הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית 1/הוכחות - דרגת שורות שווה דרגת עמודות"

== הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות ==

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות <math>A</math>).

ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).



הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:


תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.

כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.


יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.

נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.

כלומר

<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&|  \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>


נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.

כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.

נסמן  <math>[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}</math>

כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math> 

כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&|  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>

נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.

נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.

נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>

כלומר <math>DR=A</math>.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.


לפי כפל שורה שורה
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>

כלומר

<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>

לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>

ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>

(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ  <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.


נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>

בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן

<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.