לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/1
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==תרגילים== '''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>2\Big(\frac{4^x+1}{2^x}\Big)^2 -7\Big(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\Big)+5=0</math> '''פתרון'''. ראשית נשים לב לכך ש <math>\frac{4^x+1}{2^x}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^x+\frac{1}{2^x}</math> ולכן נסמן <math>t=2^x+\frac{1}{2^x}</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>2t^2-7t+5=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=1,\frac{5}{2}</math> לכן עלינו לפתור את המשוואות <math>2^x+\frac{1}{2^x}=1</math>, <math>2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2}</math> ראשית, נביט במשוואה <math>2^x+\frac{1}{2^x}=1</math>. נכפול בשני האגפים ב<math>2^x</math> ונקבל <math>(2^x)^2-2^x+1=0</math>. נסמן <math>s=2^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>s^2-s+1=0</math> שאין לה פתרונות. שנית, נביט במשוואה <math>2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2}</math>, נכפול בשני האגפים ב<math>2\cdot 2^x</math> ונקבל <math>2(2^x)^2 -5(2^x)+2=0</math>. נציב <math>s=2^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>2s^2-5s+2=0</math> עם הפתרונות <math>s_{1,2}=2,\frac{1}{2}</math>. לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות <math>2^x=2</math>, <math>2^x=\frac{1}{2}</math> ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=\pm 1</math> '''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4</math> '''פתרון''' נכפול את שני אגפי המשוואה בביטוי <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל :<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} + \Big(\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\Big)^x=4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> שימו לב, לפי הנוסחא <math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2</math> לכפל מקוצר, מתקיים כי <math>(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1</math> והרי <math>\sqrt{1}^x=1</math>. לכן קיבלנו :<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} -4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x+ 1=0</math> נציב <math>t=\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>t^2-4x+1=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=2\pm \sqrt{3}</math>. לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2\pm \sqrt{3}</math> המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2+ \sqrt{3}</math> שקולה למשוואה <math>\Big(2+\sqrt{3}\Big)^{\frac{x}{2}}=2+ \sqrt{3}</math> ולכן <math>\frac{x}{2}=1</math> ומכאן <math>x=2</math>. את המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2- \sqrt{3}</math> נכפול בשני האגפים ב<math>2+\sqrt{3}</math> ונקבל :<math>(2+\sqrt{3})\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1</math> ולכן :<math>(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1</math> :<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{x+2}=1</math> ולכן <math>x+2=0</math> כלומר <math>x=-2</math>. סה"כ '''הפתרונות הסופיים''' הינם <math>x=\pm 2</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)