הצגת המקור של הדף "הומומורפיזם של חבורות"

'''הומומורפיזם של חבורות''' הוא [[פונקציה]] מ[[חבורה]] אחת לשניה, השומרת על הפעולה.

'''ניסוח פורמלי'''. תהיינה G,H חבורות. הומומורפיזם מ-G ל-H הוא פונקציה <math>\ f: G \rightarrow H</math>, המקיימת <math>\ f(xy) = f(x)f(y)</math> לכל <math>\ x,y \in G</math>. בשוויון זה, הפעולה משמאל היא הפעולה של G, ואילו הפעולה מימין היא פעולת H.

להומומורפיזמים המקיימים תכונות נוספות יש שמות מיוחדים: הומומורפיזם חד-חד-ערכי הוא [[מונומורפיזם]]; הומומורפיזם על הוא [[אפימורפיזם]]; הומומורפיזם שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על הוא [[איזומורפיזם]]. הומומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא [[אנדומורפיזם]], ואיזומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא [[אוטומורפיזם]].

== התמונה והגרעין ==

לכל הומומורפיזם <math>\ f : G \rightarrow H</math> אפשר להגדיר [[תמונה של פונקציה|תמונה]] ו[[גרעין של הומומורפיזם|גרעין]]. התמונה היא תת-חבורה של הטווח H. הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של המקור G.

* [[משפט האיזומורפיזם הראשון]] מתרגם הומומורפיזמים לאיזומורפיזמים: לכל הומומורפיזם <math>\ f : G \rightarrow H</math>, [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ G/\operatorname{Ker}(f)</math> איזומורפית לתמונה של f. 

=== דגשים ===

1. כאמור לעיל, התמונה של הומומורפיזם מ-G ל-H היא תת-חבורה של H. לתמונה, ככלל, אין תכונות נוספות. כלומר, בהנתן חבורה H ותת-חבורה שלה H_0, תמיד קיים הומומורפיזם מחבורה כלשהי אל H, שתמונתו היא בדיוק H_0. 

2. הגרעין של הומומורפיזם מחבורה G לחבורה כלשהי, הוא תת-חבורה נורמלית של G. גם כאן, לכל חבורה G ותת-חבורה נורמלית שלה, G_0, יש הומומורפיזם מ-G לחבורה מתאימה, שגרעינו שווה בדיוק ל-G_0. 

3. האמור לעיל ב-1 ו-2 מותנה בכך שהחבורה "השניה" ניתנת לבחירה חופשית. למשל, אין זה נכון שלכל תת-חבורה H_0 של חבורה H קיים הומומורפיזם *מ-H* ל-H שתמונתו H_0; ואין זה נכון שלכל תת-חבורה נורמלית G_0 של חבורה G קיים הומומורפיזם מ-G *ל-G* שגרעינו G_0.

== הומומורפיזם וסדר של אברים ==

כל הומומורפיזם מקיים <math>\ \varphi(x^n) = \varphi(x)^n</math>. לכן, אם ה[[סדר של איבר|סדר]] של x מחלק את n, אז גם הסדר של התמונה שלו מחלקת את n. בפרט, הסדר של <math>\ \varphi(x)</math> מחלק את הסדר של x. 

לעומת זאת, מונומורפיזם (כלומר, הומומורפיזם חד-חד-ערכי) שומר על הסדר.

== תאור הומומורפיזמים ==

אם שני הומומורפיזמים מחבורה G (לחבורה כלשהי) מסכימים על [[קבוצת יוצרים]], אז הם שווים. מכאן שכדי לתאר הומומורפיזם, די לקבוע לאן הוא שולח קבוצת יוצרים S של החבורה. הסיבה היא שכל איבר בחבורה אפשר להציג כמכפלה של אברי S, ואם <math>\ g = s_1 \cdots s_m</math> אז לכל הומומורפיזם <math>\ \varphi</math> מ-G, <math>\ \varphi(g) = \varphi(s_1) \cdots \varphi(s_m)</math> ולכן אפשר לחשב את <math>\ \varphi(g)</math> מידיעת 
<math>\ \varphi(s_1), \dots,\varphi(s_m)</math>.

=== דגשים ===

בתאור הומומורפיזם, די לתאר אותו על קבוצת יוצרים כלשהי. לחבורה יכולות להיות קבוצות יוצרים רבות: אין שום צורך להגדיר את ההומומורפיזם על כולן.

תהי <math>\ \{g_1,\dots,g_m\}</math> קבוצת יוצרים של חבורה G, ותהי H חבורה כלשהי. כל הומומורפיזם <math>\ f : G \rightarrow H</math> נקבע על-ידי התמונות <math>\ f(g_1),\dots,f(g_m)</math>. מאידך, לא כל בחירה של התמונות מגדירה הומומורפיזם! לתאור מלא של התופעה ראו [[יוצרים ויחסים]].

'''תרגיל''' (89214 תשע"ב מועד א'). כמה הומומורפיזמים יש מה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>\ \mathbb{Z}_{12}</math> ל[[חבורה סימטרית|חבורה הסימטרית]] <math>\ S_5</math>? 

'''פתרון'''. הומומורפיזם f כזה נקבע על-ידי תמונת האיבר 1, אבל התמונה מקיימת <math>\ \operatorname{id} = f(0) = f(12) = f(1)^{12}</math>, ולכן היא מסדר המחלק את 12. בחבורה <math>\ S_5</math> יש רק [[מחלקת צמידות]] אחת שהסדר של אברים בה אינו מחלק את 12, ובה 24 אברים; לכן מספר ההומומורפיזמים הוא 120-24=96. 


[[קטגוריה:89214]]