הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11"
(←משפט 1) |
מ (←משפט 4: הכללה לקטע לא סגור) |
||
שורה 52: | שורה 52: | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
− | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע | + | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע I. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in I</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in I</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן <math>\forall x\in I:\ f'(x)=g(x)</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נקח <math>x\in | + | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-I וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in I</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-I וכיוון שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־17:52, 28 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תזכורת: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל
קיים הגבול
(כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-
במידה שווה ב-I אם לכל
קיים
כך שאם
אז
לכל
.
הערה
אם במ"ש על I אז לכל
ברור שמתקיים
, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
-
במ"ש ב-I
-
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי
. אבל אם
ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
לכל
. נובע מיד שאם
אז
ולכן
והוכחנו
, כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן
עבור
.
דוגמה
בקטע ברור כי
.
נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: .
נעיר כי בקטע עבור
דווקא יש התכנסות במ"ש:
ולכן
, כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה
כל
רציפה ב-
. אזי גם f רציפה ב-
.
הוכחה
יהי נתון.
במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל
מתקיים
.
רציפה ב-
ולכן קיים
כך שאם
אז
נובע שאם
אז
.
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי
. כאן כל
רציפה ב-
ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב-
ונניח שקיים
במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים
.
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-
. שקול להוכיח ש-
. ובכן יהי
נתון. כיוון ש-
במ"ש על I
. נובע שלכל
. מכאן נובע ש-
.
דוגמה
משמאל נתונה הפונקציה עבור
כלשהו.
נוכיח כי : עבור
לכל n
ולכן
. אם
אז קיים
כך ש-
ולכן לכל
מתקיים
, מה שגורר כי
לכל
ונובע ש-
. בזה הוכחנו את הטענה ש-
נקודתית ב-
.
נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי
.
![\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx](/images/math/6/2/8/6281627c34406c80c047416d340e75fc.png)
![f(x)=0](/images/math/f/d/0/fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png)
![\int\limits_0^1 f_n=](/images/math/9/2/5/9257fa8680af187f9464c87338b1865b.png)
![=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0](/images/math/5/6/3/563fce91786953a52adf8e3fc4d0ac22.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז
ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר
.
- נוכיח ש-
במ"ש בכל
:
.
- נוכיח
: לכל n ולכל
מתקיים
ועבור
כלשהו
שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות
בקטע I. נניח שהסדרה
מתכנסת בנקודה אחת (לפחות)
והסדרה
מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי
קיים לכל
ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן
.
הוכחה
נקח כלשהו. לכל n הפונקציה
רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר
. נעביר אגף:
. כעת נתון שקיים
, נקרא לו
. יתר על כן נתון ש-
במ"ש ב-I וכל שכן
במ"ש בתת הקטע בין
ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-
נובע שלכל
קיים
והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-
. לפי הנתון כל
רציפה ו-
במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש-
רציפה ב-I וכיוון שלכל
מתקיים
החלק הראשון של המשפט היסודי נותן
לכל
.