הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11"
מ (←משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}) |
|||
שורה 17: | שורה 17: | ||
==משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}== | ==משפט 9 {{הערה|(מבחן דיריכלה)}}== | ||
− | נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> (ז"א קיים <math>M\ge0</math> כך ש-<math>\forall b>a:\ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M</math>. עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> אזי <math>\int\limits_a^\infty f(x)g(x)\mathrm dx</math> מתכנס. | + | נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> (ז"א קיים <math>M\ge0</math> כך ש-<math>\forall b>a:\ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M</math>). עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> אזי <math>\int\limits_a^\infty f(x)g(x)\mathrm dx</math> מתכנס. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לכל <math>x>a</math> נגדיר <math>F(x)=\int\limits_a^x f</math>. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-<math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x>a</math>. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-<math>\forall x>a:\ |F(x)|\le M</math>. כעת <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g=\left[F(x)g(x)\right]_{x=a}^\infty-\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים. ובכן <math>\lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a}^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0</math>. נותר להוכיח שקיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math>, ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math> מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן <math>g'(x)\ge0</math> לכל <math>x>a</math> או <math>g'(x)\le0</math> לכל <math>x>a</math>. נניח ש-<math>\forall x>a:\ g'(x)\ge0</math> (ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל <math>x>a</math> מתקיים <math>0\le|F(x)g'(x)|=|F(x)|g'(x)\le Mg'(x)</math> ושהאינטגרל של <math>Mg'(x)</math> הוא <math>\int\limits_a^\infty Mg'=[Mg(x)]_{x=a}^\infty=0-Mg(a)</math> כי נתון ש-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> לסיכום הראנו ש-<math>\int\limits_a^\infty Mg'</math> מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס <math>\int\limits_a^\infty |F|\cdot g'</math> ולכן מתכנס <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. לכן קיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math> וסיימנו את ההוכחה. {{משל}} | לכל <math>x>a</math> נגדיר <math>F(x)=\int\limits_a^x f</math>. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-<math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x>a</math>. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-<math>\forall x>a:\ |F(x)|\le M</math>. כעת <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g=\left[F(x)g(x)\right]_{x=a}^\infty-\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים. ובכן <math>\lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a}^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0</math>. נותר להוכיח שקיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math>, ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math> מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן <math>g'(x)\ge0</math> לכל <math>x>a</math> או <math>g'(x)\le0</math> לכל <math>x>a</math>. נניח ש-<math>\forall x>a:\ g'(x)\ge0</math> (ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל <math>x>a</math> מתקיים <math>0\le|F(x)g'(x)|=|F(x)|g'(x)\le Mg'(x)</math> ושהאינטגרל של <math>Mg'(x)</math> הוא <math>\int\limits_a^\infty Mg'=[Mg(x)]_{x=a}^\infty=0-Mg(a)</math> כי נתון ש-<math>\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math> לסיכום הראנו ש-<math>\int\limits_a^\infty Mg'</math> מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס <math>\int\limits_a^\infty |F|\cdot g'</math> ולכן מתכנס <math>\int\limits_a^\infty F\cdot g'</math>. לכן קיים <math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'</math> וסיימנו את ההוכחה. {{משל}} |
גרסה מ־16:18, 6 במאי 2011
את משפט 7 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-12.4.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. נאמר ש- מתכנס בהחלט אם מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אם מתכנס אז מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט בקטע אז f אינטגרבילית בקטע.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס הוא מקיים את תנאי קושי וקיים כך שאם אז . נובע מיד ש-. קיימנו את תנאי קושי ל- ולכן הוא מתכנס.
גישה אחרת: נגדיר וכן . לכן אי-שליליות. קל להראות שלכל x, וכן (גאומטרית: השטח שמעל ציר ה-x ו- השטח שמתחת).
כעת אם נתון ש- מתכנס, מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש- שני האינטגרלים מתכנסים ונובע ממשפט 1 ש-, כלומר מתכנס.
דוגמאות
- - מתכנס או מתבדר? נראה התכנסות ע"י הוכחת התכנסות בהחלט: ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה, מתכנס.
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב- כך ש- מתכנס אעפ"י ש-, ולהיפך: מתכנס ואילו מתבדר. ובכן אם אז ואין גבול, לכן האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, , שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר פונקציה f ע"י הגרף
אזי לא קיים ולכן מתבדר. לעומת זאת,השטח שמתחת לגרף
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר (ז"א קיים כך ש-). עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו- אזי מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר . כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש- לכל . יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים ש-. כעת . נראה שכל אחד מהמחוברים באגף ימין הם גבולות מתכנסים. ובכן . נותר להוכיח שקיים , ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל מתכנס. עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן לכל או לכל . נניח ש- (ההוכחה במקרה השני דומה). יוצא שלכל מתקיים ושהאינטגרל של הוא כי נתון ש- לסיכום הראנו ש- מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס ולכן מתכנס . לכן קיים וסיימנו את ההוכחה.
דוגמאות
- נראה כי לכל האינטגרל מתכנס: נגדיר . מכאן נובע כי ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים: . יתר על כן פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה בקטע ומתקיים . קיימנו את תנאי מבחן דיריכלה ולכן האינטגרל מתכנס.
- נוכיח ש- אינו מתכנס בהחלט, ולמעשה : לכל , מכיוון ש-, . ע"פ מבחן ההשוואה מספיק להראות ש- מתבדר. נעזר בזהות להראות ש-. קל להראות (בעזרת מבחן דיריכלה) כי מתכנס. כמו כן ידוע לנו כי . עתה נניח בשלילה ש- מתכנס. לפי משפט 1 , אבל זהו סכום של אינטגרלים מתכנסים השווה לאינטגרל שמתבדר, בסתירה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים.
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים (כלומר ). עוד נניח ש- סדרה מונוטונית כך ש-. אז מתכנס.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
לכל N מתקיים . נשאיף אזי . נותר להוכיח ש- מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.
נסמן c כ-1 אם יורדת ו- אחרת: | ||||||
הטור טלסקופי. | ||||||
כלומר הסכום מתכנס.
הערה
משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור , שהוא טור לייבניץ, מתכנס.
דוגמה
נניח ש- יורדת לאפס ונראה שהטור מתכנס. נגדיר ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-. לפי זה לכל n מתקיים . לכן
הטור טלסקופי, לכן: | ||||||