הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ (←דוגמאות) |
מ |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
נניח שלטור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> יש רדיוס התכנסות <math>R>0</math>, אזי: | נניח שלטור <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> יש רדיוס התכנסות <math>R>0</math>, אזי: | ||
− | # f גזירה אינסוף פעמים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. רדיוס ההתכנסות של | + | # f גזירה אינסוף פעמים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R. |
# לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>, <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>. | # לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>, <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
שורה 10: | שורה 10: | ||
# הוכחנו בסעיף 1 ש-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. נציב <math>x=x_0</math> ונקבל <math>f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k</math>, כלומר <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>. {{משל}} | # הוכחנו בסעיף 1 ש-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math>. נציב <math>x=x_0</math> ונקבל <math>f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k</math>, כלומר <math>a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}</math>. {{משל}} | ||
===מסקנה {{הערה|(משפט היחידות לטורי חזקות)}}=== | ===מסקנה {{הערה|(משפט היחידות לטורי חזקות)}}=== | ||
− | נניח ששני טורי חזקות בקטע שלם, כלומר <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in(a,b)\ne\varnothing</math>, אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>. | + | נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in(a,b)\ne\varnothing</math>, אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
נגדיר פונקציה גבולית <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math>. | נגדיר פונקציה גבולית <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math>. | ||
שורה 17: | שורה 17: | ||
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n</math> אבל <math>a_n\ne b_n</math> עבור n כלשהו. | חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n</math> אבל <math>a_n\ne b_n</math> עבור n כלשהו. | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
− | # נמצא טור מקלורין | + | # נמצא את טור מקלורין <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math> של הפונקציה <math>f(x)=\frac1{1-x}</math>: ידוע לנו ש-<math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math> עבור <math>|x|<1</math>. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. {{משל}} |
# נמצא טור טיילור של <math>f(x)=\frac1{1-x}</math> סביב <math>x_0=\frac12</math>, ז"א <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n</math>.<br/>''דרך 1:'' {{left|<math>\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}</math>}}נציב <math>x=\frac12</math> לקבל <math>f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}</math> ולכן הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math>. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.<br/>''דרך 2:'' <math>\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n</math>. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר <math>\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1</math>, כלומר כש-<math>\left|x-\frac12\right|<\frac12</math>. {{משל}}<br/>''נסכם:'' <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math> בקטע <math>(0,1)</math> ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה. | # נמצא טור טיילור של <math>f(x)=\frac1{1-x}</math> סביב <math>x_0=\frac12</math>, ז"א <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n</math>.<br/>''דרך 1:'' {{left|<math>\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}</math>}}נציב <math>x=\frac12</math> לקבל <math>f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}</math> ולכן הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math>. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.<br/>''דרך 2:'' <math>\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n</math>. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר <math>\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1</math>, כלומר כש-<math>\left|x-\frac12\right|<\frac12</math>. {{משל}}<br/>''נסכם:'' <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n</math> בקטע <math>(0,1)</math> ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה. | ||
− | # נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י | + | # נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>. |
# מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון). | # מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון). | ||
− | # {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 | + | # {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}} |
==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)== | ==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)== | ||
− | '''הגדרה:''' מד"ר היא משוואה המקשרת | + | '''הגדרה:''' מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות. |
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
# <math>f'(x)=\sin(x)</math> היא מד"ר, שפתרונה הוא <math>f(x)=-\cos(x)+c</math> עבור קבוע c כלשהו. | # <math>f'(x)=\sin(x)</math> היא מד"ר, שפתרונה הוא <math>f(x)=-\cos(x)+c</math> עבור קבוע c כלשהו. | ||
# גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a. | # גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a. | ||
# <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים. | # <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים. | ||
− | # {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\ | + | # {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}} |
גרסה מ־17:18, 28 באוגוסט 2011
את משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-24.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 4
נניח שלטור יש רדיוס התכנסות
, אזי:
- f גזירה אינסוף פעמים בקטע
ולכל
מתקיים
. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
- לכל
,
, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב
.
הוכחה
- באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
- הוכחנו בסעיף 1 ש-
. נציב
ונקבל
, כלומר
.
מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)
נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר לכל
, אזי
.
הוכחה
נגדיר פונקציה גבולית .
עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים
.
הערה
חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו אבל
עבור n כלשהו.
דוגמאות
- נמצא את טור מקלורין
של הפונקציה
: ידוע לנו ש-
עבור
. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f.
- נמצא טור טיילור של
סביב
, ז"א
.
דרך 1:נציבלקבל
ולכן הטור הוא
. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
דרך 2:. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר
, כלומר כש-
.
נסכם:בקטע
ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
- נמצא את טור מקלורין של
, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
דרך 1: טור מקלורין הוא, כאשר
מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציהואז נוכל לקבל את הטור עבור
ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת:
עבור
, ז"א
. עתה נעשה אינטגרציה:
לכל
, ולכן
. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של
בתחום
.
אם מותר להציב
אז נקבל את המשוואה היפה
, אבל מכיוון שלא מתקיים
צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-
.
- מצאו את טור טיילור ל-
סביב
וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-
.
דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבלואז נבדוק מתי השארית
שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).
דרך 2:ולכן תחילה נפתח
:
כאשר
. כעת
בתחום
.
עבור
לא מתקיים
, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל
(בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
- (תרגיל ממבחן) נגדיר
. מצאו
: לכל
מתקיים
ונציב
לקבל
. לפי משפט 4 המקדם
של
מקיים
ולכן
.
מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)
הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.
דוגמאות
-
היא מד"ר, שפתרונה הוא
עבור קבוע c כלשהו.
- גם
היא מד"ר, ופתרונה
עבור קבוע a.
-
. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה
עבור a,b קבועים.
- (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל-
וגם פתרון כך ש-
: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג
עם רדיוס התכנסות
. לפיכך
. צריך להתקיים
ולכן
ולאחר הזזת אינדקסים נקבל:
. את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים
. מכאן ש-
קבועים כלשהם,
, ו-
, לכן
. מכאן נובע ש-
נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-, היחס בין שני איברים עוקבים הוא
, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה)
. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-
הוא
ולכן
הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-
, כלומר
. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-
. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי
: נזכר ש-
ולכן
, כלומר
וגם
, כלומר
. מציבים ערכים אלו של
בפתרון הכללי שמצאנו ל-
וסיימנו את התרגיל.