הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "==משפט 10== ===הוכחה=== לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math>...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־13:45, 1 במאי 2011
תוכן עניינים
משפט 10
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף
אזי
. נותר להוכיח ש-
מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם
אחרת: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R
כלומר הסכום מתכנס.![]()
הערות ודוגמאות
- משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר
(ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור
מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1^\infty a_n b_n
, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
- נניח ש-
יורדת לאפס ונראה שהטור
מתכנס. נגדיר
ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים
חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-
. לפי זה לכל n מתקיים
. לכן
.
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה:
. כאשר f אינטגרבילית מקומית ב-
מגדירים
ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי
. למשל אם f רציפה למקוטעין ב-
אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נגדיר
להיות
בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-
מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר
ונבדוק:
- שני האינטגרלים
מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2
מתכנס אם"ם
מתכנס. באותו אופן
מתכנס אם"ם
מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים
אז הם שווים ל-
. ובכן עפ"י משפט 2
וגם
. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי מסוג שני
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-
f אינטגרבילית בקטע
(למשל אם f רציפה למקוטעין ב-
).
אז נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל
מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע
. אם אין גבול אומרים ש-
מתבדר.
דוגמאות
- נקח
ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי
. עבור
נקבל
והאינטגרל מתבדר. עבור
נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}
.
-
. נציב
וכן
לקבל
כלומר מתכנס.
- דרך קצרה:
.
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע .
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז
אינטגרבילית בקטע
ומתקיים
.
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע
אם"ם היא אינטגרבילית בקטע
ואם כן
.
משפט 3
תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי
קיים אם"ם F חסומה בקטע
.
מסקנה
עבור האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חבומים כאשר
.
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים
.
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.