לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משפט קנטור על רציפות במידה שווה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הוכחה== תהי <math>f</math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math> . נניח בשלילה שהיא '''לא'''-רציפה שם במ"ש. לכן קיים <math>\epsilon>0</math> , כך שלכל <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות :<math>x_n,y_n</math> כך שמתקיים :<math>x_n-y_n\to 0</math> אבל :<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon</math> לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה). בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים: :<math>x'_n-y'_n\to 0</math> :<math>\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon</math> אבל '''כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות, :<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math> בסתירה. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:אינפי]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)