הצגת המקור של הדף "אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)"

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן]

אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

==שאלה 1==
יהי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי.

'''א.''' הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.

;הוכחה
אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> וגם <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי <math>\epsilon>0</math> . לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in\N</math> כך שלכל <math>p\in\N</math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{k=M}^{M+p}b_k\right|<\epsilon</math> .

יהיו <math>n,m>M</math> , אזי:

<math>\begin{align}
|a_n-a_m|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\
&\le\Big|a_n-a_{n-1}\Big|+\Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big|+\cdots+\Big|a_{m+1}-a_m\Big|\\
&\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{k=m}^{n-1}b_k\le\sum_{k=M}^{n-1}b_k<\epsilon
\end{align}</math>

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

;דרך אחרת
נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

'''ב.''' אם הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> אז קיימת סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת לכל 
<math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וגם מתבדרת.

;הוכחה
נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k</math> ונגדיר <math>S_1=0</math>

הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>\Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\left|\sum\limits_{k=1}^n b_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\right|=|b_n|=b_n</math>

<math>\blacksquare</math>

;תיקון
תהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum (b_n-n^2)</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\Big|s_n-s_{n-1}\Big|=b_n-n^2<b_n</math>

==שאלה 2==
בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:


'''א.''' <math>\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

;פתרון
ראשית נבדוק התכנסות בהחלט: <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

<math>\ln(n)>1</math> לכל <math>n\ge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac1n\le\frac{\ln(n)}{n}</math> 
ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> מתבדר.

ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:

נביט בפונקציה <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math> , מספיק להראות כי <math>f'(x)\le0</math> כאשר <math>x\ge3</math> .

<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\ge e</math> ובפרט עבור <math>x\ge3</math> .


'''ב.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math>

;פתרון
נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

<math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to1</math> ולכן הטורים חברים.

מכיון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math> .

ולכן הטור מתכנס בהחלט.


'''ג.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math>

;פתרון 
נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

<math>\begin{align}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math>

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

==שאלה 3==
ציטוט משפטים

==שאלה 4==
יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:


'''א.''' <math>f(x)=x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

<math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=0</math> , חסומה כפול 0.

<math>\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.


'''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty)</math>

בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math>

<math>\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.


'''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בקרן <math>(0,\infty)</math>

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו.

מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הנו התמונה של <math>g</math> , ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

;פתרון נוסף (עם סדרות)

נגדיר את שתי הסדרות הבאות: 

<math>x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן...

==שאלה 5==
<math>f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases}</math>

צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.


;פתרון
נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math>

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.
 
במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא.

נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.'''

כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר:

מכיון שהגבולות <math>\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R</math> 

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:

<math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1)</math>

'''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x=1</math> .

==שאלה 6==
'''א.'''

<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align}</math>

'''ב.'''

<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align}</math>

'''ג.'''

<math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x}</math>

==שאלה 7==