לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
הלמה של צורן
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
== שימושים == ללמה של צורן שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חשש. === יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי === '''משפט'''. לכל שתי קבוצות <math>A,B</math> מתקיים <math>\ |A| \leq |B|</math> או <math>\ |B| \leq |A|</math>. הוכחה: תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות <math>f</math> שתחומן מוכל בקבוצה <math>A</math> ותמונתן מוכלת בקבוצה <math>B</math>. תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות. לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות: א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\le |B|</math>. ב. תמונת הפונקציה <math>f</math> היא הקבוצה <math>B</math> כולה. אז <math>f^{-1}\colon B\to A</math> היא פונקציה (במובן הרגיל) חד-חד ערכית, ולכן <math>|B|\le |A|</math>. ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>. במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math> ושייכת ל <math>X</math> (בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>. לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>|A|\le |B|</math>) או (ב) (ואז <math>|B|\le |A|</math>). מ.ש.ל === סכום ומכפלה של עוצמות === '''משפט'''. לכל קבוצה אינסופית A מתקיים <math>\ |A\times A| = |A|</math>. '''מסקנה'''. אם <math>\max\{|A|,|B|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ |A|\cdot |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>. '''הוכחה'''. נניח ש-<math>|A|\leq |B|</math>. לפי ההנחה <math>|B|</math> אינסופית, ולכן <math>\ |B| = 1\cdot |B| \leq |A|\cdot |B| \leq |B| \cdot |B| = |B|</math>. '''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ |A| + |B| = \max\{|A|,|B|\}</math>. '''הוכחה'''. נניח ש-<math>|A|\leq |B|</math>. אז <math>|B|</math> אינסופית, ולכן <math>|B|\leq |A| + |B| \leq = 2 |B| = \max\{2,|B|\}=|B|</math>. === לכל מרחב וקטורי יש בסיס === '''משפט'''. לכל מרחב וקטורי יש בסיס. זו טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה אם יש למרחב בסיס סופי, אבל המקרה הכללי דורש כלים מתקדמים יותר. '''הוכחה'''. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-X את משפחת תת-הקבוצות של V שאינן תלויות לינארית (הקבוצה הריקה שייכת ל-X, ולכן X אינה ריקה). נוכיח ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות. אכן, תהי C שרשרת ב-X. נתבונן באיחוד <math>\ \bigcup_{A \in C} A</math>. יהיו <math>\ v_1,\dots,v_n \in \bigcup_{A \in C} A</math> אברים של המרחב, כך שקיימים סקלרים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n \in F</math> כך ש-<math>\ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n = 0</math>. לכל <math>\ i=1,\dots,n</math> יש איבר <math>\ A_i \in C</math> כך ש-<math>\ v_i \in A_i</math>; אבל C היא שרשרת, ולכן מבין האברים <math>\ A_1,\dots,A_n</math> יש אחד המכיל את כולם; נאמר שזהו <math>\ A_n</math>. אז <math>\ v_1,\dots,v_n \in A_n</math>, אבל <math>\ A_n</math> בלתי תלויה לינארית (משום שהיא שייכת ל-X), ולכן המקדמים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> שווים כולם לאפס. לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס. === עקרון המקסימום של האוסדורף === אוסף השרשראות בקבוצה סדורה חלקית, סדור בעצמו על-ידי יחס ההכלה. שרשרת היא '''מקסימלית''' אם אינה מוכלת באף שרשרת אחרת. '''למה'''. איחוד של שרשרת של שרשראות הוא בעצמו שרשרת. אכן, תהי <math>\ \Lambda = \{A_{\alpha}\}</math> שרשרת של שרשראות (היינו, כל <math>\ A_{\alpha}</math> היא שרשרת, ולכל <math>\ \alpha,\beta</math> מתקיים <math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math> או <math>\ A_{\beta} \subseteq A_{\alpha}</math>). יהיו <math>\ x,y \in \bigcup \Lambda</math>, אז יש <math>\ \alpha, \beta</math> כך ש-<math>\ x\in A_{\alpha}, y \in A_{\beta}</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש-<math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math>. אז <math>\ x,y \in A_{\beta}</math>, והם נתנים להשוואה משום ש-<math>\ A_{\beta}</math> שרשרת. '''עקרון המקסימום של האוסדורף'''. בכל קבוצה סדורה חלקית יש שרשרת מקסימלית. '''הוכחה'''. לפי הלמה, אוסף השרשראות מקיים את תנאי הלמה של צורן, ולכן יש בו איבר מקסימלי. עקרון המקסימום הוא משפט שימושי ביותר, שאפשר להוכיח ממנו את כל הטענות האחרות בדף הזה. למעשה, אפשר להוכיח ממנו בקלות את הלמה של צורן עצמה: '''טענה'''. הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, a, שהוא איבר מקסימלי, משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ A \cup \{b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר. === עקרון הסדר הטוב === '''משפט'''. על כל קבוצה X קיים סדר טוב. '''הוכחה'''. נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף הזוגות הסדורים <math> (A,R)</math> כאשר <math> A \subseteq X</math> ו-<math> R \subseteq A \times A</math> יחס סדר טוב על A. מגדירים על <math> \Omega</math> יחס סדר: <math> (A,R) \leq (A',R')</math> אם <math> A \subseteq A'</math> ו-<math> R = (A \times A) \cap R'</math>. לכל שרשרת <math> (A_{\lambda},R_{\lambda})</math> ב-<math> \Omega</math>, האיחוד <math> (\bigcup A_{\lambda}, \bigcup R_{\lambda})</math> הוא קבוצה סדורה היטב, ולכן איבר של <math> \Omega</math> שהוא חסם מלעיל של השרשרת. לפי הלמה של צורן, יש ל-<math> \Omega</math> איבר מקסימלי, <math> (Y,S)</math>. אם יש איבר <math> x \in X \setminus Y</math>; אם נעשיר את <math> Y</math> בקביעה ש-<math> y \leq x</math> לכל <math> y\in Y</math>, נקבל סדר טוב על <math> Y \cup \{x\}</math>, בסתירה למקסימליות של <math> (Y,S)</math>. מכאן ש-<math> Y = X</math>, וסיימנו. === יש על-מסנן לא ראשי === "מסנן" על קבוצה D הוא אוסף של תת-קבוצות, הסגור לחיתוך סופי ולהגדלה (אם A שייכת למסנן אז גם כל תת-קבוצה של D המכילה אותה שייכת למסנן). בנוסף דורשים שהמסנן לא יכלול את הקבוצה הריקה (משום שבמקרה כזה הוא צריך להיות שווה לקבוצת החזקה של D. "על-מסנן" הוא מסנן הכולל את אחד החלקים בכל פירוק של D כאיחוד של שתי קבוצות זרות. למשל, תהי a נקודה ב-X; אוסף תת-הקבוצות ש-a שייך אליהן הוא על-מסנן. על-מסנן כזה נקרא "על-מסנן ראשי", והוא נחשב לטריוויאלי. האם קיים על-מסנן שאינו ראשי? '''למה'''. מסנן מהווה על-מסנן אם ורק אם הוא מקסימלי (כלומר, אינו מוכל באף מסנן גדול יותר). '''משפט'''. כל מסנן מוכל בעל-מסנן המוגדר על אותה קבוצה. '''הוכחה'''. יהי F המסנן הנתון. נסמן ב-X את משפחת המסננים המכילים את F (הקבוצה לא ריקה כי F הוא איבר שלה). האיחוד על פני שרשרת של מסננים הוא מסנן, ולכן X מקיימת את תנאי הלמה של צורן, ויש לה איבר מקסימלי. '''מסקנה'''. על כל קבוצה אינסופית יש על-מסנן לא ראשי. אכן, אוסף הקבוצות שהמשלים שלהן סופי הוא מסנן (קרוי "מסנן פרשה", על-שם Maurice Frechet), ואינו יכול להיות מוכל בעל-מסנן ראשי. === בכל חוג יש אידאל מקסימלי === '''משפט'''. בכל חוג עם יחידה יש אידאל (אמיתי) מקסימלי. תת-קבוצה של חוג R נקראת אידיאל אם היא סגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין ומשמאל באברים של R. אידיאל הוא "אמיתי" אם הוא אינו שווה