לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==דוגמה 1== <ol> <li> הוכיחו שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{t^n}n</math>. ===פתרון=== ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math> וש-<math>\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n</math> (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,a]</math> ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> לכל <math>x\in[0,a]</math>. אם <math>0<a<1</math> אזי <math>\sum_{n=0}^\infty a^n</math> מתכנס ולכן <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n</math> מתכנס במ"ש. עתה יהי <math>t\in(0,1)</math> ונסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math>, שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן {{left|<math>\begin{align}\ln(1+t)&=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align}</math>}}{{משל}} </li> <li> חשבו <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. ===פתרון=== נעזר בסעיף 1. ברור כי <math>t=\frac12</math> נמצא בקטע <math>(0,1)</math>, ולכן נציב: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^nn}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\left(\frac12\right)^n}n=-\ln\left(1\tfrac12\right)</math>. {{משל}} </li> </ol>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)