הצגת המקור של הדף "בונוס ללינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"

==שאלת הבונוס==
תהי <math>A \in \mathbb{C}^{n}</math> הפיכה, ונתון ש <math>A^2</math> לכסינה. הוכח ש<math>A</math> לכסינה.


יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשלוש דרכים עיקריות:


'''1.''' הפותרים: '''רום דודקביץ''' ו'''עידו קוטלר'''

<math>m_{A^2}</math> מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן <math>m_{A^2}=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_k)</math> (החזקות הן אחד לפי התיקון/השלמה שנייה להרצאה כי <math>A^2</math> לכסינה). המטריצה <math>A</math> הפיכה ולכן גם <math>A^2</math> הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל <math>\lambda_i</math> קיימים שני שורשים '''שונים''' <math>\pm\alpha_i</math> כך ש<math>\alpha_i^2=\lambda_i</math>.


<math>m_{A^2}(A^2)=0</math> כלומר לכן 

<math>0=m_{A^2}(A^2)=(A^2-\alpha_1^2)\cdots(A^2-\alpha_k^2)=(A-\alpha_1)(A+\alpha_1)\cdots(A-\alpha_k)(A+\alpha_k)=0</math>.


נסמן <math> g=(x-\alpha_1)(x+\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)(x+\alpha_k)</math> וקבלנו ש<math>g(A)=0</math> ולכן הפולינום המינימלי של <math>A</math> מחלק את <math>g(A)</math>. אבל <math>g</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם <math>x^2</math> לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) <math>A</math> לכסינה.


'''2.''' הפותרים: '''דניאל ורדי-זר''', '''אסף רוזן''' ו'''ניל וקסלר'''

אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי <math>J</math> צורת הז'ורדן של <math>A</math>. אזי <math>A=P^{-1}JP</math>, נעלה בריבוע ונקבל <math>A^2=P^{-1}J^2P</math>כלומר <math>A^2</math> ו <math>J^2</math> דומות. 


נניח בשלילה ש<math>A</math> לא לכסינה ונוכיח שנובע ש<math>J^2</math> לא לכסינה וזו סתירה לכך ש<math>A^2</math> לכסינה.


<math>J</math> היא סכום ישר של בלוקים, ולכן <math>J^2</math> היא סכום ישר של הבלוקים של <math>J</math> בריבוע. הנחנו ש<math>A</math> לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה <math>J</math> יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).


נניח <math>J_r(\lambda)</math> בלוק ז'ורדן ב<math>J</math> כך ש<math>r\geq 2</math>. מכיוון ש<math>A</math> הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן <math>\lambda \neq 0</math>. לכן בהכרח (תרגיל) <math>J_r(\lambda)^2</math> מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את <math>\lambda^2</math>. ולכן <math>rank(J_r(\lambda)^2-\lambda^2I)>0</math>. לכן יש ל <math>J_r(\lambda)^2</math> פחות מ <math>r</math> וקטורים עצמיים בת"ל.


לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי <math>rank(A\oplus B)=rankA+rankB</math>. אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה <math>J^2</math> את הבלוק <math>J_r(\lambda)^2</math> שתורם פחות מ <math>r</math> וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה <math>J^2</math> יש פחות מ<math>n</math> וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.


'''3.''' הפותר: '''עדן קופרווסר'''

אנחנו מעל המרוכבים, ולכן <math>A</math> דומה למטריצה משולשית <math>U</math> שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של <math>A</math>. לכן <math>A^2=P^{-1}D^2P</math> כלומר הע"ע של <math>A^2</math> הם בדיוק הריבועים של הע"ע של <math>A</math>.


נוכיח שהמרחב העצמי של <math>A^2</math> עבור הע"ע <math>\lambda_i^2</math> (נסמן אותו ב<math>V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math>), שווה לסכום המרחבים העצמיים של <math>A</math> עבור הע"ע <math>\pm\lambda_i</math> (נסמן אותם ב<math>V_{\pm\lambda_i}^A</math>. כלומר נוכיח ש <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math>.


דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח <math>w \in V_{\lambda_i}^A</math> אזי <math>Aw=\lambda_i w</math> וגם <math>w \in V_{-\lambda_i}^A</math> אזי <math>Aw=-\lambda_i w</math> לכן ההפרש בינהם יוצא <math>0=Aw-Aw=2\lambda_iw</math>. כעת, נתון ש<math>A</math> לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן <math>w=0</math> כלומר הסכום הוא ישר.


דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח <math>w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math> אזי <math>w=v_1+v_2</math> כך ש <math>Aw=Av_1+Av_2=\lambda_i v_1-\lambda_i v_2</math> ונכפול שוב במטריצה לקבל <math>A^2w=\lambda_i^2v_1+\lambda_i^2v_2=\lambda_i^2w</math> ולכן <math>w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math>. ולכן <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} \supseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math>.


בכיוון ההפוך, נניח <math>w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2}</math> לכן <math>(A^2-\lambda_i^2I)w=0</math> לכן <math>(A-\lambda_iI)(A+\lambda_iI)w=0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)(A-\lambda_iI)w=0</math>. אם <math>(A+\lambda_iI)w=0</math> אזי <math>w \in V_{-\lambda_i}^A</math> וסיימנו. אם <math>(A-\lambda_iI)w=0</math> אזי <math>w \in V_{\lambda_i}^A</math> וסיימנו. 


אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר <math>(A-\lambda_iI)w \neq 0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)w \neq 0</math> אזי נסמן <math>u_1=(A+\lambda_iI)w</math> ונסמן <math>u_2=(A-\lambda_iI)w</math>.

מהמשוואות למעלה רואים ש <math>(A-\lambda_iI)u_1=0</math> וגם <math>(A+\lambda_iI)u_2=0</math>. לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של <math>A</math> ולכן <math>u_1-u_2 \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math>. אבל <math>u_1-u_2=Aw+\lambda_iw-Aw + \lambda_iw = 2\lambda_iw</math> ולכן <math>2\lambda_iw \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math> ולכן <math>w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A</math> ולכן <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} \subseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math>.

מכיוון שהראנו הכלה דו-כיוונית אזי <math>V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A </math> כפי שרצינו להוכיח.


כעת, <math>A^2</math> לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה <math>n</math>. אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן <math>\sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=n</math> אבל זה שווה <math>n=\sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=\sum_i[dim(V_{\lambda_i}^A)+dim(V_{-\lambda_i}^A)]</math> אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של <math>A</math>, ויצא לנו שהוא גם כן שווה <math>n</math>. ולכן <math>A</math> לכסינה.