לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
פונקצית האקספוננט
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===הוכחה=== ראשית נשים לב כי בנוסחא שאנחנו מוכיחים יש מכפלה של טורים :<math>e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right)</math> כיצד ניתן להכפיל שני טורים? באופן אינטואיטיבי, בהתאם לחוק הפילוג, אנחנו מצפים שהמכפלה תהיה סכום כל הדרכים לכפול איבר מהטור השמאלי, באיבר מהטור הימני. אך באיזה סדר נסכום את מכפלות הזוגות? אנחנו היינו רוצים לומר למשל כי :<math>(a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+...</math> סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא אחד, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים וכן הלאה. בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי :<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right)</math> מסתבר שאם שני הטורים <math>\sum a_n, \sum b_n</math> מתכנסים בהחלט זה באמת נכון. (אולי אוסיף הוכחה בהמשך?) לכן, כיוון שטור האקספוננט מתכנס בהחלט בכל המרוכבים, לכל <math>x,y\in\mathbb{C}</math> מתקיים כי :<math>e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) =\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\right) </math> כעת הביטוי מזכיר לנו את מקדמי הבינום <math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>. נשתמש בשיטת WIN - Wouldn't it be nice ונכפול ונחלק ב <math>n!</math> ונקבל: :<math>e^x\cdot e^y =\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}\right)</math> אבל זו בדיוק נוסחאת הבינום של ניוטון! ולכן נקבל כי :<math>e^x\cdot e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} =e^{x+y}</math> בדיוק כפי שרצינו.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)