אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
| שורה 6: | שורה 6: | ||
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== | ==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>== | ||
ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>. | |||
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math> | אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math> | ||
| שורה 14: | שורה 14: | ||
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>== | ==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>== | ||
נפרק את q לגורמים אי פריקים: | |||
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math> | <math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math> | ||
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: | כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: | ||
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}} + \frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math> | |||
גרסה מ־09:04, 1 ביולי 2011
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.
פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.
מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]
ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].
אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]
נפרק את q לגורמים אי פריקים:
[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}} + \frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+... }[/math]