משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx }[/math]. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב [math]\displaystyle{ t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \int=\int e^t\frac{\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3 }[/math]. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך: [math]\displaystyle{ t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3 }[/math]
2. נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. [math]\displaystyle{ x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2} }[/math]. לכן השטח הוא [math]\displaystyle{ 2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ x=r\sin(\theta) }[/math]... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה [math]\displaystyle{ x=r\sin(\theta) }[/math] היינו צריכים לבחור [math]\displaystyle{ \theta }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ x=r }[/math], אבל יכולנו לבחור [math]\displaystyle{ \theta=\frac{r\pi}2 }[/math] כי אז [math]\displaystyle{ x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x=-r }[/math] יכולנו לבחור [math]\displaystyle{ -\frac{r\pi}2 }[/math]. אם כן היינו מוצאים [math]\displaystyle{ S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2 }[/math]. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-[math]\displaystyle{ \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta) }[/math], מה שנכון רק כאשר [math]\displaystyle{ \cos(\theta)\ge0 }[/math]. הטווח של האינטגרציה היה [math]\displaystyle{ \left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right] }[/math], שכולל תחומים בהם [math]\displaystyle{ \cos(\theta)\lt 0 }[/math]. בתחומים אלה צריך לבחור [math]\displaystyle{ \sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta) }[/math] ולחלק את הקטע [math]\displaystyle{ \left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right] }[/math] לתחומים שונים לפי הסימן של [math]\displaystyle{ \cos(\theta) }[/math].

יישומים של אינטגרציה

1. אם בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\le g(x) }[/math] כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx }[/math].
2. נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור [math]\displaystyle{ f(x)=c }[/math] קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - [math]\displaystyle{ \pi c^2(b-a) }[/math]. כעת נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n=b }[/math]. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום [math]\displaystyle{ M_k }[/math] ומינימום [math]\displaystyle{ m_k }[/math] בקטע זה. נסמן ב-[math]\displaystyle{ V_k }[/math] הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים [math]\displaystyle{ \pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1}) }[/math]. יוצא שהנפח בסה"כ הוא [math]\displaystyle{ V=\sum_{k=1}^n V_k }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1}) }[/math]. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \overline S(\pi f^2,P) }[/math] ובצד שמאל [math]\displaystyle{ \underline S(\pi f^2,P) }[/math]. ז"א לכל חלוקה P [math]\displaystyle{ \underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P) }[/math]. נשאיף [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] וכיוון ש-f רציפה גם [math]\displaystyle{ \pi f^2 }[/math] רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b \pi f^2=V }[/math].

דוגמאות

1. נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: [math]\displaystyle{ V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3 }[/math].
2. נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) [math]\displaystyle{ y=\frac rhx+0 }[/math]. לפי זה הנפח הוא [math]\displaystyle{ \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3 }[/math], כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
3. נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה