88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

• [math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,... }[/math]

• [math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,... }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},... }[/math]

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n} }[/math]

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\leq 0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0 }[/math]

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math]. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחאת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} }[/math]

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם אי שליליים.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0 }[/math]

אם כך, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת. כמו כן

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2 }[/math]

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math]. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה

[math]\displaystyle{ a_1=c }[/math]

ונוסחאת הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון.