בקצרה:המספר e (קבוע אוילר; הגבול שמגדיר אותו נקרא גם גבול אוילר) מוגדר כגבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math]. בסדרה הזו יש "משיכת חבל": הבסיס שואף ל־1 ומושך את החזקה כלפי 1, והמעריך שואף לאינסוף ומושך אותה כלפי אינסוף, ואף אחד מהם אינו מנצח: הסדרה עולה, אבל כל איבריה נשארים בין 2 ל־4, ולכן היא מתכנסת למספר שבין 2 ל־4, בערך 2.718. המספר הזה צץ באופן טבעי כשמחשבים את השיפוע של פונקציית הלוגריתם ליד הנקודה 1; בהמשך הקורס הוא הבסיס של פונקציית האקספוננט ושל הלוגריתם הטבעי, ובעזרתו מחשבים גבולות מהצורה "1 בחזקת אינסוף".
▶ ההרצאה: הגדרת המספר e
שתי הסדרות מהוכחת המשפט: [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math] (הנקודות המלאות) עולה, ו־[math]\displaystyle{ b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1} }[/math] (הנקודות החלולות) יורדת. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] הקטע [math]\displaystyle{ [a_n,b_n] }[/math] (הפס הכחול) מכיל את [math]\displaystyle{ e }[/math] (הקו האדום), ואורכו [math]\displaystyle{ b_n-a_n=\frac{a_n}n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]; לכן שתי הסדרות נדחקות אל [math]\displaystyle{ e }[/math], אחת מלמטה ואחת מלמעלה. עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ 2<e<4 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math]; לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ a_n\to e }[/math]. לא צריך כלל חדש: מבטאים כל סדרה בעזרת [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ומשתמשים באריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2).
(ב) [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n+1}\right)^n=\frac{a_{n+1}}{1+\frac1{n+1}} }[/math]. לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to e }[/math] (השמטת האיבר הראשון אינה משנה את הגבול), והמכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ 1\ne0 }[/math], ולכן הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac e1=e }[/math].
שימו לב: בכל הסעיפים הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך לאינסוף, ובכל זאת אף אחד מהגבולות אינו [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
מקור: לוח הרצאה 23.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R2-E05: (א) ו־(ב)); לוח 17.11.20 (R1-X40: (ב), אותו פירוק); לוח 8.12.20 (R2-E30: (ג) בשתי דרכים, הדרך הראשונה "למה עשיתי זאת? למה?!!"); (א) גם בסרטון 21 (6TohAEqQwsk) 4:49–5:03 (https://www.youtube.com/watch?v=6TohAEqQwsk&t=289s), שם [math]\displaystyle{ b_n\to e }[/math]; מאגר 2.9-41 (◆, ק' 1–3, בוחן ✓).
דוגמה 2: [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n\to\frac1e }[/math]
חשבו את [math]\displaystyle{ \lim\left(1-\frac1n\right)^n }[/math], והסיקו את [math]\displaystyle{ \lim\left(1-\frac1{n^2}\right)^n }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math] וננסה להגיע לצורה הזו. לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1-\frac1n=\frac{n-1}n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n=\frac1{\left(\frac n{n-1}\right)^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{\left(1+\frac1{n-1}\right)^n} }[/math].
נפרק את המכנה: [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n-1}\right)^n=c_n\cdot\left(1+\frac1{n-1}\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ c_n=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] (מותר שסדרה לא תהיה מוגדרת במספר סופי של מקומות).
[math]\displaystyle{ c_{n+1}=\left(1+\frac1n\right)^n=a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to e }[/math], ולכן לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ c_n\to e }[/math]: זו אותה סדרה, מוזזת במקום אחד. בנוסף [math]\displaystyle{ 1+\frac1{n-1}\to1 }[/math].
לפי אריתמטיקה של גבולות המכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ e\cdot1=e\ne0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n\to\frac1e }[/math].
כאן הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], המעריך לאינסוף, והגבול הוא כן [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. בדוגמה הבאה נראה שהתוצאה תלויה בסדרות עצמן.
מקור: דף הוויקי המספר e, הסעיף "תרגיל" (W2a E18; שם הפתרון נשען על משפט על [math]\displaystyle{ (1+\frac1{a_n})^{a_nb_n} }[/math], וכאן רק הזזת מקום ואריתמטיקה של גבולות); למה 2.66 בחוברת ([math]\displaystyle{ (1-\frac1n)^{-n}\to e }[/math], הוסרה מהזרימה), סרטון 28 (y7yPjqyGOIg) 7:58–8:53 (https://www.youtube.com/watch?v=y7yPjqyGOIg&t=478s), כולל ההערה שהסדרה מוגדרת רק החל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math] (8:31–8:47); המסקנה: לוח 24.11.20 (R2-E07: [math]\displaystyle{ (1-\frac1{n^2})^n\to1 }[/math], שם בכלל ה־e); מאגר 2.9-41, 2.9-42 (◆, בוחן ✓).
