פתרון משוואה ממעלה 3: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המ...") |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>. | בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>. | ||
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>. | '''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.''' | ||
'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0. | |||
== שיטה ראשונה (טרטליה) == | |||
נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p</math>. | |||
'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה. | |||
גרסה מ־16:44, 15 בנובמבר 2011
הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=0 }[/math] ניתן להציב [math]\displaystyle{ x=y-a/3 }[/math]. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math] עבור מספרים [math]\displaystyle{ p,q }[/math] כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-[math]\displaystyle{ y }[/math] כי [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] הוא פיתרון אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=y_0-a/3 }[/math] הוא פיתרון של המשוואה ב-[math]\displaystyle{ x }[/math].
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה [math]\displaystyle{ y^3+py+q=0 }[/math].
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם [math]\displaystyle{ p=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ q=0 }[/math]), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
שיטה ראשונה (טרטליה)
נחפש [math]\displaystyle{ u,v }[/math] כך שיתקיים [math]\displaystyle{ u^3+v^3=-q }[/math] ו-[math]\displaystyle{ uv=-p }[/math].
טענה: במצב זה, [math]\displaystyle{ y=u+v }[/math] הוא שורש של המשוואה.