הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11"
(יצירת דף עם התוכן "==משפט 7== תהי F מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math> אז <math>\lim_{x\to\infty}F(x)</math> קיים ממש אם"ם F מקיימת את תנאי ...") |
(←משפט 10 {{הערה|(משפט דיריכלה לטורים)}}) |
||
שורה 35: | שורה 35: | ||
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n</math> ונגדיר סכומים חלקיים <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math> אז <math>\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}</math>. אם כן <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_nb_N</math>. ז"א <math>\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> - סכימה בחלקים. | כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n</math> ונגדיר סכומים חלקיים <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math> אז <math>\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}</math>. אם כן <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_nb_N</math>. ז"א <math>\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> - סכימה בחלקים. | ||
==משפט 10 {{הערה|(משפט דיריכלה לטורים)}}== | ==משפט 10 {{הערה|(משפט דיריכלה לטורים)}}== | ||
− | + | נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים <math>S_N</math> חסומים (כלומר <math>|S_N|\le M</math>). עוד נניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אז <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס. | |
+ | |||
+ | {{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} | ||
+ | |||
+ | ===הוכחה=== | ||
+ | לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\sum_{n=1}^\infty S_n(b_n-b_{n+1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. | ||
+ | {| | ||
+ | {{=|l=\sum_{n=1}^\infty\vert S_n\vert\vert b_n-b_{n+1}\vert | ||
+ | |o=\le | ||
+ | |r=\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})c | ||
+ | |c=נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}</math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת: | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=cM\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1}) | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=cM(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n) | ||
+ | |c=הטור טלסקופי. | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=cMb_1 | ||
+ | }} | ||
+ | |} | ||
+ | כלומר הסכום מתכנס. {{משל}} | ||
+ | ===הערה=== | ||
+ | משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, מתכנס. | ||
+ | ===דוגמה=== | ||
+ | נניח ש-<math>\{b_n\}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן | ||
+ | {| | ||
+ | {{=|l=\sum_{n=1}^N\cos(n) | ||
+ | |r=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^N\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2)) | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=-\frac12\frac{\sin(1-1/2)}{\sin(1/2)}+\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)} | ||
+ | |c=הטור טלסקופי, לכן: | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=-\frac12+\frac12\frac1{\sin(1/2)} | ||
+ | |o=\le | ||
+ | }} | ||
+ | |}{{משל}} |
גרסה מ־11:13, 2 במאי 2011
תוכן עניינים
משפט 7
תהי F מוגדרת בקטע אז
קיים ממש אם"ם F מקיימת את תנאי קושי ב-
.
=הוכחה
אם ידוע ש- קל לקיים את תנאי קושי וכבר עשינו זאת. לצד השני נניח שתנאי קושי מתקיים עבור F. תחילה נראה ש-F חסומה ב-
. מתנאי קושי נובע שקיים
כך שלכל
,
. מכאן שלכל
. לכן F חסומה בקטע
. כעת נתבונן בסדרת הערכים
. זאת סדרה חסומה. עפ"י בולצאנו וירשטרס קיימת לה תת סדרה מתכנסת
כאשר
קיים ונקרא לו L.
טענה:
קיים ושווה ל-L. הוכחה: יהי
נתון. כיוון ש-
קיים
כך שלכל
,
. כמו כן, עפ"י תנאי קושי קיים
כך שאם
אז
. נגדיר
. צ"ל: לכל
,
, מה שגורר
. ובכן אם
נוכל לבחור
כך ש-
(כי
). כעת לפי הבניה שלנו
. נובע ש-
.
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \in\limits_a^\infty f
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכלקיים
כך שאם
אז
.
הוכחה
לכל נגדיר
. לפי ההגדרה
מתכנס אם"ם
מתכנס...
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נאמר ש-
מתכנס בהחלט אם
מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב-. אם
אז
מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט ב-
אז f אינטגרבילית שם.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-
מתכנס אז הוא מקיים את תנאי קושי וקיים
כך שאם
אז
. נובע מיד ש-
. קיימנו את תנאי קושי ל-
ולכן הוא מתכנס.
גישה אחרת: נגדיר
וכן
. לכן
לא שליליות. בודקים שלכל x
וכן
. (גאומטרית:
השטח שמעל ציר ה-x ו-
השטח שמתחת)
כעת אם נתון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty|f|
מתכנס. מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש-...
עכשיו נובע ממשפט 1 ש-...
דוגמאות
- ...
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב-
כך ש-
מתכנס אעפ"י ש-
, ולהיפך:
מתכנס ואילו
מתבדר. ובכן אם
אז
ואין גבול. לכל האינטגרל מתבדר. לעומת זאת,
, שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר f ע"י גרף (יטופל בהמשך) moveTo(1/2,0);lineTo(1,1);lineTo(3/2,0);lineTo(7/4,0);lineTo(2,1);lineTo(9/4,0);lineTo(25/8,0);...
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. ז"א קיים
כך שלכל
. עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
אזי
מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר
. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-
לכל
. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים שלכל
. כעת
. נראה שלכל אחד מהביטויים הנ"ל יש גבול כאשר
. ובכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a]^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0
. נותר להוכיח שקיים
. ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty F\cdot g'
מתכנס עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכןלכל
או
לכל
. כמקרה ראשון נניח ש-
. יוצא שלכל
מתקיים
ושהאינטגרל של
הוא
כי נתון ש-
בסיכון הראנו ש-
מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס
ולכן מתכנס
. לכן קיים
וסיימנו את ההוכחה.
![]()
דוגמה: לכל
. הוכחה: נגדיר
. אז ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים:
. יתר על כן
פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \alphax לא מוכרת): -\alphax^{-\alpha-1}
בקטעמתקיים
![]()
ז"א אבל לכל
כי
ולכן
ואילו
ולא מושפע ע"י הערך המוחלט. עפ"י מבחן ההשוואה מספיק להוכיח ש-
מתבדר. אמנם
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin^2(x)}x\mathrm dx=\int\limit_1^\infty\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx
שמתכנס עפ"י דיריכלה באותו נימוק כמו זה שהבאנו לאינטגרלוכידוע
מתבדר ל-
.
נוכיח בדרך השלילה שהאינטגרל שלנו מתבדר. ובכן אם הוא מתכנס אז משפט אחד אומר ש-
הוא סכום של אינטגרלים מתכנסים ולכן מתכנס. אבל סכום זה הוא
שמתבדר. הסתירה מוכיחה את הטענה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום ונגדיר סכומים חלקיים
אז
. אם כן
. ז"א
- סכימה בחלקים.
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נניח שלטור יש סכומים חלקיים
חסומים (כלומר
). עוד נניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אז
מתכנס.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף
אזי
. נותר להוכיח ש-
מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.
נסמן c כ-1 אם ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||||
הטור טלסקופי. | ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
כלומר הסכום מתכנס.
הערה
משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור
מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור
, שהוא טור לייבניץ, מתכנס.
דוגמה
נניח ש- יורדת לאפס ונראה שהטור
מתכנס. נגדיר
ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים
חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-
. לפי זה לכל n מתקיים
. לכן
![]() |
![]() |
![]() |
||||
הטור טלסקופי, לכן: | ![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)