לכל החוג. אידיאל (אמיתי) הוא מקסימלי אם אינו מוכל (ממש) בשום אידיאל (אמיתי) אחר. המפתח להוכחה הוא העובדה שאידיאל אמיתי אינו יכול להכיל את איבר היחידה (אחרת הוא כולל כל איבר לפי הסגירות לכפל באברי החוג). '''הוכחה'''. נסמן ב-X את קבוצת האידיאלים האמיתיים של R (אידיאל האפס נמצא שם, ולכן X לא ריקה). איחוד על שרשרת של אידיאלים סגור בוודאי לחיבור וחיסור ולכפל באברי החוג, ולכן הוא אידיאל. מכיוון שכל האברים בשרשרת אינם כוללים את איבר היחידה, גם האיחוד שלהם אינו כולל את איבר היחידה, ולכן הוא אידיאל אמיתי. לפי הלמה של צורן, יש ב-X איבר מקסימלי, וזהו אידיאל אמיתי מקסימלי. '''הערה'''. אותה הוכחה בדיוק מראה שכל אידיאל I של R מוכל באידיאל מקסימלי; קח X להיות קבוצת האידיאלים האמיתיים המכילים את I. ההוכחה אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן הטענה אינה נכונה עבורם. '''תרגיל'''. בכל חוג עם יחידה יש אידיאל שמאלי מקסימלי. (מסקנה: לכל חוג עם יחידה יש מודולים פשוטים). '''תרגיל'''. יהי S מונויד כפלי בחוג R, שאינו כולל את 0. הראה שיש אידיאל שהוא מקסימלי בין אלו שאינם חותכים את S. (כל אידיאל כזה הוא "אידיאל ראשוני"). '''תרגיל'''. לכל מודול נוצר סופית יש תת-מודול (אמיתי) מקסימלי. === לכל שדה יש סגור אלגברי === שדה E הוא '''סגור אלגברית''' אם לכל פולינום עם מקדמים ב-E יש שורש ב-E (לדוגמא, שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית). שדה E הוא '''סגור אלגברי''' של שדה F, אם E סגור אלגברית, וההרחבה E/F אלגברית. '''משפט'''. לכל שדה F יש סגור אלגברי. ההוכחה מתחילה באידיאל הנוצר על-ידי הצבות של משתנים פורמליים בכל הפולינומים (המתוקנים) מעל השדה. כפי שראינו לעיל (בעזרת הלמה של צורן), האידיאל הזה מוכל באידיאל מקסימלי, וחוג המנה (של כל חוג קומוטטיבי מעל אידיאל מקסימלי) הוא שדה. לפרטים, ראה [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/courses/88311/88311LectureNotes.pdf כאן, סעיף 4.1.5 בעמ' 65]. === הסגור האלגברי יחיד עד-כדי איזומורפיזם === '''משפט'''. כל שני סגורים אלגבריים של אותו שדה F, הם איזומורפיים (כהרחבות של F). יהיו E_1, E_2 שני סגורים אלגבריים של F. הפעם מבוססת ההוכחה על משפחת השיכונים של תת-שדות של E_1 בתוך E_2. גם כאן, השיכון ה"מקסימלי" (מושג שיש להגדיר, כמובן) מהווה שיכון מלא של E_1 לתוך E_2; אבל אז E_2 הוא הרחבה אלגברית של השדה E_1, שהוא סגור אלגברית, ולכן השיכון הוא על. ראה [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/courses/88311/88311LectureNotes.pdf כאן, סעיף 4.1.6, עמ' 66] לפרטים. === התשתית של מודול היא סכום ישר של תת-מודולים פשוטים === יהי M מודול מעל חוג R. ה'''תשתית''' שלו, אותה מסמנים ב-<math>\ \operatorname{soc}(M)</math>, היא הסכום של כל תת-המודולים הפשוטים של M. '''משפט'''. <math>\ \operatorname{soc}(M)</math> הוא סכום ישר של תת-מודולים פשוטים של M (בדרך כלל לא כולם). '''הוכחה'''. נסמן ב-X את המשפחות של תת-מודולים פשוטים שהסכום שלהם הוא ישר (המשפחה הריקה היא כזו, ולכן X לא ריקה). X סגור לאיחוד של שרשראות (ההוכחה דומה לזו של קיום הבסיס למרחב וקטורי). לכן יש ב-X משפחה מקסימלית, שנסמן ב-S. אם קיים תת-מודול פשוט שאינו מוכל בסכום שלה, אז צירופו למשפחה נותן משפחה בלתי-תלויה גדולה יותר, בסתירה למקסימליות. לכן כל תת-מודול פשוט מוכל בסכום של אברי S; מכן שהסכום הזה (שהוא סכום ישר כי S שייכת ל-X) שווה ל-<math>\ \operatorname{soc}(M)</math>. '''הערה'''. המשפט על קיום בסיס למרחב וקטורי הוא מקרה פרטי: אם M הוא מרחב וקטורי מעל השדה F, כל תת-מרחב חד-ממדי הוא פשוט, ולכן M שווה לתשתית של עצמו. לפי המשפט M הוא סכום ישר של תת-מרחבים חד-ממדיים, כלומר יש לו בסיס.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)