לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==משפט 1== [[קובץ:רדיוס התכנסות.png|400px|ימין]] יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי: # אם x מקיים <math>|x-x_0|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט. # אם x מקיים <math>|x-x_0|>R</math> אז הטור מתבדר. # אם <math>0<r<R</math> אז הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math>. ===הוכחה=== # יהי x כך ש-<math>|x-x_0|<R</math> ונבחר P כך ש-<math>|x-x_0|<P<R</math>. מכאן נובע ש-<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R<\frac1P</math> ולפיכך קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\forall n>n_0:\ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math>. מכאן נובע כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|<\frac{|x-x_0|}P<1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n<1</math>. מכאן שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n</math> הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|\cdot|x-x_0|^n</math> מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x. {{משל}} # נתון <math>|x-x_0|>R</math> ונרשום <math>P=|x-x_0|</math>. לפי הנתון <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R>\frac1P</math> ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-<math>\sqrt[n]{|a_n|}>\frac1P</math>. עבור אותם n-ים מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|>\frac{|x-x_0|}P=1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n>1</math>. לפיכך <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> מתבדר (כי האיבר הכללי <math>a_n(x-x_0)^n</math> לא שואף ל-0). {{משל}} # נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}} '''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>. '''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)