88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1

הצרנות

• • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.

[math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\exists n\in\mathbb{N}:n\gt x }[/math]

• • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ([math]\displaystyle{ P(1)\equiv T }[/math]) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.

[math]\displaystyle{ \Big[P(1)\and (\forall n\in\mathbb{N}:P(n)\rightarrow P(n+1))\Big]\rightarrow\forall n\in\mathbb{N}:P(n) }[/math]

• • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).

נגדיר את הפרדיקט בעל שני המשתנים "x מחלק את y" ונסמן אותו באופן הנהוג [math]\displaystyle{ x|y }[/math]. לכן x ראשוני אם [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x)) }[/math]

• • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.

[math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{N}:\Big[\forall n\in\mathbb{N}: (n|x)\rightarrow ((n=1)\or(n=x))\Big]\rightarrow \Big[\exists n\in\mathbb{N}\exists k\in\mathbb{N}:2n+2k=x\Big] }[/math]

• • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} }[/math], והשלמים מוכלים בממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R} }[/math]).

• הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB

(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא [math]\displaystyle{ \forall a\in A, \exists a\in A }[/math])

שקילות

הגדרה: טענות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).

• הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש[math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות:

[math]\displaystyle{ A_1\rightarrow A_2 }[/math],

[math]\displaystyle{ A_2\rightarrow A_3 }[/math],

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{n-1}\rightarrow A_n }[/math],

[math]\displaystyle{ A_n\rightarrow A_1 }[/math]

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

• [math]\displaystyle{ (A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) }[/math]
• [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F) }[/math]

(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)