הצגת המקור של הדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3"

== שאלה 1 ==
יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו:

<math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פונקציית האינדיקטור <math>I_E:X \rightarrow \mathbb{R}</math> היא מדידה.

== שאלה 2 ==
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> יתקיים לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:

 אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.

'''רמז''': לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> יש סדרת נקודות <math>\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty</math> ב-<math>E</math> המתכנסת אליה.

== שאלה 3 ==
יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה, ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה.

('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות).

== שאלה 4 ==
תהי <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):

א. <math>A=\{ x \in \mathbb{R}:f^3(x)<x \}</math>

ב. <math>B=\{x \in \mathbb{R}: f^2(x)+e^{f(x)}<f(x)+e^x \}</math>

== שאלה 5 ==

יהי <math>(X,S)</math> מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה ומקיימת <math>f(x) \neq 0</math> לכל <math>x \in X</math>, אזי הפונקציה <math>\frac{1}{f} :X \rightarrow\mathbb{R}</math> גם היא מדידה.

בהצלחה!