אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.

פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.

מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]

ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].

אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]

• נפרק את q לגורמים אי פריקים:

[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]

• כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+... }[/math]

• נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים [math]\displaystyle{ A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} }[/math].

• נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m} }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-a }[/math] על מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ I_1=Aln(x-a)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C }[/math]