\partial x}\Big(\mu(x)x\Big)</math> ולכן <math>2\mu(x)=\mu'(x)x+\mu(x)</math>, כלומר <math>\int\frac{\mathrm d\mu}\mu=\int\frac{\mathrm dx}x</math>, אזי <math>|\mu(x)|=c|x|</math>, לבסוף <math>\mu(x)=cx</math>. נכפול זאת במד״ר ונקבל <math>(2xy-3x^2)\mathrm dx+x^2\mathrm dy=0</math>. נחפש פוקנציית פוטנציאל <math>U</math>: <math>\frac{\patrtial U}{\partial x}=2xy-3x^2\\\frac{\partial U}{\partial y}=x^2</math>. נחשב ונמצא <math>U=x^2y-x^3+\varphi(y)</math>, נגזור לפי <math>y</math> ואז <math>\frac{\partial U}{\partial y}=x^2+\varphi'(y)=x^2</math> ולכן <math>\varphi(y)=\text{const.}</math>. נקח <math>\varphi(y)=0</math> ואז <math>U=x^2y-x^3</math>, עקומת הרמה היא <math>U=c</math>, כלומר <math>y=\frac{x+x^3}{x^2}</math>. לסיכום, הפתרונות הם <math>y=\frac{x+x^3}{x^2}</math> רגולרי ו־<math>y=\pi k,\quad k\in\mathbb Z</math> סינגולרי. {{משל}} # נדרוש תנאי התחלה <math>y(1)=\frac{c+1}1=c+1=\pi\implies c=\pi-1</math>. פתרון אחד הוא <math>y=\frac{\pi-1+x^3}{x^2}</math>, וגם הפתרון <math>y=\pi</math> עונה על הבעיה.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)