הצגת המקור של הדף "פתרון משוואה ממעלה 3"

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

==לפני שמתחילים==
בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-\frac{a}{3}</math> .

המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- <math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פתרון אם ורק אם <math>x=y_0-\frac{a}{3}</math> הוא פתרון של המשוואה ב- <math>x</math> .

'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> .'''

'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- <math>0</math> .

==שיטה ראשונה (טארטאגליה)==
נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים
:<math>u^3+v^3=-q</math>
:<math>uv=-\frac{p}{3}</math> . 

'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

'''הוכחה:''' נציב ונבדוק:
<center><math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q</math></center>

<center><math>=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math></center>

'''מש"ל.'''

כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש- <math>u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27}</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math> . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math> .

==שיטה שניה (מאוחרת יותר)==
נציב <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}</math> . אם נשתמש בזהות <math>\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)</math> נקבל:

<center><math>y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)</math></center>

<center><math>=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q</math></center>

לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש- <math>\cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3}</math> כדי ש- <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> יהיה פתרון.
בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- <math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).