לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אנליזת פורייה - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה== ===מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים=== *פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם: **1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות. **2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים. *למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות). *פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין. *E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר. **לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה. *<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E. **<math>\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}</math> **<math>\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle </math> **<math>\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx</math> ***בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס. ***כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין. *נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math> *כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית. *יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד). *ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית. *תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math>, ונקרא למרחב שהיא פורשת W. *לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math> *נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה: *מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math> **הוכחה: **<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math> **<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math> **המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית. *מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math> **הוכחה: **<math>\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math> **נזכור כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>. **לכן קיבלנו כי <math>||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2</math> *מסקנה מיידית: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math> ====אי שיוויון בסל==== *כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{e_1,e_2,...\}</math>. *לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math> **הוכחה: **ראינו שלכל n מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>. **כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי <math>||v||^2</math> ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו. *בפרט נובע כי :<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math> ===למת רימן לבג=== *ראינו כי <math>\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}</math> היא קבוצה אורתונורמלית ב<math>E</math> (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה). *כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י: *לכל <math>1\leq n\in \mathbb{N}</math> הגדרנו <math>a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle</math>, ו<math>b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle</math> *נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס. *כלומר: :<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0</math> :<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0</math> *למת רימן-לבג: תהי <math>g</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>, אזי: :<math>\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0</math> *הוכחה: **<math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt </math> **נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> **קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>. **ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0</math> ===גרעין דיריכלה=== *גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math> *טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math> **הוכחה: **נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל: **<math>\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)</math> **נבחין בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)</math> **ובפרט <math>2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})</math> **ביחד נקבל <math>\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)</math> *נשים לב כי הפונקציה <math>2\sin(\frac{t}{2})</math> מתאפסת בנקודות <math>t=2\pi k</math>, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה. *זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה. *כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי <math>2\pi</math> כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות <math>2\pi</math>. *נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה: *ראשית, לכל <math>1\leq k \in \mathbb{N}</math> מתקיים: :<math>\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0</math> *לכן נקבל: :<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}</math> ====הסכומים החלקיים של טור פוריה==== *תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>: :<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math> *נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math> :<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math> :<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt</math> *זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt</math> *שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה. *טענה: תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי: :<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math> *כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>. **הוכחה: ::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math> ::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל: ::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math> ::ביחד נקבל כי: ::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math> *נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math> :כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל: :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)