לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/6.8.12
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==== הוכחה ==== נגדיר סדרת פונציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> כך ש־<math>\vec\phi_0=\vec y_0</math> ו־<math>\vec\phi_{m+1}(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt</math>. לכל <math>|x-x_0|<a'</math> מתקיים * הפונקציות <math>\vec\phi_m</math> מוגדרות היטב, כלומר <math>|\phi_{m,k}(x)-y_{0,k}|\le b_k</math>. נוכיח באינדוקציה על <math>m</math>:<br>עבור <math>m=0</math> הטענה טריוויאלית שכן <math>\vec\phi_0(x)=\vec y_0</math>. עתה נניח נכונות עבור <math>m</math>: <math>|\phi_{m+1,k}-y_{0,k}|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k\left(t,\phi_m(t)\right)\mathrm dt\right|\le|x-x_0|\cdot M_k\le a'M_k\le b_k</math>. לכן <math>\vec\phi_m</math> מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור <math>|x-x_0|\le a'</math> עפ״י ההגדרה. * סדרת הפונקציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> מתכנסת במ״ש ב־<math>|x-x_0|<a'</math>. ניתן לכתוב <math>\phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k}</math>. הפונקציה <math>\phi_{0,k}</math> קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים <math>|\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x\Big(f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big)\mathrm dt\right|\le\int\limits_{x_0}^x\Big|f_k(t,\phi_m(t))-f_k(t,\phi_{m-1}(t))\Big|\mathrm dt</math>. נניח <math>x>x_0</math> ונסמן <math>S_m(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|</math>. אזי לפי תנאי ליפשיץ <math>|\phi_{m+1,k}(x)-\phi_{m,k}(x)|\le K\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt</math>. נסכום על <math>k</math> ואז <math>S_{m+1}(x)\le nK\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt</math>. נסמן <math>K_0=nK</math>, <math>H=\max_{k=1}^n M_i, H_0=nH</math>. נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל <math>m</math> מתקיים <math>S_m(x)\le H_0K_0^{m-1}\frac{(x-x_0)^m}{m!}</math>. עבור <math>m=1</math> נקבל <math>|\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0)</math> ולכן <math>S_1(x)=\sum_{k=1}^n |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|\le nH(x-x_0)=H_0(x-x_0)</math>. נניח נכונות עבור <math>m</math> ואז <math>S_{m+1}(x)\le K_0\int\limits_{x_0}^x S_m(t)\mathrm dt\le K_0\int\limits_{x_0}^x H_0K_0^{m-1}\frac{(t-x_0)^m}{m!}\mathrm dt=H_0K_0^m\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(m+1)!}</math>. כלומר <math>S_m(x)=\sum_{k=1}^n|\phi_{m,k}(x)-\phi_{m-1,k}(x)|\le\frac{H_0(K_0a')^m}{K_0m!}</math>. הטור <math>\sum_{m=1}^\infty \frac{K_0a')^m}{m!}</math> מתכנס ל־<math>\mathrm e^{K_0a'}-1</math> ולכן סדרת הפונקציות <math>\{\vec\phi_m\}_{m=0}^\infty</math> מתכנס במ״ש עבור <math>|x-x_0|\le a'</math> לפונקציה <math>\vec\phi</math>. * <math>\vec\phi</math> פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה <math>\vec\phi_m(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,t\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt</math>. נשאיף <math>m\to\infty</math> ואז <math>\vec\phi(x)=\vec y_0+\int\limits_{x_0}^x \vec f(t,\vec\phi(t))\mathrm dt</math>. אזי <math>\vec\phi'(x)=\vec f(x,\vec\phi(x))</math> ולכן <math>\vec y=\vec\phi(x)</math> פתרון של המד״ר. ……… ''הערה:'' <math>\phi_{m+1}-\phi_m=\int f(t,\vec\phi_m(t))\mathrm dt-\int f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\mathrm dt</math> וכן <math>f(t,\vec\phi_m(t))-f(t,\vec\phi_{m-1}(t))\le </math>……… ………
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)