המספר e: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==המספר e== הוכחנו בהרצאה כי לסדרה <m...") |
|||
| שורה 10: | שורה 10: | ||
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math> | '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n}</math> | ||
<font size=4 color=#a7adcd> | |||
'''תרגיל.''' | |||
</font> | |||
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n</math> | |||
'''פתרון.''' נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה. | |||
::<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n=</math> | |||
::<math>=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}</math> | |||
כיוון ש <math>\frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1)</math> אנו מקבלים כי | |||
<math>\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e}</math> | |||
גרסה מ־09:41, 21 בדצמבר 2011
המספר e
הוכחנו בהרצאה כי לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math] יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
- [math]\displaystyle{ e:=\lim\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]
משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי [math]\displaystyle{ e=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n} }[/math]
משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי [math]\displaystyle{ e^L=\lim\Big(1+\frac{1}{a_n}\Big)^{a_n\cdot b_n} }[/math]
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]
פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
- [math]\displaystyle{ \Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n=\Big(\big(\frac{n}{n-1}\big)^{-1}\Big)^n= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{-n}=\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}} }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{-n}{n-1}\rightarrow (-1) }[/math] אנו מקבלים כי
[math]\displaystyle{ \Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\rightarrow e^{-1}=\frac{1}{e} }[/math]