הצגת המקור של הדף "קוד:תנאים שקולים לסכום ישר"

\begin{lem}

יהי $W=U_1+\cdots+U_k$ סכום של תתי-מרחבים של $V$. אזי התנאים הבאים שקולים:

\begin{enumerate}

\item הסכום $W=U_1+\cdots+U_k$ הוא ישר.

\item נניח כי מתקיים $u_1+u_2+\cdots+u_k=0$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, 
$u_i\in U_i$, אזי $u_1=\cdots=u_k=0$.

\item לכל $w\in W$ יש הצגה יחידה כסכום $w=u_1+u_2+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$.

\item לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $\left(U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k\right)\cap U_i=\emptyset$.

\item לכל $\sigma\in S_k$ מתקיים $W=U_{\sigma\left(1 \right )}\oplus\cdots\oplus U_{\sigma\left(k \right )}$.

\end{enumerate}

\end{lem}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{2\Leftarrow1}$] נניח ש-$u_1+\cdots+u_k=0$, לכן $\underbrace{u_1+\cdots+u_{k-1}}_{\in U_1+\cdots+U_{k-1}}=\underbrace{-u_k}_{\in U_k}$. אבל לפי הגדרת הסכום הישר, $\left(U_1+\cdots+U_{k-1}\right)\cap U_k=\left\{0\right\}$, ולכן $u_k=0$. באופן דומה ממשיכים, ומקבלים $u_1=\cdots=u_k=0$.

\item[$\boxed{3\Leftarrow2}$] לפי הגדרת הסכום, לכל $w\in W$ יש הצגה כסכום $w=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$. נניח כי קיימות ל-$w$ שתי הצגות, $u_1+\cdots+u_k=w=\tilde{u}_1+\cdots+\tilde{u}_k$. אזי 
$\underbrace{\left (u_1-\tilde{u}_1  \right )}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{\left (u_k-\tilde{u}_k  \right )}_{\in U_k}=0$
לכן, לפי סעיף 2, לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $u_i-\tilde{u}_i=0$, כלומר $u_i=\tilde{u}_i$, ולכן ההצגות זהות.

\item[$\boxed{4\Leftarrow3}$] נניח שקיים $z\in V$ כך ש-$z\in U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k$ וכן $z\in U_i$. לכן קיימים $u_i\in U_i$ שעבורם $u_i=z=u_1+\cdots+u_{i-1}+u_{i+1}+\cdots+u_k$. אבל לפי סעיף 3 נקבל $u_1=\cdots=u_k=0$, ולכן $z=0$.

\item[$\boxed{5\Leftarrow4}$] תהי $\sigma\in S_k$. ראשית, נוכיח שהסכום $U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$ ישר. לכל $i=2,\dots,k$, 
$$\left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )}  \right )\cap U_i\subseteq \left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )}+U_{\sigma\left(i+1 \right )}+\cdots+U_k  \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \}$$
לכן $\left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )}  \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \}$, ומכאן שהסכום ישר.

כעת נוכיח ש-$W=U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$.

$\Leftrightarrow w\in U_1+\cdots+U_k$
לכל $i=1,\dots,k$ קיים $u_i\in U_i$ שעבורם $x=u_1+\cdots+u_k$ 
$\Leftrightarrow$
לכל $i=1,\dots,k$ קיים $u_{\sigma\left(i\right)}\in U_{\sigma\left(i\right)}$ שעבורם $x=u_{\sigma\left(1\right)}+\cdots+u_{\sigma\left(k\right)}$ 
$\Leftrightarrow$
$w\in U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$

\item[$\boxed{1\Leftarrow5}$] נבחר בתור $\sigma$ את תמורת הזהות.

\end{description}

\end{proof}