הומומורפיזם של חבורות

הומומורפיזם של חבורות הוא פונקציה מחבורה אחת לשניה, השומרת על הפעולה.

ניסוח פורמלי. תהיינה G,H חבורות. הומומורפיזם מ-G ל-H הוא פונקציה [math]\displaystyle{ \ f: G \rightarrow H }[/math], המקיימת [math]\displaystyle{ \ f(xy) = f(x)f(y) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \ x,y \in G }[/math]. בשוויון זה, הפעולה משמאל היא הפעולה של G, ואילו הפעולה מימין היא פעולת H.

להומומורפיזמים המקיימים תכונות נוספות יש שמות מיוחדים: הומומורפיזם חד-חד-ערכי הוא מונומורפיזם; הומומורפיזם על הוא אפימורפיזם; הומומורפיזם שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על הוא איזומורפיזם. הומומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא אנדומורפיזם, ואיזומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא אוטומורפיזם.

התמונה והגרעין

לכל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ f : G \rightarrow H }[/math] אפשר להגדיר תמונה וגרעין. התמונה היא תת-חבורה של הטווח H. הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של המקור G.

• משפט האיזומורפיזם הראשון מתרגם הומומורפיזמים לאיזומורפיזמים: לכל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ f : G \rightarrow H }[/math], חבורת המנה [math]\displaystyle{ \ G/\operatorname{Ker}(f) }[/math] איזומורפית לתמונה של f.

דגשים

1. כאמור לעיל, התמונה של הומומורפיזם מ-G ל-H היא תת-חבורה של H. לתמונה, ככלל, אין תכונות נוספות. כלומר, בהנתן חבורה H ותת-חבורה שלה H_0, תמיד קיים הומומורפיזם מחבורה כלשהי אל H, שתמונתו היא בדיוק H_0.

2. הגרעין של הומומורפיזם מחבורה G לחבורה כלשהי, הוא תת-חבורה נורמלית של G. גם כאן, לכל חבורה G ותת-חבורה נורמלית שלה, G_0, יש הומומורפיזם מ-G לחבורה מתאימה, שגרעינו שווה בדיוק ל-G_0.

3. האמור לעיל ב-1 ו-2 מותנה בכך שהחבורה "השניה" ניתנת לבחירה חופשית. למשל, אין זה נכון שלכל תת-חבורה H_0 של חבורה H קיים הומומורפיזם *מ-H* ל-H שתמונתו H_0; ואין זה נכון שלכל תת-חבורה נורמלית G_0 של חבורה G קיים הומומורפיזם מ-G *ל-G* שגרעינו G_0.

הומומורפיזם וסדר של אברים

כל הומומורפיזם מקיים [math]\displaystyle{ \ \varphi(x^n) = \varphi(x)^n }[/math]. לכן, אם הסדר של x מחלק את n, אז גם הסדר של התמונה שלו מחלקת את n. בפרט, הסדר של [math]\displaystyle{ \ \varphi(x) }[/math] מחלק את הסדר של x.

לעומת זאת, מונומורפיזם (כלומר, הומומורפיזם חד-חד-ערכי) שומר על הסדר.

תאור הומומורפיזמים

אם שני הומומורפיזמים מחבורה G (לחבורה כלשהי) מסכימים על קבוצת יוצרים, אז הם שווים. מכאן שכדי לתאר הומומורפיזם, די לקבוע לאן הוא שולח קבוצת יוצרים S של החבורה. הסיבה היא שכל איבר בחבורה אפשר להציג כמכפלה של אברי S, ואם [math]\displaystyle{ \ g = s_1 \cdots s_m }[/math] אז לכל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ \varphi }[/math] מ-G, [math]\displaystyle{ \ \varphi(g) = \varphi(s_1) \cdots \varphi(s_m) }[/math] ולכן אפשר לחשב את [math]\displaystyle{ \ \varphi(g) }[/math] מידיעת [math]\displaystyle{ \ \varphi(s_1), \dots,\varphi(s_m) }[/math].

דגשים

בתאור הומומורפיזם, די לתאר אותו על קבוצת יוצרים כלשהי. לחבורה יכולות להיות קבוצות יוצרים רבות: אין שום צורך להגדיר את ההומומורפיזם על כולן.

תהי [math]\displaystyle{ \ \{g_1,\dots,g_m\} }[/math] קבוצת יוצרים של חבורה G, ותהי H חבורה כלשהי. כל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ f : G \rightarrow H }[/math] נקבע על-ידי התמונות [math]\displaystyle{ \ f(g_1),\dots,f(g_m) }[/math]. מאידך, לא כל בחירה של התמונות מגדירה הומומורפיזם! לתאור מלא של התופעה ראו יוצרים ויחסים.

תרגיל (89214 תשע"ב מועד א'). כמה הומומורפיזמים יש מהחבורה הציקלית [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{12} }[/math] לחבורה הסימטרית [math]\displaystyle{ \ S_5 }[/math]?

פתרון. הומומורפיזם f כזה נקבע על-ידי תמונת האיבר 1, אבל התמונה מקיימת [math]\displaystyle{ \ \operatorname{id} = f(0) = f(12) = f(1)^{12} }[/math], ולכן היא מסדר המחלק את 12. בחבורה [math]\displaystyle{ \ S_5 }[/math] יש רק מחלקת צמידות אחת שהסדר של אברים בה אינו מחלק את 12, ובה 24 אברים; לכן מספר ההומומורפיזמים הוא 120-24=96.