אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית= תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאש...") |
|||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים. פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה. | תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים. פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה. | ||
==מצב ראשון== | ==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== | ||
אזי ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>. | |||
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math> | |||
וממשיכים לשלב הבא: | |||
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>== | |||
אזי נפרק את q לגורמים אי פריקים: | |||
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math> | |||
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: | |||
גרסה מ־08:55, 1 ביולי 2011
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים. פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.
מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]
אזי ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].
אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]
אזי נפרק את q לגורמים אי פריקים:
[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: