לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===דוגמה=== נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}{{משל}} [[קובץ:היקף מעגל הוא נגזרת השטח.png|ימין|200px]]נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-<math>\Delta A</math> היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי <math>\Delta A\approx2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dr}=2\pi r</math>. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע [[קובץ:היקף ריבוע אינו נגזרת השטח.png|100px]] ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math>: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור <math>b=\frac a2</math> ההיקף הינו <math>8b</math> והשטח - <math>4b^2</math>, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח. [[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png|ימין|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi\left(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}\right)S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x_k)^2}</math>. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-r,r]</math> כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi r\sum\Delta x-\sum0=2\pi r(r-(-r))=4\pi r^2</math>, כפי שציפינו. </li> <li>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)