דוגמה 3: משיכת החבל: "[math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]" אינו נקבע
בכל אחת מהסדרות הבאות הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. חשבו את הגבולות, והשוו ל־[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to e }[/math]: (א) [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n }[/math] (ב) [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{n^2} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ a_m=\left(1+\frac1m\right)^m }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_m }[/math] עולה ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא החסם העליון של איבריה (כך בסרטון, 5:09); בפרט [math]\displaystyle{ a_m\le e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]. (הוכחה ישירה: אילו היה [math]\displaystyle{ a_m>e }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m }[/math] כלשהו, אז לכל [math]\displaystyle{ n\ge m }[/math] היה [math]\displaystyle{ a_n-e\ge a_m-e }[/math], כלומר אף איבר מהמקום [math]\displaystyle{ m }[/math] והלאה אינו בסביבה של [math]\displaystyle{ e }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=a_m-e>0 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ a_n\to e }[/math].)
(א) חסם מלמטה: [math]\displaystyle{ 1+\frac1{n^2}>1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
חסם מלמעלה: נעלה בחזקת [math]\displaystyle{ n }[/math] ונשתמש ב־[math]\displaystyle{ a_m\le e }[/math] עם [math]\displaystyle{ m=n^2 }[/math]: [math]\displaystyle{ \left[\left(1+\frac1{n^2}\right)^n\right]^n=\left(1+\frac1{n^2}\right)^{n^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =a_{n^2}\le e }[/math]. נוציא שורש [math]\displaystyle{ n }[/math]־י (שומר על אי־שוויון בין מספרים חיוביים): [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n\le\sqrt[n]e=e^{\frac1n} }[/math].
לפי טענה 2.8.1(א) ([math]\displaystyle{ e>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ e^{\frac1n}\to e^0=1 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1\le\left(1+\frac1{n^2}\right)^n\le e^{\frac1n} }[/math], ושתי הסדרות החוסמות שואפות ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n^2}\right)^n\to1 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\left[\left(1+\frac1n\right)^n\right]^n }[/math] [math]\displaystyle{ =(a_n)^n }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to e>1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ e>2 }[/math]), ולכן לפי משפט 2.6.1(א) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math].
מסקנה: שלוש סדרות מהצורה "[math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]" נותנות [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ e }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. הגבולות של הבסיס ושל המעריך לבדם אינם קובעים את התוצאה, ולכן [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math] הוא אחד המקרים הבעייתיים (הגדרה 2.12.2), ואסור לכתוב "[math]\displaystyle{ 1^\infty=1 }[/math]".
מקור: סרטון 21 (6TohAEqQwsk) 2:03–2:34 (https://www.youtube.com/watch?v=6TohAEqQwsk&t=123s): "משיכת חבל בין שני גורמים. מי מנצח? לא כזה ברור"; "e הוא החסם העליון של קבוצת האיברים שלה" ב־5:09–5:17 (https://www.youtube.com/watch?v=6TohAEqQwsk&t=309s); לוח 10.11.20 (R1-X25: "אמרתי שמספר גדול מאחד באינסוף זה אינסוף, אז מה נסגר?!"); מאגר 2.9-42 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓: [math]\displaystyle{ (1+\frac1{n^2})^n\to1 }[/math], [math]\displaystyle{ (1-\frac1{n^2})^n\to1 }[/math]); ההערה למשפט 2.6.1 בחוברת ("'[math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]' אינו נקבע"). (א) נפתר כאן בסנדביץ', בלי כלל ה־e; (ב) נוסף כדי להשלים את התמונה, בעזרת משפט 2.6.1.
דוגמה 4: שאלה ממבחן: החסם העליון של [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^n }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A=\left\{\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^n:n\in\mathbb N\right\} }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ \sup A }[/math] והוכיחו. האם ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש מקסימום?
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math] ונפריד לפי הזוגיות של [math]\displaystyle{ n }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1}=1 }[/math], והאיבר הוא [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1}=-1 }[/math], והאיבר הוא [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n }[/math].
[math]\displaystyle{ e }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עולה ממש (בסרטון, 5:30). זה נובע מאי־שוויון הממוצעים (משפט 2.9.4) עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] עותקים של [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] ועוד המספר [math]\displaystyle{ 1 }[/math]: המספרים חיוביים ואינם כולם שווים, ולכן הממוצע ההנדסי שלהם קטן ממש מהממוצע החשבוני: [math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{a_n}<\frac{n+2}{n+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =1+\frac1{n+1} }[/math], ובחזקת [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ a_n<a_{n+1} }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ a_n\le e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] (דוגמה 3), ולכן [math]\displaystyle{ a_n<a_{n+1}\le e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי [math]\displaystyle{ 0<1-\frac1n<1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n<1<e }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ x<e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math].
אין חסם מלעיל קטן יותר. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to e }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-e|<\varepsilon }[/math]. המקום [math]\displaystyle{ n=2K+1 }[/math] אי־זוגי וגדול מ־[math]\displaystyle{ K }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2K+1}\in A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2K+1}>e-\varepsilon }[/math].
לפי התנאי השקול לחסם עליון (משפט 1.1.12) מתקיים [math]\displaystyle{ \sup A=e }[/math].
ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] אין מקסימום: לפי טענה 1.1.5 מקסימום היה שווה לחסם העליון [math]\displaystyle{ e }[/math], אבל כל איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] קטנים ממש מ־[math]\displaystyle{ e }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ e\notin A }[/math].
האיברים במקומות הזוגיים שואפים ל־[math]\displaystyle{ \frac1e }[/math] (דוגמה 2) ואינם משפיעים על החסם העליון. במבחן זו הייתה "שאלה מיטיבה", שבה הספיקה התשובה הסופית.
מקור: מועד א' תשפ"א (מדמ"ח), שאלה מיטיבה 8 (Infi1moedA2021CS.pdf; בפתרון של ארז: באי־זוגיים [math]\displaystyle{ (1+\frac1n)^n }[/math] עולה ושואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math], בזוגיים [math]\displaystyle{ (1-\frac1n)^n }[/math] מתחילה ב־[math]\displaystyle{ \frac14 }[/math] ושואפת ל־[math]\displaystyle{ \frac1e }[/math], "לכן החסם העליון הוא e"); מאגר 1.3-17 (◆, ק' 2, בוחן ✓); [math]\displaystyle{ a_n<e<b_n }[/math] והמונוטוניות הממשית בסרטון 21 (6TohAEqQwsk) 5:08–5:37 (https://www.youtube.com/watch?v=6TohAEqQwsk&t=308s). כאן מוכחים במפורש שני התנאים של משפט 1.1.12.
טעויות נפוצות
"[math]\displaystyle{ 1^\infty=1 }[/math]": הבסיס [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ne1^n }[/math], כי הבסיס משתנה יחד עם המעריך; הגבול הוא [math]\displaystyle{ e }[/math], ובדוגמה 3 אותה "צורה" נותנת גם [math]\displaystyle{ 1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \infty }[/math].
הטעות ההפוכה, "הבסיס גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] ולכן החזקה שואפת לאינסוף": משפט 2.6.1 דורש שהגבול של הבסיס יהיה גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], וכאן הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]; ברנולי נותן רק [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ge1+n\cdot\frac1n=2 }[/math].
להחליף רק את הבסיס בגבולו ולהשאיר את המעריך, למשל [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\left[\left(1+\frac1n\right)^n\right]^n\to e^n }[/math]: גבול אינו יכול להיות תלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math], וכאן הגבול הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math] (משפט 2.6.1).
להסיק ש [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math] חסומה רק מכך ש [math]\displaystyle{ a_n<b_n }[/math]: גם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] תלויה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math], והחסם הקבוע [math]\displaystyle{ a_n<b_n\le b_1=4 }[/math] נובע מכך ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math]יורדת (בסרטון, 4:07–4:19).
לתרגול
מועד א' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 8: החסם העליון של [math]\displaystyle{ \left\{\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^n\right\} }[/math], כמו דוגמה 4 בדף (פתרון). קושי 2.
מועד ב' תשע"ה (תיכוניסטים) · שאלה 4ב: הגבול העליון והגבול התחתון של [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^{n^{(-1)^n}} }[/math], דרך המקומות הזוגיים והאי־זוגיים ו־[math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n }[/math] (השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן). קושי 3.
מועד ג' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 3ב: התכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{n^{n-2}}{e^nn!} }[/math], עם הרמז [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n<e }[/math] (פתרון: דוגמה 6 במערך התרגול). קושי 4; דורש את פרק הטורים.
מועד א' תשס"ב · שאלה 1 (אמריקאית): [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עולה, [math]\displaystyle{ b_n }[/math] יורדת ו־[math]\displaystyle{ a_n<b_n }[/math], כמו הזוג שבהוכחת המשפט: שתיהן מתכנסות, אבל לא בהכרח לאותו גבול. שימו לב: הדוגמה בדף הפתרון שגויה; דוגמה נכונה: [math]\displaystyle{ a_n=-\frac1n }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=1+\frac1n }[/math]. קושי 1–2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: סדרות מונוטוניות ונוסחאות נסיגה · "מונוטונית וחסומה מתכנסת" בפעולה; בתרגיל השני זוג סדרות, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] יורדת ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] עולה, עם [math]\displaystyle{ b_2\le b_n\le a_n\le a_2 }[/math]: אותו רעיון כמו בהוכחת קיום הגבול [math]\displaystyle{ e }[/math].
![שתי הסדרות מהוכחת המשפט: [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math] (הנקודות המלאות) עולה, ו־[math]\displaystyle{ b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1} }[/math] (הנקודות החלולות) יורדת. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] הקטע [math]\displaystyle{ [a_n,b_n] }[/math] (הפס הכחול) מכיל את [math]\displaystyle{ e }[/math] (הקו האדום), ואורכו [math]\displaystyle{ b_n-a_n=\frac{a_n}n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]; לכן שתי הסדרות נדחקות אל [math]\displaystyle{ e }[/math], אחת מלמטה ואחת מלמעלה. עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ 2<e<4 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-15.png)