לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
פונקצית האקספוננט
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==קשר לפעולת החזקה== מהתכונה היסודית של כפל האקספוננטים ניתן להסיק לא מעט מתכונות החזקה המוכרות. ===הופכי=== לכל מספר <math>x</math> מתקיים כי :<math>e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1</math> לכן ההופכי של <math>e^x</math> הוא <math>e^{-x}</math> או בשפת העם: :<math>e^{-x} = \frac{1}{e^x}</math> (אגב שימו לב שנובע כי <math>e^x\neq 0</math>.) ===חיוביות=== לכל <math>0< x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math> כסכום של מספרים ממשיים חיוביים. כיוון ש <math>e^{-x}=\frac{1}{e^x}</math> נובע כי גם <math>e^{-x}>0</math> וכמובן ש<math>e^0=1>0</math> בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math> ===חזקות טבעיות=== לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>n=1+1+...+1</math> הוא סכום של n אחדות. לכן: :<math>e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n</math> כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n. ===חזקות רציונאליות=== בעזרת חקירת פונקציות (מונוטונית וערך הביניים) ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ולכל <math>0<n\in\mathbb{N}</math> קיים פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=a</math> ואנחנו מגדירים פתרון זה להיות <math>\sqrt[n]{a}</math>. כעת, אני מעוניין להוכיח כי <math>e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e}</math> אכן, אם נעלה מספר זה בחזקה הטבעית n נקבל כי :<math>\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n = e^{\frac{1}{n}}\cdot e^{\frac{1}{n}} \cdots e^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}}=e^{n\cdot \frac{1}{n}}=e^1=e </math> כיוון שיש פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=e</math>, אנחנו בטוחים שמצאנו את המספר הנכון. באופן דומה ניתן להוכיח כי לכל <math>0<n,k\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי :<math>e^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{e^n}=\left(\sqrt[k]{e}\right)^n</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)