לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משפט בולצאנו-ויירשטראס
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הוכחה== ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> . אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>) נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה. נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים. אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות: *כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה <math>a_n</math> *כל קטע מוכל בקודמו *אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0 לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L</math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו). *יהי <math>\varepsilon>0</math> . רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה. *כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\dfrac{\varepsilon}{2}</math> . *לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה. *לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> . *אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> . <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:אינפי]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)