לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11
" (פסקה)
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===הוכחה=== במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> מתכנסת, נאמר ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה. במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}}
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)