88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־07:24, 3 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

[math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,... }[/math]

[math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,... }[/math]

[math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},... }[/math]

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n} }[/math]

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\leq 0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0 }[/math]

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 '''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
+<font size=4 color=#a7adcd>
+'''תרגיל.'''
+</font>
+הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}</math>
+'''פתרון.'''
+נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\leq 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
+::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>
+::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>
+לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.