גבול פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־05:41, 24 בדצמבר 2011

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל x המקיים [math]\displaystyle{ 0\lt |x-a|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \epsilon }[/math]

(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.

תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8 }[/math]

פתרון. יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|\lt \epsilon }[/math]

נפתח את הביטוי:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big| }[/math]

אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math], עבור [math]\displaystyle{ 0\lt |x-2|\lt \delta\lt 1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2\lt x+1 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|\lt \frac{|x(x-2)|}{2} }[/math]

כמו כן, מתקיים [math]\displaystyle{ x\lt 3 }[/math] ולכן:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|\lt \frac{3|x-2|}{2}\lt \frac{3}{2}\delta }[/math]

לסיכום, קיים דלתא כך ש [math]\displaystyle{ \delta\lt 1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \delta\lt \frac{2}{3}\epsilon }[/math] עבורו מתקיים:

[math]\displaystyle{ \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|\lt \frac{3}{2}\delta=\epsilon }[/math]

@@ שורה 23: / שורה 23: @@
 '''פתרון.'''
-יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\epsilon</math>
+יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים
+<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\epsilon</math>
+נפתח את הביטוי:
+::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|</math>
+אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.
+כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
+::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{|x(x-2)|}{2}</math>
+כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
+::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}\delta</math>
+לסיכום, קיים דלתא כך ש <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}\epsilon</math> עבורו מתקיים:
+::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon</math>